Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Разложение многочлена на линейные множители над полем комплексных чисел. Разложение на линейные и квадратичные множители многочлена с вещественными коэффициентами.
Для любого многочлена f = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an ∈ C[x] (a0 <> 0) найдутся такие числа c1, c2, . . . , cs ∈ C и k1, k2, . . . , ks ∈ N, что f = a0(x − c1)k1 (x − c2)k2. . .(x − cs)ks, где k1 + . . . + ks = n, ci <> cj (i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , s). Для любого многочлена представление вида с указанными свойствами единственно с точностью до перестановки множителей (c − cj ) kj (j = 1, 2, . . . , s). Запись виданазывается разложением многочлена f на линейные множители. Доказательство. Существование. Пусть f ∈ C[x] и deg . Най- дется c1 ∈ C, такое, что f(c1) = 0. По теореме Безу имеем: f = (x − c1)f1, где f1 ∈ C[x]. Если deg f1 ≥ 1, то найдется c2 ∈ C, такое, что f(c2) = 0,поэтому f = (x − c1)(x − c2)f2, где f2 ∈ C[x]. Продолжая эти рассуждения далее (легко провести индукцию), получим f = c0(x − c1)(x − c2). . .(x − cn), где c0 — константа. Легко видеть, что коэффициент при старшей степени равен c0, поэтому c0 = a0. После переобозначения получаем. Единственность. Предположим, что f = a0(x − c1)k1(x − c2)k2. . .(x − cs)ks = = b0(x − d1)l1(x − d2)l2. . .(x − dt)lt. Во-первых, a0 = b0. Во-вторых, докажем, что {c1, c2, . . . , cs} = {d1, d2, . . . , dt}. Предположим противное: для определенности, c1 <>dj (j = 1, 2, . . . , t). Подставив c1 в обе части равенства, получаем слева 0, а справа ненулевое значение. Поэтому s = t и мы можем считать, что cj = dj. Теперь имеет вид a0(x − c1)k1(x − c2)k2. . .(x − cs)ks = = a0(x − c1)l1(x − c2)l2. . .(x − cs)ls. Наконец, докажем, что kj = lj (j = 1, 2, . . . ,. Предположим противное: для определенности, k1 > l1. Тогда получаем (x − c1)k1−l1(x − c2)k2. . .(x − cs)ks = (x − c2)l2. . .(x − ct)lt. Подставив c1 в обе части равенства, получаем слева 0, а справа ненулевое значение. Замечание. В представлении многочлена f в виде произведения множителей вида (x − cj ) kj (j = 1, 2, . . . , t) показатель степени kj является кратностью многочлена f. Следствие. Всякий ненулевой многочлен f ∈ C[x] степени n имеет с учетом кратности ровно n комплексных корней. Заметим, что полученное следствие справедливо для любого алгебраически замкнутого поля. Утверждение . Пусть f э R[x]. Если c э C — корень многочлена f, то c также является корнем этого многочлена и имеет ту же кратность. Доказательство. Пусть f = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an. Так как f(c) = 0, то Чтобы показать, что корень c имеет ту же кратность, что и c достаточно применить те же рассуждения к производным многочлена f и воспользоваться следствием. Следствие Для любого многочлена f = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an ∈ R[x] (a0 <>0) найдутся числа c1, c2, . . . , cs ∈ R, p1, p2, . . . , pt ∈ R, q1, q2, . . . , qt ∈ R, k1, k2, . . . , ks ∈ N, l1, l2, . . . , lt ∈ N, такие, что f = a0(x − c1)k1. . .(x − cs)ks(x2 + p1x + q1)l1. . .(x2 + ptx + qt)lt где k1 + . . . + ks + 2l1 + . . . + 2lt = n, ci <> cj (i <>j; i, j = 1, 2, . . . , s), x2 + pix + qi <> x2 + pjx + qj (i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , t), причем многочлены x2 + pjx + qj вещественных корней не имеют. Для любого многочлена f ∈ R[x] представление вида с указанными свойствами единственно с точностью до перестановки множителей. Доказательство. Существование. Единственность. Чтобы по представлению получить разложение на линейные множители достаточно разложить на линейные множители каждый из квадратных многочленов x2 + pjx + qj. Каждый из этих многочленов имеет вещественные коэффициенты и пару комплексно сопряженных корней. Если бы для одного и того же многочлена существовали различные разложения вида с указанными свойствами, то мы из них получили бы различные представления,что противоречит следствию . Следствие. Произвольный многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Доказательство. По следствию, так как степень многочлена нечетна, то в разложении вида обязательно найдется по крайней мере один линейный множитель.
Формулы Виета. Рассмотрим задачу нахождения коэффициентов многочлена по его корням.Раскладывая квадратный многочлен x2+px+1 на линейные множители, раскрывая скобки и приводя подобные, получаем x2 + px + 1 = (x − c1)(x − c2) = x2 − (c1 + c2)x + c1c2,откуда p = −(c1 + c2), q = c1c2. Это хорошо известные формулы Виета, связывающие коэффициенты квадратного многочлена и его корни. x3 + px2 + qx + r = (x − c1)(x − c2)(x − c3) = = x3 − (c1 + c2 + c3)x2 + (c1c2 + c1c3 + c2c3)x − c1c2c3,откуда p = −(c1 + c2 + c3), q = c1c2 + c1c3 + c2c3, r = −c1c2c3. Рассмотрим теперь многочлен n-й степени со старшим коэффициентом 1: f = xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an−1x + an = = (x − c1)(x − c2). . .(x − cn). Раскрывая скобки в правой части и собирая коэффициенты при каждой степени, получаем формулы Виета:
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-06-19; Просмотров: 520; Нарушение авторского права страницы