Формальные свойства алгоритмов

Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований:

Дискретность — алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение некоторых простых шагов. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, то есть преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно.

Детерминированность (определённость). В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных. В современной трактовке у разных реализаций одного и того же алгоритма должен быть изоморфный граф. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа. Однако при включении метода генерации случайных чисел в список «исходных данных», вероятностный алгоритм становится подвидом обычного.

Понятность — алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.

Завершаемость (конечность) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов.[источник не указан 271 день] С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.

Массовость (универсальность). Алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

Результативность — завершение алгоритма определёнными результатами.

Алгоритм содержит ошибки, если приводит к получению неправильных результатов либо не даёт результатов вовсе.

Алгоритм не содержит ошибок, если он даёт правильные результаты для любых допустимых исходных данных.

История возникновения алгоритма

Современное формальное определение алгоритма было дано в 30—50-х годы XX века в работах Тьюринга, Поста, Чёрча (тезис Чёрча — Тьюринга), Н. Винера, А. А. Маркова.

Само слово «алгоритм» происходит от имени учёного Абу Абдуллах Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (алгоритм — аль-Хорезми). Около 825 года он написал сочинение, в котором впервые дал описание придуманной в Индии позиционной десятичной системы счисления. К сожалению, арабский оригинал книги не сохранился. Аль-Хорезми сформулировал правила вычислений в новой системе и, вероятно, впервые использовал цифру 0 для обозначения пропущенной позиции в записи числа (её индийское название арабы перевели как as-sifr или просто sifr, отсюда такие слова, как «цифра» и «шифр»). Приблизительно в это же время индийские цифры начали применять и другие арабские учёные. В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу. Переводчик, имя которого до нас не дошло, дал ей название Algoritmi de numero Indorum («Алгоритмы о счёте индийском»). По-арабски же книга именовалась Китаб аль-джебр валь-мукабала («Книга о сложении и вычитании»). Из оригинального названия книги происходит слово Алгебра (алгебра — аль-джебр — сложение).

В средние века:

Алгоритм — это искусство счёта с помощью цифр, но поначалу слово «цифра» относилось только к нулю.

1360 г. французский философ Николай Орем (Nicolaus Oresme, 1323/25-1382) написал математический трактат Algorismus proportionum («Вычисление пропорций»), в котором впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов.

В 1684 году Готфрид Лейбниц в сочинении Nova Methodvs pro maximis et minimis, itemque tangentibus… впервые использовал слово «алгоритм» (Algorithmo) в ещё более широком смысле: как систематический способ решения проблем дифференциального исчисления.

К началу XX в. для математиков слово «алгоритм» уже означало любой арифметический или алгебраический процесс, выполняемый по строго определённым правилам

Виды алгоритмов

Прикладные алгоритмы, предназначенные для решения определённых прикладных задач.

int factorial(int n)

{ int result = 1;

for ( int i = 2; i < = n; i++ ) { result *= i; }

return result;

}

Рекурсивные алгоритмы

Реку́ рсия — процесс повторения чего-либо самоподобным способом. Например, вложенные отражения, производимые двумя точно параллельными друг другу зеркалами, являются одной из форм бесконечной рекурсии. Данный термин имеет более специальные значения в различных областях знаний — от лингвистики до логики.

В программировании рекурсия — вызов функции (процедуры) из неё же самой, непосредственно (простая рекурсия) или через другие функции (сложная или косвенная рекурсия), например, функция A вызывает функцию B, а функция B — функцию A. Количество вложенных вызовов функции или процедуры называется глубиной рекурсии.

Преимущество рекурсивного определения объекта заключается в том, что такое конечное определение теоретически способно описывать бесконечно большое число объектов. С помощью рекурсивной программы же возможно описать бесконечное вычисление, причём без явных повторений частей программы.

int factorial(int n) {

if ( n < = 1 ) {

return 1;

}

return n * factorial(n - 1);

}

Формы описания алгоритмов

Алгоритм может быть записан словами и изображён схематически. Обычно сначала (на уровне идеи) алгоритм описывается словами, но по мере приближения к реализации он обретает всё более формальные очертания и формулировку на языке, понятном исполнителю (например, машинный код). Например, для описания алгоритма применяются блок-схемы. Другим вариантом описания, не зависимым от языка программирования, является псевдокод.

Блок-схемы:

ГОСТ 19.701-90. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения.

Для программной документации (устарели, заменяются ГОСТ 19.701-90):

• ГОСТ 19.002-80. Схемы алгоритмов и программ. Правила выполнения.

• ГОСТ 19.003-80. Схемы алгоритмов и программ. Обозначения условные графические.

Формы описания алгоритмов

Алан Тьюринг высказал предположение (известное как Тезис Чёрча — Тьюринга), что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Уточнение представления о вычислимости на основе понятия машины Тьюринга (и других эквивалентных ей понятий) открыло возможности для строгого доказательства алгоритмической неразрешимости различных массовых проблем (то есть проблем о нахождении единого метода решения некоторого класса задач, условия которых могут варьироваться в известных пределах). Простейшим примером алгоритмически неразрешимой массовой проблемы является так называемая проблема применимости алгоритма (называемая также проблемой остановки). Она состоит в следующем: требуется найти общий метод, который позволял бы для произвольной машины Тьюринга (заданной посредством своей программы) и произвольного начального состояния ленты этой машины определить, завершится ли работа машины за конечное число шагов, или же будет продолжаться неограниченно долго.

В настоящее время теория алгоритмов развивается, главным образом, по трем направлениям.

· Классическая теория алгоритмов изучает проблемы формулировки задач в терминах формальных языков, вводит понятие задачи разрешения, проводит классификацию задач по классам сложности (P, NP и др.).

· Теория асимптотического анализа алгоритмов рассматривает методы получения асимптотических оценок ресурсоемкости или времени выполнения алгоритмов, в частности, для рекурсивных алгоритмов. Асимптотический анализ позволяет оценить рост потребности алгоритма в ресурсах (например, времени выполнения) с увеличением объема входных данных.

Теория практического анализа вычислительных алгоритмов решает задачи получения явных функции трудоёмкости, интервального анализа функций, поиска практических критериев качества алгоритмов, разработки методики выбора рациональных алгоритмов

 

 

Блок-схемы

 

Формы описания алгоритмов

Маши́ на Тью́ ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара «ленточный символ — состояние», для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной.

Норма́ льный алгори́ тм Ма́ ркова (НАМ) — один из стандартных способов формального определения понятия алгоритма, так же как и машина Тьюринга. Понятие нормального алгоритма введено А.А. Марковым в конце 1940-х годов. Традиционно, когда говорят об алгоритмах Маркова, используют слово " алгорифм".

Нормальный алгоритм описывает метод переписывания строк, похожий по способу задания на формальные грамматики. НАМ является Тьюринг-полным языком, что делает его по выразительной силе эквивалентным машине Тьюринга и следовательно современным языкам программирования. На основе НАМ был создан функциональный язык программирования Рефал.

Использование алгоритма Маркова для преобразований над строками:

Правила:

1. «А» → «апельсин»
2. «кг» → «килограмм»
3. «М» → «магазинчике»
4. «Т» → «том»
5. «магазинчике» → • «ларьке» (заключительная формула)
6. «в том ларьке» → «на том рынке»

 

Исходная строка:

«Я купил кг Аов в Т М.»

При выполнении алгоритма строка претерпевает следующие изменения:

1. «Я купил кг апельсинов в Т М.»
2. «Я купил килограмм апельсинов в Т М.»
3. «Я купил килограмм апельсинов в Т магазинчике.»
4. «Я купил килограмм апельсинов в том магазинчике.»
5. «Я купил килограмм апельсинов в том ларьке.»

На этом выполнение алгоритма завершится (так как будет достигнута формула № 5, которую мы сделали заключительной).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: