Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную вписанную сферу.

Доказательство

В треугольной пирамиде ABCD проведем биссекторные плоскости ее двугранных углов с ребрами AB, AC и DC. Эти плоскости имеют единственную общую точку Q, что доказывается аналогично предыдущей теореме. Понятно, что точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. Таким образом, установлено существование вписанной сферы, единственность которой доказывается опять-таки аналогично.

Теорема. Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Доказательство

Соединим центр вписанной сферы со всеми вершинами многогранника. При этом многогранник делится на несколько пирамид (их количество равно количеству граней многогранника). Высота каждой из этих пирамид равна r, а площадь основания – это площадь некоторой грани многогранника, поэтому (m – количество граней), что и требовалось доказать.

Поскольку центр вписанной сферы одинаково удален от всех граней многогранника, он лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.

Теорема.

В правильную n-угольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство

На чертеже 5.6.2 изображена n-я часть правильной n-угольной пирамиды, где PC – апофема боковой грани PAB; CO' – биссектриса угла PCO. Ясно, что точка O' одинаково удалена от всех граней пирамиды и является центром вписанной сферы: OO' = r – радиус вписанной сферы. Из ΔO'OC имеем: O'O = r = OC tg (α/2), или r = r1 tg (α/2), где r1 – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, α – двугранный угол при ребре основания.

Общие замечания о положении центра шара.

 1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.

 2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.

Вписанные многогранники.

Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника.

Теорема.Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Доказательство Рисунок 5.6.1

В данной пирамиде ABCD построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам AB, AC и AD и проходящие через их середины. Эти плоскости будут равноудалены от точек A и B, A и C, A и D соответственно, поскольку геометрическим местом точек, равноудаленных от концов данного отрезка, является плоскость, проходящая через его середину и перпендикулярная ему. Обозначим точку пересечения этих плоскостей через O. Докажем, что эта точка существует и единственна. Действительно, две из этих плоскостей пересекаются по прямой l, поскольку они перпендикулярны двум непараллельным прямым. Эта прямая перпендикулярна к плоскости ABC. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит ее, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, то есть лежит в плоскости ABC. Итак, точка O равноудалена от всех вершин треугольной пирамиды, значит эта точка является центром описанной сферы. Тем самым доказано существование такой сферы. Докажем теперь ее единственность. Заметим, что центр любой другой сферы, проходящей через все вершины пирамиды, равноудален от всех этих вершин и, значит, принадлежит всем плоскостям, проходящим через середины ребер перпендикулярно последним. А это и означает, что центр такой сферы и точка O совпадают.

Теорема. Для того, чтобы пирамида была вписанной в сферу, необходимо и достаточно, чтобы ее основанием был вписанный в окружность многоугольник.

Следствие.Любая правильная пирамида является вписанной.

Теорема. Пусть центр сферы, описанной вокруг пирамиды, лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды. Тогда

1. b² = 2RH,

2. r² = H(2R – H), где R – радиус описанной сферы, H и b – соответственно высота и боковое ребро пирамиды, а r – радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

Доказательство Пусть PO – высота пирамиды, O' – центр описанной сферы (чертеж 5.6.1). Поскольку O' PO, то O – центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды. PK – диаметр описанной сферы, ΔAPK – прямоугольный. Согласно свойствам прямоугольного треугольника, имеем: 1. AO2 = PO · KO, или r2 = H(2R – H); 2. PA2 = PK · KO, или b2 = 2RH.

Общие замечания о положении центра шара.

 1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.

 2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: