Закон Дальтона. Распределения Максвелла и Больцмана.

Английский физик и химик Джон Дальтон (1766- 1844) в 1793 г., стремясь понять, почему газы в атмосфере составляют смесь с определенными физическими свойствами, а не располагаются друг над другом слоями в соответствии со своими плотностями, установил, что поведение газа не зависит от состава смеси. Д. Дальтон сформулировал закон парциальных давлений газов, а также обнаружил зависимость растворимости газов от их парциального давления. В 1802 г.

Парци а льное давл е ние (от лат.–частичный, часть) – давление, которое имел бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объём, равный объёму смеси при той же температуре.

Для смеси идеальных газов выполняется закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений всех компонентов

                                                                                                       (2.15)

Значения среднеквадратичной скорости молекул газа, определенные по формуле:

,                                                       (2.16)

позволяют составить представление о порядке величины среднего значения тепловых скоростей молекул для различных газов. Например, расчеты по этой формуле приТ = 273К дают для молекулярного водорода = 1838 м/с, для азота = 493 м/с, для кислорода = 461 м/с и т.д.

Но не все молекулы движутся с одинаковыми скоростями. Среди них есть определенная доля молекул с малыми значениями скорости и, наоборот, некоторое число достаточно быстрых молекул. Однако большая часть молекул обладает скоростями, значения которых группируются относительно наиболее вероятной при данной температуре величины, которая не очень существенно отличается от значений, даваемых формулой среднеквадратичной скорости молекул газа. Такое распределение молекул по скоростям устанавливается в газе в результате обмена импульсом и энергией при многочисленных столкновениях молекул между собой и со стенками сосуда.

В пространстве скоростей  каждому вектору скорости (рис. 2.4) соответствует точка (аналогично обычному пространству ).

 

Для всего газа в состоянии теплового равновесия эти точки будут распределены с определенной плотностью.

Вид этого универсального (не меняющегося во времени) распределения молекул по скоростям, соответствующего состоянию теплового равновесия в газе, был впервые теоретически установлен Максвеллом. С помощью распределения Максвелла определяется относительная доля молекул, абсолютные скорости которых лежат в некотором узком интервале значений dV.

Вероятность dP того, что скорость попадает в интервал от V_х до (V_х+ dV_х), от V_y до (V_y+ dV_y), от V_z до (V_z+ dV_z) можно представить в форме:

 ,                                                                      (2.17)

где  – плотность вероятности или функция распределения молекул по скоростям, пропорциональна плотности точек пространства скоростей.

Модулю скорости V соответствует шаровой слой (сферический), т.е. все точки, лежащие в этом слое. Поэтому вероятность того, что скорость имеет модуль в интервале от отV до

(V+ dV), представляется в виде:

,                                                                       (2.18)

где – площадь шарового слоя, dυ – толщина шарового слоя.

Функция

                                                                                 (2.19)

является функцией распределения скоростей по модулю.

Плотность вероятности или функция распределения  молекул по скоростям имеет вид:

,                                                           (2.20)

а функция, показывающая вероятность того, что величина скорости имеет значения от V до (V+ dV), называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей:

.                                                  (2.21)

Выдающийся английский физик Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879) в 1860 г. вывел закон распределения молекул газа по скоростям, исходя из основных положений молекулярно-кинетической теории, впоследствии названное его именем.

Кривая распределения Максвелла показывает, что в системе молекул при данной температуре есть очень быстрые и очень медленные. Поэтому для этой функции распределения были введены три характеристические скорости молекул.

 1 – Максимум функции распределения F(V) на графике этой функции (рис. 2.5) соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа V_В,

Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму функции F(V). Ее можно определить, приравняв к нулю производную от функции F(V):

 

Рисунок 2.5 – Кривые распределения Максвелла для разных температур

 

.

Отсюда следует, что кроме случаев, когда  и , соответствующих минимуму функции F(V), имеется решение:

 или ,                                                                    (2.22)

дающее выражение для наиболее вероятной скорости молекул газа. При повышении температуры эта наиболее вероятная скорость увеличивается.

2 – Кроме наиболее вероятной скорости, функция F(V) позволяет найти среднюю (среднеарифметическую) скорость:

.

Вычисление этого интеграла окончательно дает выражение для средней (среднеарифметической) скорости:

.                                                                                         (2.23)

3 – Аналогично можно найти и значение среднеквадратичной скорости через интеграл:

,

решение которого дает значение среднеквадратичной скорости молекул:

.                                                                              (2.24)

Функция распределения скоростей по модулю преобразуется в распределение Максвелла молекул по энергиям:

.                                           (2.25)

В заключении следует отметить, что все полученные распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы не только для газов, но и для любых систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.

Барометрическая формула представляет собой зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести Земли. Т.е. барометрическая формула отвечает на вопрос: «Как изменение давления и плотности атмосферы зависит от высоты над поверхностью Земли? »

,

 где  – давление атмосферы на поверхности Земли ( ).

Барометрическая формула, определяющая изменение давления с высотой в изотермической атмосфере:

.                                                                                          (2.26)

С помощью барометрической формулы получим распределение частиц по потенциальным энергиям.

Согласно уравнению Менделеева - Клапейрона:

.

Молярную массу можно найти из формулы:

.

Молярная газовая постоянная связана с постоянной Больцмана соотношением:

.

Потенциальная энергия молекулы в поле силы тяжести:

.

Если эти четыре последних уравнения подставить в барометрическую формулу и выполнить некоторые преобразования, то получим распределение Больцмана частиц по потенциальным энергиям:

.                                                                             (2.27)

Это распределение справедливо не только для поля силы тяжести, но и для любого потенциального взаимодействия. Оно позволяет найти число частиц с потенциальной энергией ε _П в объеме dυ:

ε _П ~ .

Тогда число частиц с энергиями от ε ₁ доε ₂ будет определяться интегралом:

.                                                                                     (2.28)

Таким образом, распределение Больцмана представляет собой распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия.

Это распределение получено австрийским физиком Л. Больцманом (1844-1906) в 1868-1871 годах.

 

2.1.4 Элементы молекулярной кинетики. Явления переноса

Явление переноса – необратимые процессы, происходящие в термодинамически неравновесных системах, в результате которой происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. Для простоты ограничимся одномерными явлениями пе­реноса. Систему отсчета будем выбирать так, чтобы ось Х была ориентирована в на­правлении переноса.

1 - Теплопроводность – перенос энергии.

Если в одной области газа кинетическая энергия больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит выравнивания среднекинетической энергии молекул, т.е. выравнивание температуры. Перенос энергии в форме теплоты в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

 ,                                                                                    (2.29)

где - плотность теплового потока – величина, определяемая энергией переносимой в форме теплоты через единицу площади в единицу времени в направлении, перпендикулярном к оси X; λ - коэффициент теплопроводности; - градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины X в направлении нормали к площади; знак«–» показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры.

Коэффициент теплопроводности численно равен плотности теплового потока при единичном градиенте температуры:

,                                                                                   (2.30)

где  – длина свободного пробега молекул.

2 - Диффузия – перенос массы в результате самопроизвольного проникновения и перемещения частиц двух соприкасающихся жидкости и газов и даже твердых тел.

Явление диффузии возникает, когда существует градиент плотности вещества. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

,                                                                                           (2.31)

где - плотность теплового потока – величина, определяемая энергией переносимой в форме теплоты через единицу площади в единицу времени в направлении, перпендикулярном к оси X; D - коэффициент диффузии; - градиент плотности в направлении, перпендикулярном оси ОХ; знак«–» показывает, что диффузия происходит в направлении убывания плотности. Коэффициент диффузии определяется формулой:

                                                                                                      (2.32)

3. Внутреннее трение (вязкость) – перенос импульса.

Из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями жидкости. После чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а импульс слоя, движущегося медленнее, увеличивается. Сила внутреннего трения между двумя слоями жидкости подчиняется закону Ньютона:

,                                                                                         (2.33)

где η - динамическая вязкость, ;  - градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении Х, перпендикулярном направлению движения слоев; S - площадь, на которую действует сила F.

Согласно II закону Ньютона взаимодействие двух слоев можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому передается импульс, равный по модулю действующей силе. Тогда плотность потока импульса будет равен:

.                                                                   (2.34)

Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не раскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов теплопроводности (l), диффузии (D) и динамической вязкости (h), но устанавливает зависимость между ними:

.                                                                      (2.35)

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: