Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Матричное описание чистых вращений
Любой поворот системы координат можно представить как произведение трёх поворотов относительно трех осей: x, y, z. Если эти повороты осуществляются последовательно, то матрицы этих преобразований перемножаются в том же порядке. Матрица любого поворота можно представить произведением трех матриц: При перемножении матриц следует использовать правило умножения «строки на столбец». Пример 1.Построить матрицу перехода к тригональной системе координат в кубе. Этот переход может быть описан двумя поворотами: 1. Поворот относительно оси z на угол – 45о с матрицей преобразования При этом оси с направляющими косинусами [100], [010], [001] превращаются в оси с направляющими: [2-1/2, ‒ 2-1/2, 0], [2-1/2, ‒ 2-1/2, 0], [001]. Поворот относительно этих осей на угол с сos=3-½ , sin=- (2/3)½ с матрицей:
2. Результирующий поворот как произведение этих матриц: Таким образом, переход к тригональной системе координат определяется переходом от осей [100], [010], [001] к осям [2-1/2, -2-1/2, 0], [6-1/2, 6-1/2, (2/3)-1/2], [3-1/2, 3-1/2, 3-1/2]. Любое преобразование трёхмерного пространства, связанное с поворотами можно представить как поворот вокруг только одной оси на некоторый угол. Причем направляющие косинусы этой оси и угол поворота определяются через коэффициенты матрицы преобразования следующим образом: ( 1.18) Пример 2. Определить тип поворота для матрицы Решение. сosd=‒ 1, d= p, n=2. Это поворот вокруг оси второго порядка C2z, совпадающего с осью z. Пример 3.Определить тип поворота для матрицы Решение. сosd=0, d= p/2, n=4, a1=a2= 0, a3= 1.Это поворот вокруг оси четвёртого порядка C4z, совпадающей с осью z. Пример 4.Определить тип поворота для матрицы Решение: сos d=0, d = p/2, n=4, a1=a2= 0, a3= - 1. Это поворот на 90о вокруг оси четвертого порядка, совпадающей с осью противоположной оси z, или поворот на угол –90о(270о) вокруг оси z. Построение матриц поворотов
В некоторых случаях применение формулы ( 1.18) затруднительно. В этих случаях можно использовать следующие равенства: a11=сosd+(1– сosd)a12 a21=(1– сosd)a2a1– sinda3 a12=(1– сosd)a1a2+sinda3 a22=сosd+(1– сosd)a22 (1.19) a13=(1– сosd)a1a3–sinda2 a23=(1– сosd)a2a3+sinda1 a31=(1- Cosd)a3a1+Sinda2 a32=(1- Cosd)a3a2-Sinda1 a33=Cosd+(1- Cosd)a32
Так для матрицы оси С2 . Равенства (1.19) дают уравнения: a11=cosd+(1– cosd)a12= –1 a22=cosd+(1– cosd)a22= –1 a33=cosd+(1– cosd)a32=1 При d=p получается a3=±1, т.е. эта ось совпадает с осью z. Другой поворот вокруг оси С2 с матрицей дает направляющие косинусы a1=a2=± , a3= 0. Эта ось перпендикулярна оси z и проходит под углом 45о к осям x, y. С помощью (1.19) можно строить матрицу любой оси симметрии, если известны её направляющие косинусы. Пример 5. Составить матрицу поворота вокруг оси С6 с направляющими косинусами: . Решение. По формуле (19) получаем матрицу поворота на 60о вокруг оси С6: . Чтобы получить матрицу несобственного поворота нужно получить матрицу чистого поворота и затем умножить все элементы матрицы на –1. Пример 6. Построить матрицу зеркально-поворотного преобразования на 90о вокруг оси z. Поворот на угол 90о обозначается С41. (Поворот Сnk обозначает поворот на угол .) Решение. Ориентация этой оси тогда матрица будет . Матрица для несобственного поворота S41, будет .
1.6 Матрицы обратных преобразований В группе симметрии каждый элемент симметрии имеет свой обратный элемент так, что АА -1= 1, где под « 1 »подразумевается единичная матрица. Элемент обратный какому-либо повороту есть поворот в другую сторону на тот же угол. Поэтому в матрице обратного поворота необходимо в формулах (1.19) изменить знаки у синусов. Поскольку диагональные элементы матрицы поворота не содержат синусов, то диагональные элементы прямого и обратного поворотов равны. Так, для диагональных матриц поворотов прямая и обратная матрицы одинаковы. Физически это означает, что применение этой операции симметрии дважды равносильно тождественному преобразованию. К таким элементам относятся три поворота на 180о вокруг осей x, y, z: C2x, C2y, C2z и три отражения в плоскостях, перпендикулярных этим осям: shx, shy, shz. Задача. Построить матрицы этих шести элементов. Пример 7. Построить матрицу поворота обратного С31 с направляющими косинусами оси С3: a1= a2 = a3 =3-1/2. Решение. По формуле (1.19) вычисляем элементы матрицы прямого поворота на 120о: .
Для матрицы обратного поворота надо в формулах (1.20) изменить знаки у синусов, тогда получим для С3-1 = (С31)-1 матрицу: .
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 424; Нарушение авторского права страницы