Решение статистических игр по различным критериям

 

Нередко при решении экономических задач возникает необходимость выбора оптимального решения в условиях не­определенности и риска. Такие ситуации назы­ваются играми с природой (иногда статистическими игра­ми). Термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которая выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбираю­щий очередные ходы партнер по игре. Природа безразлична к выигрышу.

Сторона, принимающая решение (игрок А или статис­тик), имеет т стратегий: А₁, А₂, ..., А_m. Природа может реализовать п возможных состояний: П₁, П₂,..., П_n. Поскольку при­рода не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с помощью вы­игрышей a_ij игрока А для каждой пары стратегий А_i и П_j. Все показатели игры записываются в виде платежной матрицы:

.

Часто построение платежной матрицы является наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. При анализе игры с природой вводится также показа­тель, позволяющий оценить, насколько то или иное состоя­ние природы влияет на исход ситуации. Этот показатель на­зывается риском.

Риском r_ij статистика, когда он пользуется чистой стра­тегией А_i при состоянии П_j природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализо­вано именно состояние П_j, и тем выигрышем a_ij, который он получит, используя стратегию А_i, не зная, какое из состоя­ний П_j природа действительно реализует. То есть элементы матрицы рисков определяются по формуле

(7.8)

 

Применяется две группы критериев — использующих и не использующих априорные вероятности q_j состояний при­роды. К первой группе относятся критерии Байеса и Лапла­са.

В качестве оптимальной по критерию Байеса принимает­ся чистая стратегия А_i, при которой максимизируется сред­ний выигрыш статистика

 

, (7.9)

то есть обеспечивается . (7.10)

Если статистику представляются в равной мере правдо­подобными все состояния П_j природы, то и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стра­тегия А_i, обеспечивающая

. (7.11)

 

Ко второй группе критериев, применяемых при неизвест­ных априорных вероятностях состояний природы, относятся критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Оптимальной по кри­терию Вальда считается чистая стратегия А_i, при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, то есть ему обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Вальда формулиру­ется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика будет максимальным, то есть стратегия р*, найденная из условия .

Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия А_i, при которой минимизируется величина r_i мак­симального риска, то есть обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формули­руется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимизируется, то есть стратегия р*, найденная из условия .

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия А_i, найденная из условия где принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных сооб­ражений. При = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, а при = 0 — в критерий край­него оптимизма.

Пример решения задачи

Постановка задачи . Кафетерий «Мечта» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Спрос на пирожные может соста­вить 100, 120, 140 или 160 шт. с вероятностью 0, 2; 0, 3; 0, 4; 0, 1 соответственно. Затраты на производство одного пирож­ного составляют 70 ден. ед., а цена реализации — 100 ден. ед. Если пирожные не продаются в течение 36 ч, они портятся и магазин несет убытки.

Какое количество пирожных следует выпекать?

 

Решение задачи

 

Используем игровой подход. В рассматриваемой ситуации в качестве сознательного игрока А (статистика) выступает кафетерий «Мечта», принимающий решение об объемах выпуска кондитерских изделий. Его чистыми стратегиями будут: А₁ – решение о выпуске 100 шт. кондитерских изделий в день; А₂ – 120 шт.; А₃ – 140 шт.; А₄ – 160 шт. В качестве второго игрока будем рассматривать спрос на кондитерские изделия, под влиянием которого специалисты кафетерия принимают решение об объемах выпуска пирожных, – природу П. В данном случае природа может реализовать любое из четырех состояний: П₁ – спрос на пирожные составляет 100 шт.; П₂ – 120 шт.; П₃ – 140 шт.; П₄ – 160 шт. Итак, описанная ситуация формализуется в статистическую игру размерности 4х4 (таблица 7.5).

 

Таблица 7.5 – Платежная матрица

 

	П1(100)	П2(120)	П3(140)	П4(160)
А1(100)
А2(120)
А3(140)
А4(160)	-1200				-1200
qj	0, 2	0, 3	0, 4	0, 1

 

Вычислим выигрыши а_ij игрока А – значения совокупного показателя эффективности работы кафетерия при любом стечении обстоятельств (А_i; П_j) (i, j = ). Наиболее благоприятными будут комбинации (А₁; П₁), (А₂; П₂), (А₃; П₃) и (А₄; П₄), когда объем выпуска пирожных совпадает со спросом на них:

; ;

;

В ситуациях (А₁; П₂), (А₁; П₃), (А₁; П₄) кафетерий произведет 100 шт. пирожных при спросе на них соответственно в 120, 140, 160 шт. Поэтому кафетерий получит прибыль в размере 3000 ден. ед.

В ситуации (А₂; П₁), если кафетерий произведет 120 шт. пирожных при спросе на них в 100 шт., прибыль составит Аналогично вычисляются и остальные элементы платежной матрицы (таблица 7.5).

Как видно из таблицы 7.5, нижняя чистая цена игры , а верхняя чистая цена , т.е. a = b - игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β . Оптимальными для игроков будут соот­ветственно максиминная и минимаксная стратегии, т.е. для кафетерия оптимальной будет стратегия А₁ (объем выпуска пирожных – 100 шт.).

В условии задачи известны вероятности состояний спроса, поэтому в качестве оптимальной по критерию Байеса принимает­ся чистая стратегия А_i, при которой максимизируется сред­ний выигрыш статистика. Тогда по формуле (7.9) находим значения средних выигрышей для каждой чистой стратегии (см. столбец таблицы 7.5) и устанавливаем по формуле (7.10), что наибольший средний выигрыш, равный 3000 ден. ед., достигается при стратегии А₁ (кафетерий должен выпускать 100 шт. пирожных в день), которая и будет оптимальной по критерию Байеса.

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1

На каждой из двух торговых баз ассортиментный ми­нимум составляет одинаковый набор товаров из четырех видов. Магазины, обо­значим их А и В, конкурируют между собой. Один и тот же вид товара в обоих магазинах продается по одной и той же цене. Однако товар, поставляемый в ма­газин В, более высокого качества. Если магазин А завезет с базы товар, отлич­ный от товара, завезенного в магазин В, то товар будет пользоваться спросом, и магазин А от его реализации получит прибыль с, денежных единиц. Если же в магазины А и В завезены товары одинакового вида, то товар в магазине А спро­сом пользоваться не будет, поскольку такой же товар, по такой же цене, но бо­лее высокого качества, можно купить в магазине В, и потому магазин А понесет убытки по хранению и, возможно, порче товара в размере d, денежных единиц.

Требуется формализовать конфликтную ситуацию, построить матрицу иг­ры и дать рекомендации по выбору оптимальной смешанной стратегии магази­на А при числовых данных, представленных в таблице 7.6.

 

Таблица 7.6 – Исходные данные по вариантам

 

	Вариант
с1
с2				78, 3
с3
с4
d1				38, 5
d2
d3
d4

Задача 2

Предприятие может выпускать три вида продукции: А, Б и В. Объемы реализации продукции зависят от спроса, который может находиться в одном из состояний — C₁, C₂ и С₃. Значения величины прибыли, которую получит предпри­ятие при выпуске единицы i-го вида продукции при j-м сос­тоянии спроса, заданы матрицей

Определить с помощью инструмента Поиск решения MS Excel оптимальные пропорции объемов выпуска продукции, гарантирующие максимальную среднюю вели­чину прибыли при любом состоянии спроса. Вероятности наступления различных величин спроса неизвестны.

Задача 3

Небольшая частная фирма производит молочную продукцию. Один из ее продуктов — творожная масса. Необ­ходимо решить, какое количество творожной массы следует производить в течение месяца, если вероятность того, что спрос составит 100, 150 или 200 кг равна соответственно 0, 2; 0, 5; 0, 3. Затраты на производство 1 кг равны 1000 ден. ед. Фирма продает массу по цене 1200 ден. ед. за 1 кг. Если масса не продается в течение месяца, то она снимается с реа­лизации и фирма не получает дохода.

Дать рекомендации, сколько творожной массы произво­дить фирме.

 

Задача 4

Объем реализации товара Т за рассматриваемый пе­риод колеблется в зависимости от покупательского спроса в пределах от 4 до 6 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы реализованного товара Т равна 2 ден. ед. Если запа­сенный товар полностью реализовать не удастся, то расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. за еди­ницу товара.

Используя игровой подход, определить оптимальный уровень запаса товара Т, обеспечивающий торговому пред­приятию наивысшую эффективность работы.

Задача 5

Предприятие общественного питания занимается реализацией пирожных собственного производства. Объемы реализации пирожных зависят от спроса, который может находиться в одном из состояний – С₁, С₂, С₃, С₄. Значения величины прибыли, которую получит орга­низация при реализации i-гo объема пирожных при j-м состоянии спроса, заданы в таблице 7.7.

 

Таблица 7.7 – Исходные данные для решения задачи

 

Объемы реализации	Состояния спроса
C1	C2	C3	C4
V1
V2
V3
V4

 

Определить, какой объем пирожных следует выпекать:

а) в соответствии с критерием Байеса, если вероятности наступления различных состояний спроса равны 0, 3; 0, 1; 0, 2; 0, 4 соответственно;

б) в соответствии с критерием Лапласа;

в) в соответствии с критерием Вальда;

г) в соот­ветствии с критерием Сэвиджа;

д) в соответствии с критерием Гурвица (при γ = 0, 5).

 

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: