Лектор: ст. преподаватель Какурина Светлана Константиновна

Материальная точка – тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Рассмотрим движение материальной точки М массой m под действи-

ем приложенных к ней сил , , … .

Выберем оси координат x; y; z.

Основное уравнение динамики имеет вид:

Проецируем обе части уравнения на оси

координат:

m^.a_x = F_1x + F_2x + … + F_nx = å F_кx;

m^.a_y = F_1y + F_2y + … + F_ny = å F_кy;

m^.a_z = F_1z + F_2z + … + F_nz = å F_кz;

Учитывая, что:

получим:

- дифференциальные уравнения движения

материальной точки.

Две основные задачи динамики.

С помощью дифференциальных уравнений движения точки решим две основные задачи динамики точки.

Первая задача динамики . Зная массу точки и уравнения её движения найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке. m;

Задача решается следующим путём:

x = f₁(t);

y = f₂(t);

F -?

Вторая задача динамики . Зная силы, действующие на материальную точку, её массу, а также начальное положение точки и её начальную скорость получить уравнения движения точки.

Для решения этой задачи, необходимо полученные уравнения дважды проинтегрировать по времени.

Примеры:

2. Вторая задача динамики:

Груз двигался по наклонной плоскости с начальной скоростью V₀ в течение времени t. Определить длину пройденного пути.

V₀ = 2 м/с

f = 0, 3

a = 30⁰

t = 3 c

__________

ℓ =?

Начальные условия:

при t = 0; x = 0; x^/ = V₀.

Дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х

m^.а_х = å F_кх (1)

где (2)

m^.x^// = mg ^. sina - F_тр (3)

Для определения силы трения запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось у

m^.а_у = å F_ку

m^.а_у = N - mg ^. сos a

Так как движение происходит вдоль оси х, то а_у = 0

0 = N - mg ^. сos a

N = mg сosa = 10m ^. 0, 87 = 8, 7 m

F_тр = f^.N

Подставим значения в (3)

m^.x^// = mg sina - mgf сosa (4)

Разделим обе части равенства на m

(5)

(6)

Разделим переменные

(7)

Интегрируем это выражение:

(8)

Постоянную интегрирования С₁ найдём из начальных условий

при t = 0 V = V₀ C₁= V₀

(9)

Разделим переменные в уравнении (9)

(10)

Интегрируем (10)

(11)

Постоянную интегрирования С₂ найдём из конечных условий

при t = 0; x = 0; C₂ = 0.

Отсюда длина пройденного пути

(12)

Подставим значения

м

3. V₀ = 36 км/ч

V = 0

f = 0, 2

t -?

Уравнение движения в проекции на ось х

m^.a_x = å F_кх (1)

m^.a_x = - F_тр

Сила трения

F_тр = fmg

Подставим значения в уравнение (1)

m^.a_x = - fmg

Сократим массу

отсюда:

Разделим переменные

Интегрируем это выражение

Постоянную интегрирования С₁ найдём из начальных условий

при t = 0 х = V₀ C₁= V₀

Конечные условия

Подставим значения

-fgt + V₀ = 0

Fgt = V₀

Переведём скорость в м/с

V₀ = 10 м/с

Система материальных точек.

Системой материальных точек или механической системой называют такую совокупность точек, в которой положение или движение одной точки зависит от положения или движения всех других точек.

Механическая система, в которой расстояние между двумя точками не изменяется при её движении, называется неизменяемой (абсолютно твёрдое тело).

Механическая система, расстояние между точками которой изменяется при её движении, называется изменяемой (деформируемое тело).

Механическая система, движение которой не ограничено никакими связями, а определяется лишь действующими на точки системы силами, называется системой свободных точек или неограниченной системой (Солнечная система, планеты свободно движутся по орбитам, зависящим от действующих на них сил).

Механическая система, движение которой ограничено наложенными на точки связями, называется системой несвободных точек или ограниченной (любой механизм или машина, движение отдельных элементов ограничено связями).

Все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разделить на задаваемые (активные) силы и реакции связей.

Все силы, действующие на механическую систему можно разделить и по другому признаку: на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в систему, обозначаем F^е.

Внутренними называются силы, действующие со стороны точек или тел, входящих в данную систему, обозначаем Fⁱ.

Любая сила может быть как внутренней, так и внешней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается.

На основании закона равенства действия и противодействия каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей модулю и противоположная по направлению. Из этого следует:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равен нулю,

 

å Fⁱ_кх = 0; å Fⁱ_кy = 0; å Fⁱ_кz = 0.

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно центра равен нулю, М₀ⁱ = 0,

 

å Mⁱ_x = 0; å Mⁱ_y = 0; å Mⁱ_z = 0.

Внешние силы не уравновешиваются, так как приложены к различным материальным точкам, следовательно, могут вызывать перемещение этих точек относительно друг друга.

 

Центр масс системы и его координаты.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных

точек, которые совершают дви- жение относительно системы

отсчёта OXYZ. Каждая точка

имеет определённую массу, а её положение определяется

радиусом-вектором или

координатами x_к , y_к, z_к.

Центром масс системы называ-

ется точка С, радиус-вектор которой вычисляется по формуле:

,

где - масса системы.

 

Проецируя векторы уравнения на оси координат, получаем формулы, определяющие координаты центра масс системы

 

Как видно из формул, положение центра масс системы зависит только от положения и массы каждой точки системы. Центр тяжести тела или системы тел является центром масс этой системы. Понятие центр масс системы применимо для любой системы независимо от того находится она под действием каких либо сил или нет, центр тяжести применим только для тел, находящихся в однородном поле сил тяжести.

 

Теорема о движении центра масс механической системы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек.

Выделим К точку системы, имеющую массу m_к. Запишем для этой точки основное уравнение динамики

- равнодействующие силы.

Для системы можем записать n таких уравнений.

Просуммируем их:

 

Вместо а_к подставим d²r_к/dt² , тогда:

(1)

 

Учитывая, что С центр масс этой системы, а следовательно:

(2)

Подставим (2) в (1):

или (3)

 

Это – теорема о движении центра масс системы:

 

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе системы, к которой приложены все внешние силы.

Спроецируем (3) на оси координат, получим:

 

дифференциальные уравнения

движения центра масс (4)

 

 

Следствия из теоремы:

1) Если главный вектор внешних сил остаётся всё время равным 0, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Если , то из (3) , но отсюда V_c = const то есть

центр масс движется равномерно и прямолинейно. При этом, если начальная скорость V_co = 0, то центр масс находится в покое.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: