Умножение элементов симметрии

 

Элементы симметрии можно перемножать, понимая под этим последовательное применение этих преобразований. Физически это означает, что мы можем определить в каком положении окажется система после применения двух преобразований и каким одним преобразованием мы можем получить тот же результат. Допустим надо перемножить два элемента симметрии С_2[110] × C_3[111]= С₄³_[100] это равносильно умножению двух элементов в представлении перестановок: 213 × 231=132. При перемножении надо учитывать порядок перемножения, поскольку умножение элементов симметрии не коммутативно. Так в другом порядке перемножения тех же элементов получим другой результат: C_3[111] × С_2[110]=С₄³_[010] или 231 × 213=321.

Перемножение элементов симметрии в представлении перестановок можно осуществлять по следующим правилам.

Элементы записываются в столбик в порядке умножения.

Первая цифра первого сомножителя ставится на место цифры 1 второго сомножителя, вторая цифра первого сомножителя ставится на место цифры 2 второго сомножителя, третья цифра первого сомножителя ставиться на место цифры 3 второго сомножителя. Полученная перестановка есть произведение. Например:

=132

При перестановках с инверсиями знак определяется количеством минусов при совмещении соответствующих цифр. Если количество минусов нечётно, то ставиться знак минус.

Например:

312

213

=132

Задача.

· Составить таблицу умножения для всех элементов симметрии группы О_h.

Для всех элементов группы выполняются основные положения теории групп.

· Произведение двух элементов равно третьему элементу из этой же группы

· В группе имеется единичный элемент такой, что его произведение с любым элементом из группы не меняет его

· Для каждого элемента имеется обратный элемент, так что их произведение равно единичному элементу.

· Подгруппы.

Группа имеет несколько подгрупп, как совокупность элементов образующих группу внутри исходной группы. Для получения подгруппы надо взять любой элемент группы и перемножать его самого на себя до получения единичного элемента.

Например. Возьмём элемент 231, 231 × 231=312, 312 × 231=123.

Элементы 123, 231, 312 образуют подгруппу.

Построим подгруппу на элементе 213: 213, 213 × 213=123, 123 × 213=213, 213 × 213=123.

Элементы 123, 213, 123, 213 образуют подгруппу.

Чистые повороты всегда образуют подгруппу.

· Классы.

Элементы с одинаковым следом соответствуют поворотам на один угол вокруг различных осей. Такие элементы образуют класс. Поскольку преобразование подобия оставляет след матриц без изменения, то все элементы класса связаны этим преобразованием

(1.23) В=С× А× С^-1.

Можно умножить справа это равенство на элемент С и получить:

В × С=С × А.

Если А коммутирует с С, то получаем В=А. Если вся группа состоит из коммутирующих элементов, то каждый элемент образует класс и число классов равно порядку группы. Если элемент коммутирует со всеми элементами, то он образует один класс. Так единичный элемент коммутирует со всеми элементами, и образует один класс.

Из (1.23) следует, что определители В и А равны. В один класс не могут входить смесь собственных и не собственных преобразований. Все собственные преобразования образуют свою совокупность классов, не собственные – свою, причём количество классов одинаково.

В Табл. 1‑ 3 приведены классы группы О.

Табл. 1‑ 3. Классы группы симметрии О

 

	123 Е	123 123 123	213, 213 132, 132 321, 321	213, 213 132, 132 321, 321	231, 231, 231, 231 312, 312, 312, 321
Г4		-1	-1
Г5		-1		-1
Г1
Г2			-1	-1
Г3					-1

В строках даны характеры матриц элементов симметрии для различных представлений.

Представления

 

Группы могут быть различной природы. Так следующие объекты образуют группы: геометрические элементы группы О_h; перестановки и инверсии в символьной записи 123; матрицы 3х3. Все эти группы изоморфны друг другу, имеют одинаковое число элементов и взаимно однозначное соответствие между элементами и их произведениями.

Тогда группа матриц, изоморфная геометрической группе является представлением группы на определённом базисе.

Матрицы 3× 3 строились на координатном базисе: x, y, z и они образуют трёхмерное представление группы О_h (Г₄) и во второй строке таблицы цифрами показаны характеры матриц этого представления.

Если мы возьмём среднее значение из суммы квадратов следов матриц для всех элементов группы, то получим 1.

.

Если рассматривать это представление как вектор, то он нормирован на единицу в 24-мерном пространстве элементов группы. Другие представления также могут образовывать вектора в этом пространстве. Помимо одинаковой нормировки эти вектора должны быть ортогональны, т.е. сумма произведений следов матриц должна равна нулю:

(1.24) .

Пользуясь (1.23) можно построить другое трёхмерное представление Г₅ (третья строка таблицы). Для этого можно изменить знаки в 3 и 4-ом столбце: нормировка останется такая же, а изменение знака выполнит равенство (1.24).

Если в качестве базиса выбрать постоянную величину, то для всех элементов будет единичная матрица Г₁. Возможны ещё два представления: одномерное Г₂ и двумерное Г₃. Это единственная система нормированных и ортогональных представлений.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: