Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис
Линейная комбинация векторов. Пусть даны векторы . Тогда всякий вектор, имеющий вид , где – некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов или вектор линейно выражается через векторы . Данные векторы называются линейно-зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные, в противном случае – эти векторы линейно независимые. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, если они коллинеарны друг другу. Из определения умножения вектора на число следует: если , то . Наоборот, если два вектора параллельны, то любой из них можно растянуть во столько раз, чтобы получить другой. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (параллельны одной плоскости). Доказательство: Пусть . Отнесем все три вектора к одному началу и проведем через и плоскость (Р). Тогда векторы и будут лежать в плоскости Р и их сумма – вектор тоже будет лежать в плоскости Р. Значит, компланарны плоскости Р. Наоборот, пусть параллельны плоскости Р. Если их отнести к одному началу, то все они будут лежать в плоскости Р. Если не параллелен , то можно представить в виде линейной комбинации и . Это разложение вектора в плоскости по двум некомпланарным векторам.
Четыре или более векторов всегда линейно зависимы. Доказательство: Пусть даны . Отнесем их к одному началу. Если после этого лежат в одной плоскости, то они линейно зависимы. Если некомпланарны, то проведем через D (конец ) прямую, параллельно до пересечения с плоскостью векторов и в точке С. Через С – прямую, параллельную до пересечения с прямой, на которой лежит в точке В. Тогда – разложение вектора по трем некомпланарным векторам (разложение вектора по трем осям), что можно осуществить единственным образом.
Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. В плоскости базисом могут служить два неколлинеарных вектора, в пространстве – три некомпланарных вектора. Пусть – базис, – произвольный вектор, тогда , где –координаты вектора в базисе векторов . Обычно выбирают ортонормированный базис, в котором векторы ортогональны (перпендикулярны) и каждый вектор имеет единичную длину. В этом случае базисные векторы называют ортами и обозначают . Декартовы координаты в пространстве В качестве базиса декартовых координат выбрали три вектора единичной длины (орты), которые взаимно перпендикулярны и отнесены к общему началу в точке О, принятой за начало координат. Положение произвольной точки М в пространстве полностью характеризуется вектором , называемым радиус-вектором точки М. , - декартовы координаты. Для любого вектора : , - проекции на соответствующие оси. Если , то , тогда , , , – условие коллинеарности векторов. Если , то или – условие ортогональности векторов. Направляющие косинусы вектора – косинусы углов, которые он образует с осями координат. Если , то , то есть , , .
Скалярное произведение векторов Проекцией вектора на ось называется длинна отрезка (АВ) между основаниями перпендикуляров, опущенных из конца и начала вектора на ось , причем эта длинна берется со знаком «+», если АВ совпадает с направлением оси, иначе со знаком «–». Аналогично – проекция одного вектора на другой – скаляр. Свойства проекций: 1. Проекция равна 0, если . 2. При параллельном переносе вектора его проекция не меняется. 3. (знак регулируется знаком косинуса). 4. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции: . 5. Проекция суммы равна сумме проекций: .
Скалярное произведение векторов и равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: – скаляр. Иначе: . Пример из физики: , А – работа, – сила, – перемещение. Свойства скалярного произведения: 1. Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть , , α = 900. Если , то и тоже перпендикулярны. 2. , так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. 3. Перестановочный закон: . 4. Распределительный закон: . 5. .
Пример: .
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 352; Нарушение авторского права страницы