Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть r1, r2 — радиус-векторы точек A, B соответственно (на плоскости или в пространстве). Для того, чтобы точка R с радиус-вектором r лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое вещественное число α,что r = (1 − α)r1 + αr2.

По точке R число α определяется единственным образом. Для того, чтобы точка R с радиус-вектором r лежала на отрезке [AB], необходимо и достаточно, чтобы существовало такое вещественное число α, что

r = (1 − α)r1 + αr2, 0 ≤ α ≤ 1.   В последнем случае R делит отрезок [AB] в отношении α/(1 − α).

Доказательство. Точка R лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда векторы

AB и AR коллинеарны, т. е. AR = α · AB

где α — некоторое вещественное число. Очевидно, что разным значениям α соответсвуют разные точки R, получаемые по формуле. При этом R лежит на отрезке [AB] тогда и только тогда, когда 0 ≤ α ≤ 1. Равенство,очевидно, эквивалентно r − r1 = α(r2 − r1), или, что равносильно,

r = (1 − α)r1 + αr2.

Из следует, что R делит отрезок [AB] в отношении

 

Скалярное произведение геометрических векторов. Его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе.

Скалярным (или внутренним) произведением векторов a и b называется число, обозначаемое (a, b), которое равно

(a, b) = |a| · |b| · cos ϑ

1. (a, b) = (b, a) (симметричность),

2. (a + b, c) = (a, c) + (b, c),

3. (αa, b) = α(a, b),

4a. (a, a) ≥ 0,

4b. (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда a = o,

5a. (a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a и b ортогональны,

5b. (a, b) > 0 тогда и только тогда, когда угол между a и b острый,

5c. (a, b) < 0 тогда и только тогда, когда угол между a и b тупой

 

Теорема.Пусть e1, e2 — ортонормированный базис на плоскости и [a] = (α1, α2), [b] =(β1, β2), тогда

(a, b) = α1β1 + α2β2.

Пусть e1, e2, e3 — ортонормированный базис в пространстве и [a] = (α1, α2, α3), [b] =(β1, β2, β3), тогда

(a, b) = α1β1 + α2β2 + α3β3.

Доказательство. Имеем (a, b) = (α1e1 + α2e2, β1e1 + β2e2), откуда, пользуясь свойствами ли-

нейности скалярного произведения и формулами (6.4), получаем

(a, b) = α1β1(e1, e1) + α1β2(e1, e2) + α2β1(e2, e1) + α2β2(e2, e2) = α1β1 + α2β2

Доказательство для случая векторов в пространстве аналогично.

 

 

Векторное произведение. Его свойства. Выражение векторного произведения через координатывекторов в ортонормированном базисе.

Модуль векторного произведения двух неколлинеарныхвекторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, если их отложитьиз одной точки

Теорема (Свойства векторного произведения). Для любых векторов a, b, c в пространстве и любого скаляра α

1. [a, b] = −[b, a] (антикоммутативность)

2. [a + b, c] = [a, c] + [b, c]

3. [αa, b] = α[a, b]

4. [a, b] = o тогда и только тогда, когда a и b коллинеарны.

Теорема . Пусть e1, e2, e3 — правый ортонормированный базис, в котором [a] =

(α1, α2, α3), [b] = (β1, β2, β3), тогда

[a, b] = (α2β3 − α3β2)e1 + (α3β1 − α1β3)e2 + (α1β2 − α2β1)e3.

Доказательство. Так как a = α1e1 + α2e2 + α3e3 и b = β1e1 + β2e2 + β3e3, то

[a, b] = [α1e1 + α2e2 + α3e3, β1e1 + β2e2 + β3e3] =

= [α1e1, β1e1] + [α1e1, β2e2] + [α1e1, β3e3] +

+ [α2e2, β1e1] + [α2e2, β2e2] + [α2e2, β3e3] +

+ [α3e3, β1e1] + [α3e3, β2e2] + [α3e3, β3e3] =

= 0 + α1β2e3 − α1β3e2 − α2β1e3 + 0 + α2β3e1 + α3β1e2 − α3β2e1 + 0 =

= (α2β3 − α3β2)e1 + (α3β1 − α1β3)e2 + (α1β2 − α2β1)e3.

 

 

Смешанное произведение. Его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.

Смешанным произведением трех векторов a, b, c в пространстве называется число, обо-

значаемое (a, b, c), равное

(a, b, c) = ([a, b], c).

Теорема 6.14. Пусть a, b, c — некомпланарные векторы в пространстве. Абсолютное значение их смешанного произведения равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, если их отложить из одной точки.

Доказательство. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c равен V = Sh, где S — площадь основания, h — высота; см. рис. 6.19. Основанием является параллелограмм, построенный на векторах a, b, поэтому S = |[a, b]|. Высоту можно представить как проекцию вектора c на прямую, перпендикулярную плоскости, в которой лежат векторы a и b. Эта прямая коллинеарна вектору [a, b], поэтому h = OH = |pr[a,b] a|. Теперь имеем

V = S · h = |[a, b]| · OH = |[a, b]| · |c| · | cos ϑ| = |([a, b], c)|,

где ϑ — угол между векторами [a, b] и c.

Теорема (Свойства смешанного произведения). Для любых векторов a, b, c, c′ и любого скаляра α справедливо

1. (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = −(a, c, b) = −(b, a, c) = −(c, b, a)

2. (a, b, c + c′) = (a, b, c) + (a, b, c′)

3. (a, b, αc) = α(a, b, c)

4a. (a, b, c) = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b, c компланарны

4b. (a, b, c) > 0 тогда и только тогда, когда тройка a, b, c правая

4c. (a, b, c) < 0 тогда и только тогда, когда тройка a, b, c левая

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: