Тема 1.5 Пространственная система сил

 

Параллелепипед сил. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил. Проекция силы на три взаимно перпендикулярные оси. Равновесие пространственной системы сходящихся сил.

Момент силы относительно оси, его величина, знак и условия равенства нулю.

Пространственная система произвольно расположенных сил. Уравнения равновесия такой системы (без вывода). Уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил.

 

Методические указания

 

Система сил, не лежащих в одной плоскости, называется пространственной.

Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в одной точке, называется пространственной системой сходящихся сил.

 

 

Равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил изображается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (Правило параллелепипеда сил, рисунок 18).

Так же как и правило параллелограмма, правило параллелепипеда можно использовать и при разложении силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил:

 

 

Направление равнодействующей:

 

,

,

.

 

Если требуется определить проекции силы F на три взаимно перпендикулярные оси, то применяют способ двойного проецирования: сначала силу проецируют на одну из плоскостей, а уже затем на оси, расположенные в этой плоскости. В отличие от проекций силы на оси, являющихся скалярными величинами, проекция силы на плоскость – величина векторная.

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на данных силах, был замкнутым. (Условие равновесия в геометрической форме).

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех любых взаимно перпендикулярных осей. (Условие равновесия в аналитической форме).

 

.

 

Вращательный эффект силы относительно оси характеризуется моментом силы относительно этой оси.

 

 

Момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рисунок 19)

 

,

 

где h = ОА – проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Правило знаков: если для наблюдателя, смотрящего на плоскость Н с положительной стороны оси Z, проекция силы F на плоскость Н представляется вращающейся вокруг оси Z против часовой стрелки, то момент считается положительным, в противном случае его считают отрицательным. Для силы F и оси Z, изображенных на рисунке 19.

 

.

Три частных случая, в которых момент силы относительно оси равен нулю.

Случай 1-й (рисунок 20, а). Сила F или линия ее действия пересекает ось; в этом случае плечо ОА = 0, поэтому F_н × ОА = 0.

Случай 2-й (рисунок 20, б). Линия действия силы F параллельна оси; в этом случае F_н = 0, поэтому F_н × ОА = 0.

Случай 3-й (рисунок 20, в). Линия действия силы F совпадает с осью; в этом случае и F_н = 0 и плечо ОА = 0.

 

 

Произвольную пространственную систему сил, так же как и плоскую, можно привести к одной точке и заменить главным вектором F_гл и главным моментом М_гл. В этом случае линия действия главного вектора может находиться не в плоскости действия главного момента.

 

,

,

,

 

где SМ_х, SМ_у, SМ_z – алгебраические суммы моментов всех сил системы относительно трех любых взаимно перпендикулярных осей (с началом координат в центре приведения).

Если F_гл = 0 и М_гл = 0, то система сил уравновешена и отсюда получается система шести уравнений равновесия:

 

SХ = 0, SY = 0, SZ = 0,

SМ_х = 0, SМ_у = 0, SМ_z = 0.

 

Для равновесия системы сил, расположенных как угодно в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и суммы моментов всех сил относительно каждой из трех таких осей.

Для уравновешенной пространственной системы параллельных сил можно составить лишь три уравнения равновесия: алгебраическую сумму проекций сил на ось, параллельную данным силам, и два уравнения моментов относительно других осей.

 

В соответствии с расположением осей (рисунок 21) уравнения равновесия имеют следующий вид:

S Х = 0

S М_х = 0

S М_у = 0

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Какая система называется пространственной?

2 Что называется пространственной системой сходящихся сил?

3 Сформулируйте правило параллелепипеда сил.

4 Как определяют проекции пространственной силы на координатные оси и плоскости?

5 Является ли проекция силы на плоскость векторной величиной?

6 В чем состоит графическое и аналитическое условия равновесия пространственной системы сходящихся сил?

7 Что называется моментом силы относительно данной оси? Как выбирают знак момента?

8 Напишите уравнения системы сил, произвольно расположенных в пространстве, и объясните их смысл.

9 Напишите уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил и объясните их смысл?

 

Тема 1.6 Центр тяжести

 

Центр параллельных сил, его свойство. Формулы для определения координат центра параллельных сил. Сила тяжести. Центр тяжести тела как центр параллельных сил. Координаты центра тяжести однородного тела. Координаты центра тяжести тонкой однородной пластинки. Статический момент площади плоской фигуры относительно оси – определение, единица измерения, способ нахождения, условие равенства нулю. Формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур с помощью статического момента площади.

Положение центра тяжести фигур, имеющих ось симметрии. Положение центров тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции, полукруга, параболического треугольника.

Определение координат центра тяжести сложных сечений, представляющих собой совокупность простых геометрических фигур и сечений, составленных из стандартных профилей проката.

 

Методические указания

 

Центром системы параллельных сил называется точка, через которую проходит линия действия их равнодействующей при любом повороте сил системы вокруг их точек приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону.

Равнодействующая сил тяжести всех отдельных частиц тела называется силой тяжести тела.

Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:

 

;

;

,

 

где SG_nX_n, SG_nX_n, SG_nX_n – суммы, составленные из произведений силы тяжести частицы тела, на составляющую координату этой частицы;

G – сила тяжести всего тела.

Произведение площади элемента фигуры на кратчайшее расстояние ее центра тяжести до какой-либо оси, лежащей в той же плоскости называется статическим моментом элемента фигуры относительно данной оси.

 

Сумма статических моментов всех отдельных элементов, на которые разбита данная площадь, взятых относительно какой-либо оси, называется статическим моментом площади данной фигуры относительно этой оси

 

, (см³; мм³ и т.д.).

 

Тогда формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур с помощью статического момента площади имеют вид:

 

, .

 

Центр тяжести фигур, имеющих ось симметрии, лежит на оси симметрии.

Центр тяжести площади прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рисунок 23).

 

 

 

Центры тяжести площади правильного многоугольника, круга, эллипса и объема шара лежат в их геометрических центрах. Центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рисунок 24).

Для определения положения центра тяжести фигур и тел сложной геометрической формы их разбивают на такие части простейшей формы (если это возможно), для которых положение центров тяжести известно, а затем определяют положение центра тяжести всей фигуры или тела по соответствующим формулам. Если в данном теле или фигуре имеются полости или отверстия, то для определения центра тяжести такого тела или фигуры пользуются теми же приемами и формулами, считая при этом объемы и площади вырезанных частей отрицательными.

В технической практике широкое распространение имеет стальной прокат различного профиля. Форма этого профиля, так же как и его размеры, устанавливается государственными общесоюзными стандартами (ГОСТами). В таблицах нормального сортамента прокатной стали, имеющихся в различного рода технических справочниках, приводятся для каждого калибра соответствующего профиля все необходимые сведения: геометрические размеры профиля, площадь сечения, координаты центра тяжести и пр.

Двутавр – ГОСТ 8239-89;

швеллер – ГОСТ 8240-89;

уголок равнополочный – ГОСТ 8509-86;

уголок неравнополочный – ГОСТ 8510-86.

Пользуясь данными этих ГОСТов, можно указанными выше приемами определить положение центра тяжести и составного сечения, полученного путем соединения нескольких стандартных профилей.

[1, гл. 8 § 42 – 47]

 

Практическое занятие № 4

Определение координат центра тяжести сечений, составленных из стандартных профилей проката.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Дайте определение центра параллельных сил и укажите его свойство; напишите формулы для определения координат центра параллельных сил.

2 Что называется центром тяжести тела?

3 Напишите формулы для определения координат центров тяжести однородного тела и тонкой однородной пластинки.

4 Что называется статическим моментом площади плоской фигуры? Какова его размерность? В каком случае он равен нулю?

5 Как определяется положение центра тяжести плоской фигуры сложной формы?

6 Как определяется центр тяжести сечений, составленных из стандартных профилей проката?

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: