Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Вопрос 2 Эффект Холла как метод исследования полупроводников
Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда с концентрацией электронов n (концентрация дырок пренебрежимо мала). Через него течет электрический ток с плотностью j. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитной индукции В перпендикулярен вектору j ( см. рис.1). На электроны, дрейфующие в электрическом поле Е со скоростью V будет действовать сила Лоренца FL= -e [V, B]. Поэтому дрейф электронов будет иметь составляющую не только по оси «Х», но и по оси «Z». Это приведет к накоплению электронов на нижней грани образца, а на верхней будет их «дефицит»; в результате появится электрическое поле Ez, направленное вдоль оси «Z». Дрейф электронов вдоль оси «Z» будет до тех пор, пока возникшее электрическое поле не уравновесит силу Лоренца. В этой ситуации, очевидно, имеем:
Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что Vx – величина переменная, и в (1) стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега < t > ( средним временем релаксации). Поскольку jx= – en< Vx>, то Ez= –jx B/en (2)
Рис.1. Направление векторов E, B, j, Vn, FL в полупроводниковом образце n-типа при измерении эффекта Холла. Величина Еz называется полем Холла. Таким образом, электрическое поле ( для нашей ориентации векторов) имеет компоненты Ex и Еz , следовательно полный вектор электрического поля E = i Ex + k Еz не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда В = 0) между ними будет угол jH, получивший название «угол Холла». Для тангенса этого угла можно записать:
На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между верхней и нижней гранями на рис.1), которая называется эдс Холла:
Если выразить полный ток через плотность тока
где RH = - 1/ (e n ) - постоянная Холла. В случае полупроводника р-типа проводимости в уравнении (1) следует изменить знак носителей заряда с «-е» на «+е». Тогда будем иметь:
где р - концентрация дырок, mp - их подвижность, RH = 1/ (e p ) - постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя (6) и (7), можно видеть, что по знаку эдс Холла можно определить в эксперименте тип носителей заряда, а по величине RH - их концентрацию. Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла, то по ним определяют подвижность носителей:
Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях:
Проинтегрировав уравнения (9), и используя соотношение для подвижности mn =e < t > /mn, получим:
Домножив первое уравнение на «en», а второе на «ep», получим уравнения для электронного и дырочного токов:
Таким образом, полный ток:
или в скалярной форме:
Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом уравнении системы (13) много меньше первого. С учетом этого, решив систему (13) относительно Ez, получим:
Из (14) видно, что при n> > p RH = 1/ (en), а при p> > n RH = 1/ (ep). В случае собственного полупроводника, где n = p = ni,
где b = mn/mp. Согласно (23) RH < 0 при b > 1 (т.е. mn> mp) и RH > 0 при b < 1 (т.е. mn< mp). Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами - мы считали вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического уравнения Больцмана. Следствием рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление множителя r
в выражении для постоянной Холла:
Здесь < t > - среднее время релаксации, < t > - средний квадрат времени релаксации. Соответственно, все полученные выше формулы, где есть множители 1/ (e n ) или 1/ (e p ), верны с точностью до множителя r; в частности, для подвижности:
Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла. Поскольку r определяется временем релаксации t, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки r = 3p/8 = 1.18, а при рассеянии на примесных ионах r = 315p/512 = 1.93. При низких температурах (для Ge T< 250 K, для Si T< 100 K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si – в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки. Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая “слабого” магнитного поля. Поскольку t = < l> /< V> , то соотношение между длиной свободного пробега < l> носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:
где T-период вращения частицы, wc - циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией В). Известно, что wc= e B / m. Подставив wc в (16), получим
Приведенное определение «сильного» и «слабого» полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле (подробнее об этом см. [3, 4]. Рассматривая движение носителей заряда в классически сильном магнитном поле, можно показать[5], что в этом случае в кинетическом уравнении Больцмана вместо времени релаксации появляется «эффективное» время релаксации:
Отсюда видно, что в слабом поле tэф » t, а в классически сильном поле tэф < < t и в первом приближении перестает зависеть от скорости движения носителя заряда, т.е. в классически сильном поле r = 1. Таким образом для постоянной Холла и холловской подвижности получается:
Измерения эффекта Холла в классически сильных магнитных полях дают возможность определять фактор r; для этого берут отношение постоянных Холла RH, полученные для одного и того же образца в слабом и сильном полях. Билет 9 Вопрос 1 Поглощение света в кристаллах Поглощение света в кристаллах Интенсивность света, проходящего через вещество, постепенно уменьшается. Поглощение электромагнитного излучения твердым телом осуществляется различными путями: 1) энергия излучения расходуется на перевод электронов в более высокое энергетическое состояние; 2) энергия электромагнитного поля передается кристаллической решетке и превращается в тепло. Возможные переходы электронов в кристаллах под действием света показаны на рис. 1.2.2, а, где ЕBCB энергия, соответствующая нижнему краю зоны проводимости; EBVB верхнему краю валентной зоны. Переход 1 приводит к появлению электрона в зоне проводимости и дырки в валентной зоне, он возможен при энергии фотонов hν ≥ EBC B EBVB и соответствует собственному (фундаментальному) поглощению. В момент возникновения созданные светом носители заряда могут и не находиться в тепловом равновесии с кристаллической решеткой. Однако вследствие взаимодействия с ней эти носители быстро (примерно за 10P-10P с) передают решетке свою избыточную энергию (этот процесс называется термализацией), поэтому распределение по энергиям избыточных и основных носителей заряда будет одинаковым. Рис. 1.2.2. Основные электронные переходы при поглощении света в кристаллах (а), прямые и непрямые межзонные переходы (б)
При поглощении электроном фотона должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поэтому более наглядно поглощение света описывается с помощью схемы, учитывающей изменение энергии Е и импульса p. На рис.1.2.2, показана зависимость энергии электрона в зоне проводимости для определенного направления в кристалле (вверху) и дырки в валентной зоне (внизу) от импульса. Сплошная линия соответствует полупроводнику или диэлектрику, у которых минимумы энергии электрона и дырки находятся в одной точке пространства импульсов (прямозонный материал), пунктирная когда эти минимумы могут быть разнесены (учитывается, что в простейшем случае зависимость кинетической энергии электрона от импульса задается функцией ). Для материалов с прямыми зонами (например, GaAs с Δ E=1, 4 эВ; CdSe 1, 8 эВ; CdS 2, 5 эВ; ZnO 3, 1 эВ и т.д.) преобладают прямые межзонные переходы (переходы 1), происходящие без изменения импульса. Такие переходы возможны, так как импульс фотона (с скорость света) очень мал и приращением импульса электрона, поглотившего фотон, можно пренебречь. В прямозонных веществах имеют место и непрямые переходы (переходы 1´ ), когда сохранение импульса обеспечивается генерацией или поглощением фонона или за счет рассеяния на свободных носителях заряда и дефектах кристаллической решетки. При этом могут осуществляться переходы из любого занятого состояния валентной зоны в любое свободное состояние зоны проводимости. В непрямозонных кристаллах (например, Ge с Δ E=0, 7 эВ; Si 1, 1 эВ; GaP 2, 3 эВ и т.д.) доминируют непрямые переходы, соответствующие наименьшей энергии фотонов (переходы 1″ ), при этом в процессе поглощения фотона участвует третья частица фонон, с которой и связано изменение импульса электрона. В сильно легированных полупроводниках (например, n-типа проводимости) состояния вблизи дна зоны проводимости заполнены электронами и собственное поглощение, связанное с переходами в эти состояния, оказывается невозможным. В результате край собственного поглощения смещается в сторону больших частот (эффект Бурштейна-Мосса). При поглощении света кристаллическим твердым телом возможно и такое возбуждение электрона валентной зоны, при котором он не переходит в зону проводимости, а образует с дыркой связанную кулоновскими силами систему (см. рис.1.2.2 а, переход 2; энергия системы обозначена чёрточками вблизи зоны проводимости). Такая система называется экситоном. В предположении слабого взаимодействия, когда размеры экситона велики по сравнению с постоянной решетки кристалла, экситон можно представить как электрон и дырку, связанные кулоновскими силами и медленно двигающиеся по большим орбитам относительно их центра масс. В такой модели экситон ведет себя аналогично атому позитрония и имеет водородоподобную схему расположения энергетических уровней (квазичастица, предсказанная в 1931 г. Я.И.Френкелем и впервые зафиксированная в спектрах поглощения кристаллов закиси меди Е.Ф.Гроссом в 1951 г.). Поскольку экситон может перемещаться по кристаллу, полная энергия свободного экситона складывается из внутренней энергии экситонного возбуждения и его кинетической энергии: ЕBэкс B EB0 B EB0 B (1.2.4) где М - полная масса экситона, равная сумме масс электрона и дырки; E0= Δ E - Ex (Ex - энергия связи экситона), k - его волновое число. Вопрос 2 Закон Видельмана- Франса Закон Видемана-Франца (1853). Теплопроводность металлов. Наиболее впечатляющим успехом модели Друде явилось объяснение эмпирического закона Видемана и Франца (1853г.). Этот закон утверждает, что отношение теплопроводности к электропроводности, / , для большинства металлов прямо пропорционально температуре, причем коэффициент пропорциональности с достаточной точностью одинаков для всех металлов. Эта закономерность видна из таблицы 1.2, где наряду с теплопроводностью приведены экспериментальные значения чисел Лоренца / Т. Таблица 1.2. Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и числа Лоренца В модели Друде предполагается, что основная часть теплового потока в металле переносится электронами проводимости (металлы проводят тепло лучше, чем диэлектрики! ). В соответствии с законом Фурье поток тепла пропорционален (и противоположно направлен) градиенту температуры
Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом теплопроводности. Рассматривая одномерный случай с ниспадающим, для определенности, вдоль х распределением температуры получаем поток тепла Jq = (1/2)nvх[E(T[x-v ]) - E (T[x+v ])], где Е(x) - средняя энергия электронов в точке x. Jq = nvх2 dE/dT[-dT/dx]. Поскольку < vx2> = 1/3 v2 и ndE/dT = (N/V)dE/dT = (dU/dT)/V = Сv, где U - свободная энергия, Сv - электронная удельная теплоемкость, то имеем
или
Поделив на выражение для электропроводности, получаем
В рамках классического идеального газа Друде полагал 1/2 mv2 = 3/2 kBT и сv=3/2 nkB. Это дает
Т.е., / Т зависит только от фундаментальных постоянных в полном соответствии с законом В-Ф. Величина /( Т) ~1·10-8 Вт Ом/К2 в двое меньше экспериментальных значений. [История: в первоначальном варианте Друде ошибся в два раза в электропроводности, поэтому найденное им значение /( Т) ~2.22 10-8 Вт Ом/К2, оказалось в превосходном согласии с экспериментом. Взаимная компенсация ошибок в cvи v2примерно в 100 раз каждая.] Билет 10 Вопрос 1Частные случаи общего уравнения переноса Когда макросистема находится в равновесии, все ее тер-модинамические параметры постоянны по всему объему сис-темы. Если систему вывести из равновесия и предоставить самой себе, то она постепенно вернется в равновесное сос-тояние. При этом в системе будут протекать необратимые процессы, называемые процессами переноса. Различают нес-колько процессов переноса в зависимости от того, какие па-раметры системы были выведены из равновесия. Это – процессы переноса энергии, плотности и импульса, и свя-занные с ними явления теплопроводности, диффузии и вяз-кости. Процессы переноса возникают, когда имеется гради-ент какого-либо параметра макросистемы по всему объему макросистемы. При этом возникают потоки параметра в сто-рону уменьшения параметра. Установление равновесия термодинамических систем происходит при помощи движения молекул. Это позволяет получить общее уравнение для всех явлений переноса. Пусть имеется термодинамическая система с концен-трацией молекул, равной . Средняя скорость молекул . Движение молекул в такой системе будем считать полнос-тью хаотическим для того, чтобы не было направленных то-ков молекул и процессы переноса обусловливались только движением молекул. Возьмем некую площадку единич-ной площади. Определим плотность потока молекул, пере-секающих площадку в одном направлении. Пусть пло-щадка располагается перпендикулярно оси . Плотность потока молекул, пересекающих площадку в положитель-ном направлении оси будет . Этот поток и будет переносить физическую величину , выведенную из равновесия, в сторону уменьшения ее значе-ния. Плотность потока величины обозначим как . Предположим, что величина характеризует какое-то мо-лекулярное свойство одной молекулы, причем молекула об-ладала этим свойством на расстоянии свободного пробега от площадки . То есть последнее со-ударение молекула испытывала на расстоянии от площадки . Пусть величина изменяется вдоль оси , т.е. имеет место градиент . Тогда возникает поток величины в сторону ее уменьшения (рис.2.1).
Тогда общее уравнение переноса для любой величины через площадку единичной площади, перпендикулярную на-правлению переноса, будет следующим: , (2.2) где – концентрация молекул, – средняя скорость молекул, – расстояние свободного пробега. Значения этих величин берутся в сечении . Теперь на основе общего уравнения переноса получим уравнения для переноса массы, импульса и энергии. Процесс переноса массы Процесс переноса массы обусловливает явление диффу-зии. Диффузия – это самопроизвольное выравнивание кон-центраций в смеси нескольких различных веществ. Такое выравнивание концентраций происходит из-за теплового хаотического движения молекул. Рассмотрим смесь двух га-зов при постоянной температуре и давлении во всем объеме сосуда. При этих условиях не будет газодинамических по-токов, взаимопроникновение молекул будет обусловлено только тепловым движением. Суммарная концентрация обеих компонент не изменяется в зависимости от коорди-наты по оси . От координаты зависят концентрации обеих смесей ( и ). То есть возникает градиент концен-трации одной из компонент, что служит причиной возник-новения процесса переноса массы каждой компоненты в на-правлении уменьшения ее концентрации (рис. 2.2). Переносимой величиной будет являться концентрация молекул одной из компонент: (2.3) Получаем выражения для потока этой величины: (2.4) В случае, когда смесь состоит из большего количества компонент, поток -й компоненты будет выражаться тем же соотношением: , (2.5) где (2.6) – коэффициент диффузии. Мы получили выражение для потока через единичную площадку. При определении потока через площадку , по-лучаем соотношение, описывающее поток молекул -й ком-поненты: . (2.7) Из этого соотношения можем получить выражение для потока массы -й компоненты. Для этого умножим обе части уравнения на массу молекулы -й компоненты: , (2.8) где – парциальная плотность -й компоненты. Два последних выражения (2.7) и (2.8) были получены эмпирическим путем и носят название закона Фика. Размерность коэффициента диффузии – . Коэффициент диффузии определяет массу, переносимую через поверх-ность площадью за 1 секунду при градиенте плот-ности, равном . Коэффициент диффузии приближенно обратно пропорционален давлению, а при постоянном дав-лении пропорционален . Процесс переноса энергии
Это процесс лежит в основе явления теплопроводности. Если в некоторой среде возникает градиент температуры, то возникает поток тепла. В этом случае переносимой вели-чиной будет средняя кинетическая энергия теплового дви-жения одной молекулы . Плотность потока тепла составит . (2.14) Переносимую величину представим в виде: (2.15) где – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Отсюда получаем . (2.16) Умножив и разделив на массу молекулы, и учтя, что – плотность вещества и – удельная теплоемкость вещества, получаем выражение для теплового потока через единичную площадь: где (2.18) – коэффициент теплопроводности. Окончательно, . (2.19) Полученное соотношение называется законом Фурье. Теплопроводность не зависит от давления и пропорцио-нальна . Коэффициент теплопроводности может быть получен из коэффициентов диффузии и вязкости: . Коэффициент теплопроводности имеет размерность и численно равен энергии, переносимой в виде теплоты за 1 секунду через плоскую поверхность площадью при градиенте температуры, равном единице. Общими свойствами всех трёх коэффициентов является то, что эмпирически определив , и , мы можем вы-числить длину свободного пробега и эффективный диа-метр молекул . Вопрос 2 Нормальные колебания решетки Колебания кристаллической решетки - согласованные смещения атомов или молекул, образующих кристалл, относительно их положений равновесия. Если смещения малы и справедливо т. н. гармонич. приближение, то независимыми собственными К. к. р. являются нормальные колебания (моды), каждое из к-рых вовлекает в движение все атомы кристалла. Нормальное колебание имеет вид плоской волны, характеризующейся волновым вектором k, к-рый определяет направление распространения фронта волны и её длину , вектором поляризации , указывающим направление смещения атомов в волне. В процессе нормального колебания все атомы кристалла колеблются около положений равновесия по гармонич. закону с одинаковой частотой ( k ) (s=l, 2, 3, ... 3 ), где s - номер ветви закона дисперсии, - число атомов в элементарной ячейке кристалла. Т. о., одному и тому же k отвечает мод, отличающихся векторами поляризации е и частотами. Вектор k и индекс s однозначно определяют нормальное колебание, т. е. (k)и e(k). Если , то мода наз. продольной (L), если - поперечной (Т). В любом кристалле существуют 3 ветви колебаний, к-рые при (а - межатомное расстояние) превращаются в обычные звуковые волны в твёрдом теле с линейным законом дисперсии (s=1, 2, 3), когда все атомы в элементарной ячейке кристалла колеблются в одной фазе (акустич. колебания). При более высоких частотах закон дисперсии акустич. колебаний перестаёт быть линейным. Акустич. колебания охватывают полосу частот от 0 до wмакс. В дебаевской модели твёрдого тела принимается, что акустич. колебания обладают линейным законом дисперсии при всех частотах в интервале , где -т.н. дебаевская частота, к-рая по порядку величины равна макс. частоте (1013 с-1) и служит важнейшим параметром спектра К. к. р. В сложной кристаллич. решётке существует также ветвей оптич. колебаний, отличающихся тем, что при (k=0) центр масс элементарной ячейки покоится и движение кристалла сводится к относит, смещению атомов внутри элементарной ячейки. При k=0 частоты оптич. колебаний . (рис. 1). Как правило, полосы частот оптич. колебаний расположены выше частот акустич. колебаний, и тогда в спектре К. к. р. возникает запрещённая зона (но возможны перекрытия акустич. и оптич. полос частот). Частным случаем оптич. колебаний являются внутр. моды колебаний сильно связанных атомов в молекулярных кристаллах, частоты к-рых значительно превышают частоты акустич. колебаний. Существуют кристаллы, у к-рых нек-рые оптич. частоты сильно зависят от внеш. условий (темп-ры, давления, магн. поля и др.) и при определ. значениях этих параметров могут обращаться в 0. В результате возникает статич. деформация, т. е. перестройка элементарной ячейки, проявляющаяся в структурном фазовом переходе. Оптич. колебания ионных кристаллов сильно взаимодействуют с эл--магн. полем, что приводит к появлению связанных колебаний поляризации кристаллич. решётки и эл--магн. поля (см. По-ляритон). Это позволяет возбуждать оптич. колебания ионных кристаллов переменным эл--магн. полем, напр, световой волной ИК-диапазона (отсюда назв. оптич. колебаний). Т. к. в гармонич. приближении нормальные колебания независимы, то в кристалле одновременно может быть возбуждено много мод с разными интен-сивностями (амплитудами). Полное число независимых К. к. р. равно числу механич. степеней свободы всех атомов в кристалле, а их распределение между разл. частотами даёт ф-ция распределения частот . По определению ' - число колебаний с частотами, лежащими в интервале от , а, где N - число атомов в кристалле. Вид ф-ции g(w) зависит от размерности кристалла. В трёхмерной кристаллич. решётке при низких частотах для каждой ветви акустич. колебаний '. С ростом поведение ф-ции изменяется: она обращается в 0 на краях разрешённых полос, оставаясь равной 0 в запрещённых зонах, а внутри полос обладает Ван Хова особенностями (рис. 2). Полная плотность К. к. р. получается суммированием ф-ций для отд. ветвей. В двумерном кристалле для акустич. ветви (при , а при и на краях полос оптич. частот g=const. В одномерной кристаллич. цепочке для акустич. ветви при , а вблизи при ; На характер К. к. р. существенное влияние оказывают дефекты в кристаллах. Точечный дефект приводит к локальному искажению решётки и может вызвать локальные колебания, частоты к-рых попадают в запрещённые зоны бездефектного кристалла. Нормальные колебания кристалла с точечным дефектом не являются плоскими волнами: они имеют вид либо сходящихся к дефекту или расходящихся от него колебаний типа сферич. волн с центром в точке расположения дефекта (сплошной спектр частот), либо полностью локализованных у дефекта колебаний (локальные частоты). Билет 11. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 397; Нарушение авторского права страницы