Тригонометрическая форма записи и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Тогда произвольному компл. ч. (a, b)=a+bi можно сопоставить точку с координатами (a, b). Заданная пл. называется комплексной. Ось абсцисс (действительная ось Re) будет соответствовать мн. действительных чисел. Ось ординат (мнимая ось Im) - множеству чисто мнимых чисел.

Модулем, или абсолютной величиной, комплексного числа называется расстояние r точки z до начала координат (|z|). Аргументом числа z назовем угол ϕ, отсчитываемый в положительном направлении (против ч. стр.), между направлением оси Re и радиус-вектором точки z.

Арумент (arg z) определен с точностью до 2πk. Применяя теорему Пифагора и формулы тригонометрии:|a + bi| =√a² + b², a = r cos ϕ, b = r sin ϕ,откуда a + bi = r(cos ϕ + isin ϕ). Это тригонометрическая форма записи

Формала Муавра:

 9. Извлечение корня натуральной степени из комплексных чисел.

Пусть n ∈ N. Число z называется значением корня n-й степени из числа ζ(зэта), если zⁿ = ζ.Легко видеть, что ζ = 0 обладает единственным (нулевым) значением корня произвольной натуральной степени.

Пусть ζ <> 0, тогда, очевидно, z <>0. Представим ζ в тригонометрической форме: ζ = ρ(cos ψ + isin ψ). Мы ищем такое z =r(cos ϕ + isin ϕ), что zⁿ = ζ. Воспользовавшись формулами Муавра, последнее равенство перепишем в виде rⁿ=cos(nϕ) + isin(nϕ)= ρ(cos ψ + isin ψ).

Так как для ненулевого комплексного числа модуль определен однозначно, а аргумент с точностью до 2πk, где k ∈ Z, то {rⁿ = ρ, а nϕ = ψ + 2πk} Получаем:r =ⁿ√ ρ, ϕ =(ψ + 2πk)/n (для вычисления r используется арифметическое значение корня ⁿ √ ρ). Итак, для произвольного k ∈ Z каждое из чисел z =ⁿ√ ρ (cos(ψ + 2πk)/n+ isin(ψ + 2πk)/n) является значением корня n-й степени из числа ζ = ρ(cos ψ + isin ψ).

Выясним, есть ли среди чисел совпадающие. Разделим произвольное k ∈ Z на n с остатком, т. е. представим k в виде k = np + q. Подставляя это выражение для k получаем:

С другой стороны, при значениях k = 0, 1, . . . , n−1 все числа различны: их аргументы различны и отличаются не более, чем на 2π.

Точки комплексной плоскости, соответствующие всем значениям корня степени n ≥ 3 из одного и того же числа, находятся в вершинах правильного n-угольника.

Бинарная алгебраическая операция. Ассоциативность. Коммутативность. Полугруппа. Примеры полугрупп. Нейтральный элемент в полугруппе. Симметричные элементы в полугруппе.

Пусть A — непустое множество. Правило, которое каждой упорядоченной паре элементов из A ставит в соответствие элемент из A, называется бинарной алгебраической операцией на множестве A (или над A). Или

Ассоциативность: для a, b, c из A

Коммутативность: для a, b из A

Нейтральный: Симметричный:

Пусть бинарная алгебраическая операция, заданная на A, ассоциативна, тогда A называется полугруппой. Если операция к тому же коммутативна, то полугруппа называется коммутативной полугруппой. Если множество A конечно, то |A| (число эл. в A) называется порядком полугруппы A.

Примеры коммутативных полугрупп: 1) N+ и Z+; 2) N* и Z *; 3) Z⁻ (множество отрицательных целых чисел) +

Полугруппами не являются: N- (не б. алг. оп.), N /(не б. алг. оп.), Z - (отсутствие ассоциативности), Z /(не б. алг. оп.).

Утв.: Если полугруппа обладает нейтральным элементом, то он единственный.

Док-во: Пусть e1 и e2 — нейтральные элементы в M. Тогда

т. е. e₁ = e₂.

Утв.: Пусть полугруппа содержит нейтральный элемент e. Если элементa имеет симметричный элемент a′, то других симметричных элементов у a нет.

Док-во: Пусть a′ и a′′ — симметричные элементы к a. Имеем

т. е. a′ = a′′.

Группа. Примеры групп. Обратные элементы в группе.

Полугруппа G с нейтральным элементом, в которой для каждого элемента существует симметричный, называется группой. Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой. Если множество G конечно, то |G| (число эл. в G)называется порядком группы G.

Согласно утверждениям в вопросе 10, нейтральный элемент группы единственен и для любого элемента группы симметричный элемент единственен.

Если групповая операция называется сложением (+), то группа называется аддитивной. В этом случае нейтральный элемент называют нулем (или нулевым эл-м) и обозначают 0. Элемент b, симметричный к a - противоположный ( −a). Если групповая операция называется умножением (× или ·), то группа называется мультипликативной. В этом случае нейтральный элемент называют единицей (или единичным эл-м) и обозначают e или 1. Элемент b, симметричный к a, называют обратным и обозначают a⁻¹.

Примеры абелевых групп: 1) Z, Q, R, C +, причем Z; 2) Q^∗, R^∗, C^∗× , где через F^∗ обозначено множество ненулевых элементов в F; 3) множество U_n (всех значений корня n-й степени из 1) ×; 5) V2, V3 +; 6) множество Z_n классов вычетов по модулю n относительно +

Утв.: Пусть a, b — некоторые элементы из группы G. Тогда каждое из уравнений ax = b, ya = b имеет, причем единственное, решение в G: x = a⁻¹b, y = ba⁻¹.

Док-во: Проверим, что x = a⁻¹b является решением уравнения ax = b: ax = a(a⁻¹b) = (aa⁻¹)b = eb = b. Для доказательства единственности решения, предположим, что нашлось два решения: x и x′. Тогда ax = b, ax′ = b, откуда ax = ax′.

Умножая слева обе части этого тождества на a⁻¹, получаем

a⁻¹(ax) = a⁻¹(ax′), пользуясь ассоциативностью, получаем

(a⁻¹a)x = (a⁻¹a)x′, откуда ex = ex′, т. е. x = x′. Используя аналогичные рассуждения, легко проверить, что единственным решением уравнения ya = b является y=ba−1.

Кольцо. Примеры колец. Мультипликативное свойство нуля. Правило знаков при умножении. Дистрибутивность при вычитании. Лемма о сокращении.

Кольцом называется непустое множество K, на котором заданы две бинарные алгебраические операции, называемые сложением и умножением, причем относительно сложения K является абелевой группой (аддитивная группа кольца) и операции связаны законами дистрибутивности, т. е. для любых a, b, c из K 1) (a + b)c = ac + bc; 2) a(b + c) = ab + ac.

 

Примеры колец: 1) Числовые кольца Z, Q, R, C + и * -ассоц. и коммут. с единицей. Кольца Q, R, C являются полями. Множество N кольцом не является. 2) Кольцо nZ целых чисел, кратных заданному числу n, + и *. Оно ассоц. и коммут., при n ≥ 2 - без единицы. 3) Кольцо Zn вычетов по модулю n -  коммут. и ассоц., обладает единицей.

Утв.: Мультипликативные свойства нуля. Для любых элементов a, b, c кольца K верно a0 = 0a = 0.

Док-во: Имеем aa + a0 = a(a + 0) = aa, откуда получаем, что

a0 = aa − aa = 0. Аналогично показывается, что 0a = 0.

Утв.: « Правило знаков » при умножении. Для любых элементов a, b, c кольца K верно (−a)b = a(−b) = −(ab); (−a)(−b) = ab.

Док-во: Докажем, например, что (−a)b = −(ab). Остальные свойства доказываются аналогично. Имеем ab + (−a)b = (a−a)b = 0b = 0, т. е. (−a)b противоположен элементу ab.

Утв.: Дистрибутивность при вычитании. Для любых элементов a, b, c кольца K верно (a−b)c = ac−bc; a(b−c) = ab−ac.

Док-во: Имеем (a − b)c = (a + (−b))c = ac + (−b)c = ac + (−bc) = ac − bc. Второе равенство доказывается аналогично.

Утв.: Лемма о сокращении. Пусть кольцо K не содержит делителей нуля. Если a, b, c — элементы кольца K, причем a <> 0, то из каждого условия: ab = ac и ba = ca следует b = c.

Док-во. Если ab = ac, то a(b − c) = 0. Так как в кольце K нет делителей нуля и a<>0, то b − c = 0, откуда b = c. Если ba = ca, то рассуждения аналогичны.

Поле. Примеры числовых полей. Делители нуля в поле.

Кольцо F называется полем, если множество его ненулевых элементов, F \ {0}, непусто и образует абелеву группу. Эта группа называется мультипликативной группой поля. Из определения следует, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента: 0 и 1. Если F — поле и F′ ⊆ F, причем F′ само является полем относительно тех же операций сложения и умножения, тогда F′ называется подполем поля F.

Примеры: Числовые кольца Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения являются полями. Кольцо Z полем не является.

Утв .: Поле не имеет делителей нуля.

Док-во: Пусть поле F обладает делителями нуля, т. е. ab = 0 для некоторого a <> 0 и некоторого b <> 0. Таким образом, F \ {0} не замкнуто относительно операции умножения, следовательно, не образует группу, т. е. F полем не является.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: