Основные соотношения электромеханики твердых тел

 

Принципиальная схема магнитно-импульсной установки приведена на рис.2.1. Через повышающий высоковольтный трансформатор и выпрямитель производят зарядку конденсаторной батареи, состоящей из групп параллельно включенных между собой импульсных конденсаторов. По окончании заряда конденсаторная батарея с помощью специального коммутирующего устройства-разрядника тригатрона разряжается на индуктор, внутри которого размещается заготовка.

 

Рис. 2.1. Принципиальная схема МИУ: 1- трансформатор повышающий; 2 - накопитель энергии (батарея конденсаторов);

3 -поджигающие устройства (разрядник); 4 - индуктор;

5 – заготовка

 

В момент разряда конденсаторной батареи в индукторе протекают импульсные токи, распределенные по сечению весьма неравномерно, соответственно распределены силы и температуры. Их распределение влияет как на деформацию заготовки, так и на прочность и стойкость самого индуктора.

Для учета сложного характера электромеханических процессов, протекающих в системе «установка – индуктор - заготовка», необходимо получить общую систему уравнений, учитывающую взаимное влияние электродинамических и механических процессов.

Далее рассматриваемую систему тел, в которой протекают электромеханические процессы, будем называть электромеханической системой.

Модель электродинамических процессов в электромеханической системе строилась на основе следующих гипотез:

1) токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости;

2) в системе «установка-индуктор-заготовка» отсутствуют ферромагнетики.

3) распределение токов, а, следовательно, объемных сил и температур симметрично относительно оси индуктора. Многовитковый индуктор представляется как набор электрически связанных витков;

4) деформации и перемещения индуктора по сравнению с заготовкой, считаем, малы, поэтому задача механики для индуктора не решаем;

5) заготовку будем считать осесимметричной, а ее материал – упруго-пластическим;

6) время процесса мало, и теплопередача не происходит.

Первое предположение избавляет от необходимости исследования поля в диэлектриках. Оно может быть вычислено через токи, текущие в проводниках. Считается, что все возмущения поля мгновенно распространяются в исследуемой области.

Второе предположение дает возможность исключить влияние пути изменения магнитного поля на свойства материала и таким образом линеаризовать задачу.

Приведенные выше предположения приводят к квазистатической задаче электродинамики. Уравнения Максвелла в этом случае:

	,	(2.1)
	,	(2.2)
	,	(2.3)
	,	(2.4)

 

где - вектор магнитной индукции, Тл; - напряженность электрического поля, В/м; - напряженность индуцированного электрического поля, В/м; - плотность тока; m0 - магнитная постоянная; m0=4p× 10-7; m - относительная магнитная проницаемость.

Для замыкания системы необходимо добавить закон Ома с учетом движения среды и напряженности стороннего электрического поля , создаваемого батареей конденсаторов и закон сохранения заряда:

 

	,	(2.5)
	,	(2.6)

 

где - удельная проводимость материала, 1/(Ом× м), а v- cкорость в данной точке и закон сохранения заряда, -плотность заряда.

Выражение для вектора плотности пондеромоторных сил имеет вид

 

.

(2.7)

 

Для описания движения элементов электромеханической системы в систему уравнений были введены уравнения движения деформируемого твердого тела с учетом гипотезы о малых деформациях:

		(2.8)
	,  j = 1..3	(2.9)

 

где , - компоненты симметричных тензоров напряжений и деформаций,  - компоненты вектора перемещений, - компоненты вектора пондеромоторных сил.

Эти уравнения являются общими как для упругих, так и для упруго-пластических сред.

Для упругой среды связь напряжений и деформаций можно записать в виде

 

,

(2.10)

 

где - объемный модуль,  - упругий модуль сдвига, .

А для пластической среды использовать, например, основные соотношения теории пластического течения:

1) Приращение деформации  на шаге по времени складывается из приращения упругой деформации и пластической

 

. (2.11)

 

2) приращение пластической деформации может быть получено из ассоциированного закона пластического течения

.  (2.12)

 

В данной задаче в качестве условия текучести принят критерий Мизеса

 

.

 

Здесь  - напряжения в элементе,  - предел текучести, Аp - работа пластического формоизменения.

Для описания нагрева проводников при условии адиабатности процесса применимо выражение

 

,

(2.13)

 

где r – плотность материала; с – удельная теплоемкость материала; t - время процесса.

Приведенные выше уравнения достаточны для расчета электромагнитного поля, плотности тока, перемещений, напряжений и деформаций в любой точке исследуемой электромеханической системы, если задать начальные и граничные условия.

Спецификой уравнений Максвелла является то, что выделяют 2 типа граничных условий: условия сшивания полей в разных областях, являющиеся следствием интегральной формы уравнений Максвелла, и граничные условия на бесконечности. Первые выполняются автоматически после перехода от дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям относительно потенциалов, а вторые - за счет рассмотрения токов в конечной области.

Граничные условия задачи механики сводятся к заданию на части поверхности Г1 напряжений, а на части Г2 – перемещений:

 

.

(2.14)

 

Начальные условия задают распределения плотности тока , напряженности стороннего электрического поля , перемещений  и скоростей  в момент начала процесса:

 

.

(2.15)

 

где r – радиус-вектор, u0 - начальное перемещение; v0 - начальная скорость.

В уравнения Максвелла входят параметры электромагнитного поля. Оно существует не только в проводниках, но и в окружающей элементы электромеханической системы среде. Чтобы исключить необходимость рассмотрения поля вне проводников, в системе уравнений электродинамики параметры магнитного поля были выражены через плотность тока. С целью обеспечить тождественное выполнение равенства (2.1), введем векторную функцию , называемую векторным потенциалом магнитного поля, так что

 

.

(2.16)

 

Тогда уравнение (2.2) перепишется в виде

 

.

(2.17)

 

Или, полагая  и m=const,

 

,

(2.18)

 

где - оператор Лапласа.

Уравнение (2.4) преобразуется следующим образом:

 

.

(2.19)

 

Решение уравнения (2.18), исчезающее на бесконечности, имеет вид:

 

,

(2.20)

 

где а, b – радиус-векторы двух произвольных точек, принадлежащих проводникам, V – объем, занимаемый проводниками.

Подставим  и в выражение закона Ома

 

(2.21)

 

Используя выражение (2.20) и преобразовывая двойное векторное произведение, дифференцируя (2.20) по времени и пренебрегая скоростями, получим

 

или после преобразований

 

(2.22)

 

Получили интегральное по пространству и дифференциальное по времени уравнение относительно плотности тока. Все дальнейшие уравнения для математической модели электродинамических процессов будут основаны на (2.22).

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: