Исследование линейных импульсных автоматических систем

Цель работы: исследование особенностей динамических процессов в импульсных системах, связанных с квантованием по времени, осуществляемым импульсным элементом; изучение вопросов устойчивости импульсных систем, приобретение навыков исследования временных и частотных характеристик импульсных систем.

 

Теоретические положения

В работе рассматриваются процессы, протекающие в замкнутой импульсной системе, представленной на рис.4.1 с импульсным элементом (ИЭ), вырабатывающим последовательность импульсов, модулированную значениями сигнала отклонения (ошибки) системы x(t), в дискретные моменты времени (mТ, m=O, l,...N) и имеющую вид рис. 4.2, где Т - период квантования, Ти - продолжительность импульса.

 

 

ИЭ

 

Рис.4.1 Рис.4.2

 

 

Сигнал (t)можно представить как выход идеального импульсного элемента (ИИЭ), вырабатывающего модулированную сигналом отклонения (ошибки) последовательность δ - функций x*(t), пропущенную через формирующее устройство с передаточной функцией

 

(рис. 4.3).

 

Рис.4.3

Тогда замкнутая система рис.4.1 может быть представлена структурной схемой рис. 4.4 (а и б).

Y*(t)

X*(t)

Рис. 4.а

	U*(t)

 

-

 

Рис.4.4б

На рис.4.4 W_p*(p)) - дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы, которая может быть получена из непрерывной передаточной функции с использованием следующего перехода:

Wp(p)=Wфи(р)Wнч(р

 

где L - непрерывное, D - дискретное преобразование Лапласа; Т – период квантования.

Проделаем этот переход для ,

,

где n - степень полинома А(р); p₁, p₂, … p_n - корни полинома А(р);

c_-1, c₀, c₁, …, c_n - коэффициенты, которые могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов или по формуле разложения.

Весовая функция, соответствующая выражению в фигурных скобках, может быть записана в виде:

 

;

,

 

откуда легко получить:

 

Приведением к общему знаменателю это выражение можно представить в виде отношения двух полиномов, а именно:

 

,

где n - степень полиномов.

Передаточные функции замкнутой импульсной системы с единичной обратной связью (рис.4.4) можно рассчитать по формулам:

, ,

где А*(р) - характеристический полином замкнутой системы степени n вида

.

С использованием этих передаточных функций можно рассчитать установившиеся значения ошибок х_уст на основании предельной теоремы дискретного преобразования Лапласа

 

,

где U*(p) - дискретное преобразование Лапласа от входного сигнала.

По передаточной функции замкнутой системы можно найти выходной сигнал в дискретные моменты времени с использованием разностного уравнения. При нулевых значениях входного и выходного сигналов для отрицательных моментов времени его можно получить из уравнения, записанного в изображениях с использованием дискретного преобразования Лапласа, которое имеет вид

;

или

Из вышеприведенного уравнения можно записать разностное уравнение:

или

Используя характеристическое уравнение замкнутой импульсной системы А*(р) и производя подстановку

получаем характеристическое уравнение относительно переменной V (A(V)=0), для которого можно использовать критерий Гурвица, сформулированный для непрерывных систем.

По дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы могут быть получены выражения комплексного коэффициента усиления импульсной разомкнутой САР. Для этого в выражении W_p*(p) должна быть произведена замена оператора р на комплексное число jω и использована формула Эйлера

.

Годограф разомкнутой импульсной системы строится при изменении ω в диапазоне [0, ω ₀/2], где ω ₀ = 2π /Т - частота квантования сигнала. На рис.4.5 представлен пример годографа разомкнутой импульсной системы.

Годограф не охватывает точку с координатами (-1; j₀) и, следовательно, в соответствии с критерием Найквиста для устойчивой разомкнутой системы, соответствующая замкнутая импульсная система - устойчива и обладает некоторым запасом устойчивости по амплитуде Δ А, по которому можно найти значение предельного коэффициента усиления К_пред, с использованием пропорции:

К ~ (1-Δ А)

К_пред ~ 1.

Коэффициент усиления разомкнутой импульсной системы определяется, исходя из следующих соотношений:

 

Подготовка к работе

1. Для передаточной функции W_нч(p), заданной в табл.4.1, и формирователя прямоугольных импульсов с Тимп=Т=1с, найти весовую функцию и по ней определить дискретную передаточную функцию разомкнутой системы W*_p(p).

2. Заменяя р на jω и используя формулу Эйлера, записать выражение комплексного коэффициента усиления импульсной разомкнутой системы и построить годограф, изменяя ω в диапазоне от 0 до ω ₀/2. Определить устойчивость замкнутой системы и найти Кпред.

3. Записать передаточную функцию замкнутой системы W*(p), найти по ней характеристическое уравнение и определить Кпред с использованием критерия Гурвица.

4. Для К=0, 75Кпред по W*(p) записать разностное уравнение и рассчитать переходную функцию замкнутой системы.

5. Записать передаточную функцию замкнутой системы W₀*(p) и вычислить значение установившейся ошибки х_уст для К=0, 75 Кпред.

 

Задание на выполнение работы

1. Собрать замкнутую импульсную систему и установив Т_имп=0, 5Т, φ =0, наблюдать и зарисовать вид сигналов на входе, выходе системы, сигнал ошибки до и после импульсного элемента для Т=1, 0.5, 0.1 секунды.

2. Установив Тимп=Т=1с и изменяя коэффициент усиления системы, определить предельный коэффициент усиления импульсной САР.

3. Установив К=0, 75Кпред наблюдать и зарисовать переходную функцию замкнутой импульсной системы. Сравнить с рассчитанным в п.4 домашнего задания переходным процессом.

4. Определить установившееся значение ошибки х_уст и сравнить это значение с полученным в п.5 домашней подготовки.

 

Методические указания

Для моделирования импульсного элемента следует использовать блок Zero-Order Hold (Экстраполятор нулевого порядка) из библиотеки блоков Discrete (Элементы дискретных систем) с параметром продолжительность импульса (Тимп). В качестве входного сигнала следует использовать блок Step (Ступенчатый сигнал) из библиотеки блоков Sources (Источники сигналов).

Таблица 4.1

№ бр.	W1	W2	W3
	3/p	3/(1+4p)	K(1+pT1)/p(1+pT2)	K=1.5; T1=5; T2=2
	4/p	4/(1+3p)	K/p(1+pT1)	K=2; T1=15
	5/p	5/(1+6p)	K/(1+pT1)(1+pT2)	K=5; T1=2.5; T2=4
	1/p	1/(1+2.5p)	Kp/(1+pT1)(1+pT2)	K=5; T1=3; T2=10
	7/p	7/(1+2p)	K(1+pT0)/(1+pT1)(1+pT2)	K=7; T1=2.5; T2=4; T0=5
	3.5/p	3.5/(1+5.5p)	K/p(1+pT1)	K=5; T1=2
	7.5/p	7.5/(1+7p)	K/(1+pT1)(1+pT2)	K=2.5; T1=4; T2=7
	8/p	8/(1+3.5p)	K(1+pT1)/p(1+pT2)	K=2.5; T1=2; T2=5
	2.5/p	2/(1+5p)	Kp/(1+pT1)(1+pT2)	K=1.5; T1=4; T2=3
	2/p	2.5/(1+4.5p)	K(1+pT0)/(1+pT1)(1+pT2)	K=3; T0=5; T1=3; T2=2
	3/p	3.5/(1+2.5p)	K(1+pT1)/p(1+pT2)	K=5; T1=2; T2=3.5
	7/p	1.5/(1+3p)	K/p(1+pT1)	K=10; T1=2
	4.5/p	4.5/(1+2.5p)	K/(1+pT1)(1+pT2)	K=7.5; T1=2.5; T2=5
	8.5/p	5.5/(1+3p)	Kp/(1+pT1)(1+pT2)	K=3.5; T1=5; T2=2
	9/p	6/(1+7.5p)	K(1+pT0)/(1+pT1)(1+pT2)	K=4; T0=3; T1=5; T2=7

Контрольные вопросы

1. Выведите передаточную функцию формирователя импульсов, используемого в работе.
2. Каким образом можно получить дискретную передаточную функцию разомкнутой системы по известной непрерывной передаточной функции и известной форме импульсов на выходе импульсного элемента?
3. Выведите дискретную передаточную функцию замкнутой системы, представленной на рис. 4.а.
4. Каковы дискретные изображения Лапласа типовых входных сигналов (единичного импульса, единичной ступенчатой функции, линейно возрастающего сигнала)? Выведите дискретные изображения Лапласа этих сигналов.
5. Как поведет себя годограф W_p*(p) при изменении частоты от -¥ до +¥ ? Как по годографу найти предельный коэффициент усиления?

Литература

1. М.Б. Коломейцева, В.М. Беседин, Т.В. Ягодкина, Основы теории импульсных и цифровых систем. Учебное пособие – М.: Изд-во МЭИ, 2001. – 108 с.

2. Ягодкина Т.В., Хризолитова С.А., Применение Mathcad для решения задач теории автоматического управления, Учебное пособие. М.: Изд-во МЭИ, 2004. – 52 с.

3. Теория автоматического управления. Ч. I. Под ред. Нетушила А.В., М.: Высш. школа, 1982, 400 c.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: