Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

2.1. Основные понятия и определения.

В общем случае система n линейных с неизвестными уравнений имеет вид:

(2.1)

Через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых указывает номер уравнения, а второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Решением системы называется всякая совокупность чисел , которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных, превращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хоты бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Будем говорить, что совместная система – определенная, если она имеет единственное решение и неопределенная, если она имеет более одного решения.

 

Условие совместимости СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему (10). Матрицей этой системы будем называть матрицу, составленную из ее коэффициентов: .

Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, получим расширенную матрицу:

.

Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что система совместна, тогда имеется решение этой системы . Если это решение представить в систему, мы получим:

.

Последний столбец расширенной матрицы является линейной комбинацией её остальных столбцов, поэтому ранг расширенной матрицы будет равен рангу системы.

Достаточность. Предположим, что ранг расширенной матрицы равен рангу системы и равен числу r: . Считаем, что в матрице A r базисных столбцов являются первыми столбцами этой матрицы. По теореме о базисном миноре последний столбец матрицы может быть представлен в виде линейной комбинации r базисных столбцов:

. Положим, что , тогда существуют числа , удовлетворяющие уравнениям системы. Но это означает, что – решения системы, т.е. система совместна.

Правило Крамера решения СЛАУ

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Введем матрицу неизвестных Х: , и матрицу свободных членов В: .

Считаем, что определитель матрицы системы (2.1) . Систему (2.1) можно заменить матричным уравнением: .

Поскольку определитель системы отличен от нуля, матрица А имеет обратную матрицу А^–1. Для доказательства существования решения воспользуемся теоремой Кронекера–Капели. Ранг матрицы системы равен n, а ранг расширенной матрицы, содержащей n строк, больше числа n быть не может. Умножим матричное уравнение слева на обратную матрицу А^–1: тогда .

Используя формулу для обратной матрицы и введя обозначения: получаем формулы Крамера: .

Определитель получается из определителя системы заменой его i столбца столбцом свободных членов (если расписать определитель по i столбцу, мы получим формулу Крамера.

Например, для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными: если определитель системы , то система имеет единственное решение: .

Пример 2.1. Решить систему

Необходимо вычислить четыре определителя по формулам Крамера:

;

Тогда .

Проверкой убеждаемся в правильности вычислений.

 

Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Метод Гаусса представляет собой систематизированную схему последовательного исключения неизвестных. Пусть (иначе переставим местами уравнения). С помощью первого уравнения исключим переменную х₁ из второго и последующих уравнений. Для этого от второго уравнения отнимем первое, умноженное на , от третьего – первое, умноженное на и т.д. Получим систему уравнений с новыми коэффициентами. Пусть , тогда аналогично исключим х₂ из третьего и последующих уравнений. Для этого умножим второе уравнение на и вычтем полученный результат из третьего, из четвертого уравнения вычтем второе, умноженное на и т.д. Продолжив дальнейшее исключение неизвестных, получим систему с так называемой треугольной матрицей:

Эта процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Далее начинаем обратный ход метода Гаусса, т.е. нахождение неизвестных. Находим x_n из последнего уравнения, затем найденное значение x_n подставляем в предпоследнее уравнение и определяем x_n–1. Найденные значения x_n и x_n–1подставляем в (n – 2)-е уравнение и находим х_n–2. Продолжая этот процесс, определяем остальные неизвестные системы.

Мы полагали, что . Однако, при данных преобразованиях мы можем получить уравнения вида , в котором все коэффициенты при неизвестных равны 0. При этом возможны два случая.

Если а=0, то система имеет бесконечное количество решений. При этом одно (или несколько) уравнений являются следствием остальных.

Если , то система не имеет решений.

Как отыскивать решения системы в первом случае, будет указано в следующем пункте. При решении систем линейных уравнений методом Гаусса удобно приводить к треугольному (или ступенчатому) виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.2. Решить систему из примера 2.1 методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: ~ . В результате прямого хода матрица системы приведена к треугольному виду и найдено, что . Получим единичную матрицу, т.е. накопим нули выше главной диагонали:

. Таким образом, .

Решение произвольных СЛАУ

 

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Для решения произвольной системы алгебраических уравнений необходимо вычислить ранг матрицы системы r(А). Если он совпадает с рангом расширенной матрицы, то система имеет решение. Считаем, что базисный минор расположен в первых r строках и столбцах системы. Уравнения, соответствующие базисным строкам, назовем базисными уравнениями. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, назовем главными, а остальные – свободными. Система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Если r = n, то система имеет единственное решение по теореме Кронекера–Капели. Если r < n, то перенесем в правую часть все члены, кроме тех, которые содержат r главных неизвестных. Свободным неизвестным придадим числовые значения . Тогда получившуюся систему r уравнений с r неизвестными решаем по формулам Крамера или методом Гаусса и находим: . Тогда вектор является решением базисной системы, а также решением исходной системы в силу их эквивалентности.

Если ранг системы r меньше числа неизвестных n, то система имеет бесконечно много решений, при этом r неизвестных (главных) линейно выражаются через (n-r) свободных неизвестных. Сформулируем правило решения произвольной системы.

1. Вычисляя ранги основной и расширенной матриц системы, выясняем вопрос о е совместности. Если система совместна, то находят какой-либо базисный минор порядка r.

2. Берется r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор, остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, считают главными и оставляют слева, а остальные (n – r) – свободными и переносят в правую часть уравнений.

3. По формулам Крамера или методом Гаусса находим выражения главных неизвестных через свободные. Полученные равенства представляют собой общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, определяют значения главных неизвестных и находят частные решения системы.

Если положить, что свободные неизвестные равны нулю, то мы получим базисное решение. Базисных решений обычно несколько. В общем случае их число равно – это число сочетаний из n элементов по r: .

Пример 2.3. Найти общее решение системы:

Запишем расширенную матрицу системы, методом Гаусса, исключим неизвестные:

. Ранг системы равен 2. Поскольку главный минор второго порядка отличен от нуля, выберем в качестве главных неизвестных и , а неизвестные и будем считать свободными. Запишем систему в виде: ; , преобразуем первое уравнение:

.

Тогда общее решение системы: .

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: