ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Часть 2

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Часть 2

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

 

Утверждено советом университета

В качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Лекции 1 - 2. Динамика материальной точки

 

Лекция 3. Динамика относительного движения материальной точки

 

Лекция 4. Введение в динамику механической системы. Теорема о движении центра масс

 

Лекция 5. Теорема об изменении количества движения

 

Лекция 6. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

 

Лекция 7. Теорема об изменении кинетического момента относительно движущегося центра и центра масс. Дифференциальные уравнения плоского движения

 

Лекция 8. Теорема об изменении кинетической энергии

 

Лекция 9. Теория моментов инерции твердого тела

 

10. Список литературы

 

 

Лекция 1

Динамика материальной точки

Введение

1.1.1. Основные положения. В динамике изучается механическое движение материальных (обладающих массой) тел под действием сил, т.е. перемещения таких тел в пространстве с течением времени.

В некоторых задачах динамики материального тела размеры и форма не имеют значения: в этих случаях моделью тела служит материальная точка.

В классической механике масса тела полагается величиной постоянной (не зависит от кинематических характеристик движения); пространство считается трехмерным, евклидовым, его свойства не зависят от движущихся в нем материальных объектов; время протекает одинаково во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Выбор системы отсчета в каждом случае подсказывается соображениями удобства.

Для систем отсчета, в которых справедливы первый и второй закон Ньютона (инерциальные системы отсчета), часто пользуются условным термином «неподвижная система отсчета».

Принятое в статике представление сил в виде векторов сохраняется и в динамике, но в динамических задачах эти векторы, как правило, переменны во времени и по модулю и (или) по направлению. В одних задачах переменная сила, действующая на материальную точку, является заданной функцией времени; в других задачах изменение силы определяется изменением иных параметров (например, положения материальной точки, ее скорости или ускорения).

 

1.1.2. Структура сил. Зависимость силы от подлинно управляющих аргументов (времени, координат, скорости, и т.д.) называется ее структурой (иногда используется термин «закон силы»). Знание структуры силы – непременное полноты постановки любой конкретной задачи механики, так как без этого невозможно составить уравнения (математическую модель) процесса движения.

Структура силы устанавливается путем непосредственного обобщения результатов опыта (по наблюдаемому движению). Примером может служить вывод Ньютоном закона всемирного тяготения из экспериментально установленных Кеплером кинематических законов движения планет.

Остановимся на некоторых, наиболее часто встречающихся структурах сил.

Постоянная сила – сила тяжести при движении тела вблизи поверхности Земли; архимедова сила для тела, полностью погруженного в однородную жидкость, и т.п.
Сила, известным образом изменяющаяся во времени: сила, втягивающая (выталкивающая) намагниченный сердечник в катушку, по обмотке которой течет переменный электрический ток; силы, действующие на опорные подшипники, в которых не вполне уравновешенный ротор вращается с заданной угловой скоростью и т.п. В последнем случае при постоянной угловой скорости ротора вертикальная (горизонтальная) проекции главного вектора сил реакций подшипников может быть представлена формулой

, (1)

где - масса ротора; - величина ее эксцентриситета;

- угловая скорость вращения; - начальная фаза.

Сила, зависящая от положения точки в пространстве (позиционная сила): сила взаимодействия с пружиной; архимедова сила при частичном погружении в жидкость тела, моделируемого материальной точкой; гравитационная сила притяжения к другим материальным точкам и т.п. Так, для понтонов со шпангоутами прямоугольной и треугольной форм, изображенных на рис.1, архимедовы силы поддержания следующим образом зависят от их осадки (крен и дифферент отсутствуют):

 

; (2.a)

, (2.б)

здесь - удельный вес воды; - длина понтона; - его ширина; - угол килеватости.

Сила, зависящая от скорости: сила трения Кулона (хотя ее модуль остается неизменным, направление силы противоположно скорости тела; таким образом, для проекции силы трения на касательную к траектории справедлива формула:

); сила сопротивления движению в жидкости, обусловленная ее вязкостью – такая сила противоположна по направлению скорости точки, а модуль силы зависит (иногда линейно) от значения скорости и т.п.

Сила, линейно зависящая от ускорения. В гидромеханике установлено, что при поступательном прямолинейном неравномерном движении тела в жидкости дополнительно к его вязкому сопротивлению возникает сила сопротивления, пропорциональная ускорению :

. (3)

Коэффициент , имеющий размерность массы, называется «присоединенной массой» жидкости (он зависит от размеров и формы тела; методика его расчета, а так же коэффициента силы вязкого сопротивления излагается в курсе гидромеханики).

Сила, зависящая от нескольких управляющих аргументов: сила полного сопротивления жидкости (аргументы – скорость и ускорение), сила сопротивления воздуха при движении сквозь атмосферу (аргументы – скорость и высота подъема) и.т.п.

Ряд задач механики посвящен управлению различными объектами, при этом сигнал, подающийся на исполнительные органы, формируется нужным образом. С целью управления искусственно организуются силы, зависящие от любых параметров, поддающихся замеру либо вычислению. Так, при отклонении судна от заданного курса, авторулевой формирует сигнал, управляющий приводом руля, по данным об этом угле и скорости его изменения.

 

 

Лекция 2

Динамика материальной точки

 

Перейдем к решению прямой задачи динамики точки. В этом случае следует выбрать координатную систему, нанести на чертеж точку с действующими на нее силами и записать дифференциальные уравнения движения в выбранной координатной системе. Полученную систему из трех (в общем случае – совместных) дифференциальных уравнений второго порядка следует дважды проинтегрировать. При этом необходимо ввести шесть постоянных интегрирования. Они могут быть определены, если известны, например, положение и скорость точки в начальный момент времени. В таком случае, если говорить языком математики, решается задача Коши (начальная задача, эволюционная задача).

Выбор начального момента времени определяется соображениями удобства решения; при этом начальные условия отражают влияние на движение точки сил, действовавших до избранного начального момента времени. Поэтому в зависимости от начальных условий под действием одной и той же совокупности сил точка может совершать различные движения.

Определение постоянных интегрирования может быть выполнено и в том случае, если для двух моментов времени известны положения точки. В такой постановке прямая задача динамики точки решается как краевая. Заметим, что краевая задача, в отличие от начальной, может иметь неоднозначное решение.

В случае движения точки по поверхности (положение задается двумя обобщенными координатами) число постоянных интегрирования сокращается до четырех; при движении вдоль заданной линии – до двух.

В тех случаях, когда в дифференциальном уравнении возможно разделение переменных с последующим приведением его правой и левой частей к табличным подинтегральным выражениям, интегрирование позволяет получить аналитические зависимости между параметрами движения.

В некоторых задачах на основании имеемого опыта можно предположить вид искомого решения. Проверка такого предположения осуществляется его подстановкой в исходное дифференциальное уравнение. Очевидно, что при выполнении последнего предполагаемое решение является правильным; в противном случае следует искать другой вид решения.

При невозможности получения решения в форме аналитических зависимостей могут быть сделаны некоторые предположения, позволяющие получить приближенные зависимости. Естественно, что точность полученных решений будет зависеть от корректности принятых допущений.

Если получение параметров движения в аналитической форме не представляется возможным, следует использовать численное моделирование процесса движения. Результаты расчетов сводятся в таблицы либо по ним строятся соответствующие графики.

ПРИМЕР 3. Подводный аппарат (ПА), получив небольшую отрицательную плавучесть , начинает погружаться по вертикали. Зная массу ПА и присоединенную массу жидкости при его движении по вертикали , найти зависимость глубины погружения от времени. Силу вязкого сопротивления воды при малых скоростях движения полагать пропорциональной первой степени скорости (коэффициент пропорциональности ).

РЕШЕНИЕ. На ПА при его поступательном движении по вертикали действуют вес , архимедова сила поддержания и сила сопротивления (см. рис. 4).

Запишем дифференциальное уравнение движения ПА по вертикали:

Разделим переменные и выполним интегрирование левой и правой частей равенства:

, тогда

.

Для определения постоянной интегрирования используем второе из начальных условий: при ,

.

С учетом этого найдем .

Отсюда следует, что

.

Заметим, что с увеличением времени скорость погружения стремиться к значению .

Учитывая, что , разделим переменные в полученном для уравнении и выполним интегрирование:

.

Постоянную интегрирования найдем из первого начального условия

.

Окончательное выражение для примет вид

.

Полученная зависимость изображена на рис.5. Уравнение прямой к которой приближается с ростом времени найденное решение

.

 

ПРИМЕР 4. Судно движется по прямой с постоянной скоростью . В некоторый момент времени двигатель судна был остановлен. Определить время , за которое скорость движения уменьшилась до величины , а так же путь , который пройдет судно за это время. Известно, что масса судна (вместе с присоединенной массой жидкости) , а сила вязкого сопротивления воды , где - заданный эмпирический коэффициент, а .

РЕШЕНИЕ. На рисунке 6 изображено судно с действующей на него силой сопротивления воды.

 

Составим дифференциальное уравнение движения судна вдоль оси :

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:

, тогда

.

Для определения пройденного пути перейдем в исходном дифференциальном уравнении к переменной . Для этого воспользуемся заменой .

Тогда исходное уравнение можно записать как

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей уравнения:

. Тогда .

ПРИМЕР 5. В результате воздушного взрыва корабль получил вертикальную скорость . Найти период и амплитуду вертикальной качки корабля, если известны площадь его ватерлинии , водоизмещение и присоединенная масса жидкости в вертикальном направлении . Развалом бортов и сопротивлением воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Обозначим вертикальное перемещение корабля (см.рис.7).

Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний корабля, спроецировав на вертикаль силы, на него действующие (сила веса и архимедова сила поддержания): ;

где - удельный вес воды, - объем подводной части корабля в равновесном состоянии.

При записи уравнения учтено, что в равновесном положении водоизмещение корабля и сила поддержания равны и противоположно направлены.

Приведем полученное уравнение к виду

, здесь .

Будем предполагать, что решение должно иметь вид гармонических колебаний

, где , и - неизвестные амплитуда, частота и начальная фаза.

Если наше предположение верно, то оно не должно нарушить исходное дифференциальное уравнение. Найдем выражение для и подставим выражения для и в исходное дифференциальное уравнение. Тогда

.

Равенство имеет место при . Это означает, что сделанное предположение о гармонических колебаниях верно при любых амплитуде и начальной фазе, если частота гармонических колебаний .

Зная частоту, найдем период вертикальных колебаний .

Запишем выражение для скорости колебательного движения

.

Подставив в выражения для и начальные условия, получим систему уравнений, позволяющих найти амплитуду и начальную фазу вертикальных колебаний как

.

При решении прямой задачи динамики для несвободной материальной точки часть действующих на нее сил, а именно все реакции связей, заранее не известны. Если их необходимо определить, то в процессе решения задачи следует воспользоваться уравнениями связей. Дифференциальные уравнения и уравнения связей должны образовать замкнутую систему (число неизвестных равно числу уравнений); при этом уравнения записываются в той координатной системе, которая наиболее удобна. В общей постановке задача достаточно сложна (см., например [ 1 ]) и в рамках настоящего курса ее решение не обсуждается.

В некоторых случаях, когда рациональный выбор координатной системы позволяет исключить неизвестные реакции из дифференциального уравнения, решение задачи существенно упрощается. Так, для математического маятника (рис.8) использование естественной координатной системы и угла отклонения в качестве обобщенной координаты позволяет получить систему дифференциальных уравнений, в которой неизвестная сила натяжения нити входит только во второе уравнение системы

;

.

Отмеченная особенность позволяет сначала решить первое уравнение и определить закон движения маятника, а затем воспользоваться вторым уравнением для определения силы натяжения нити.

 

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какие модели используются в классической механике для пространства, времени, объектов и их взаимодействия?

2. Что такое структура силы? Приведите примеры наиболее часто встречающихся структур сил.

3. Сформулируйте законы классической механики. В каких системах отсчета они справедливы? Какая система отсчета называется инерциальной?

4. Запишите проекции основного закона классической механики на оси декартовой координатной системы и на оси естественной координатной системы.

5. Достаточно ли знания структуры силы, действующей на точку известной массы, чтобы найти закон ее движения?

6. Можно ли судить о структуре силы, действующей на точку заданной массы, если известны ее траектория и закон движения по ней?

7. Какие пути решения дифференциального уравнения движения материальной точки вам известны?

8. Напишите векторную форму дифференциального уравнения движения несвободной материальной точки. О каких путях решения этого уравнения вам известно?

9. Почему метод численного интегрирования Эйлера удобен при моделировании движения свободной материальной точки?

 

 

Лекция 3

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Чем отличаются дифференциальные уравнения движения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

2. Запишите условие покоя материальной точки в неинерциальной системе отсчета.

3. Чем обусловлено в северном полушарии отклонение морских течений и воздушных потоков вправо?

4. При каком движении подвижной системы отсчета можно воспользоваться выражением второго закона Ньютона для расчете параметров движения материальной точки?

5. В каком случае можно допустить использование второго закона Ньютона при расчете параметров движения материальной точки в подвижной системе отсчета?

 

Лекция 4

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какие свойства внутренних сил вам известны?

2. Напишите формулу для нахождения положения центра масс механической системы.

3. Почему понятие «центра масс» шире понятия «центр тяжести»?

4. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы.

5. Как движется центр масс механической системы, если главный вектор внешних сил равен нулю?

6.Каково движение центра масс, если равна нулю одна из проекций главного вектора внешних сил?

7. Влияют ли внутренние силы на движение центра масс механической системы, если влияют, то каким образом?

 

Лекция 5

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Чему равно количество движения материальной точки?

2. Какие способы нахождения главного вектора количеств движения механической системы вам известны?

3. Что характеризует главный вектор количеств движения механической системы?

4. Однородный диск массы M и радиуса вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ВД, проходящей через точку О диска. В точке А к диску жестко прикреплен точечный груз массы . Получите выражение для величины главного вектора количеств движения этой механической системы.

 

5. Напишите теорему об изменении главного вектора количеств движения механической системы в дифференциальной форме.

6. Напишите теорему об изменении главного вектора количеств движения механической системы в интегральной форме.

7. Какие следствия из этой теоремы вам известны?

8. Влияют ли внутренние силы на изменение количества движения механической системы?

 

Лекция 6

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Чему равен момент количества движения материальной точки?

2. Как найти главный момент количеств движения механической системы?

3. Что характеризует главный момент количеств движения механической системы?

4. Чему равна проекция главного момента количеств движения твердого тела на его ось вращения?

5. Как вычисляется и что характеризует осевой момент инерции масс твердого тела?

6. Однородный диск массы M и радиуса вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ВД, проходящей через точку О диска. В точке А к диску жестко прикреплен точечный груз массы . Получите выражение для величины проекции главного момента количеств движения этой механической системы на ось вращения..

 

7. Напишите теорему об изменении главного вектора количеств движения механической системы в дифференциальной форме.

8. Какие следствия из этой теоремы вам известны?

9. Напишите дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

 

Лекция 7

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какая общая теорема механики позволяет описать поступательную часть плоского движения твердого тела, если за полюс принят его центр масс?

2. Какая общая теорема механики позволяет описать вращательную часть плоского движения твердого тела, если за полюс принят его центр масс?

3. Из каких типов уравнений обычно состоит математическая модель для описания динамики механической системы?

4. Имеется ли ограничение на число элементов механической системы при получении математической модели для анализа ее движения?

5. Имеется ли ограничение на число степеней свободы механической системы при получении математической модели для анализа ее движения?

6. Как из математической модели для анализа движения получить систему уравнений для анализа равновесия механической системы?

 

Лекция 8

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Как вычислить кинетическую энергию материальной точки и механической системы?

2. Как вычислить кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

3. Как формулируется теорема Кенига?

4. Как вычислить кинетическую энергию тела при его плоском движении?

5. Как вычислить работу и мощность постоянной силы на линейном перемещении? Как связаны эти величины?

6. Как вычислить работу и мощность постоянного момента силы на угловом перемещении?

7. Чему равна работа и мощность внутренних сил в механической системе, если наложенные связи геометрически неизменяемы?

8. Чему равна работа и мощность реакций в механической системе, если наложенные связи идеальные?

9. Запишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.

10. Запишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме.

 

Лекция 9

Вычисление моментов инерции

9.2.1. Получение аналитических выражений для моментов инерциипо формулам (71)-(73). В качестве примера рассмотрим вычисление момента инерции однородного цилиндра массы , радиуса и высоты относительно оси вращения (рис.32).

Мысленно выделим цилиндрическую трубку радиуса и толщиной . За элемент массы возьмем массу этой трубки. Тогда объем трубки будет , а масса , где - плотность материала цилиндра. Объем всего цилиндра , а масса .

 

Умножим элемент на квадрат расстояния до оси и возьмем соответствующий интеграл

.

Удачный выбор элемента позволил избежать записи тройного интеграла по объему; в общем случае это сделать не удается.

9.2.2. Использование типовых элементов, для каждого из которых в справочной литературе приведены формулы для вычисления объема, координат центра тяжести, а так же моментов инерции относительно осей, проходящих через его центр масс, оказывается очень удобным, когда рассматриваемое тело может быть представлено состоящим из таких элементов. В этом случае при вычислении соответствующих моментов инерции можно заменить интегрирование суммированием. Заметим, что как и при нахождении центра тяжести, отверстия трактуются как типовые элементы отрицательной массы.

Ниже приводится таблица для некоторых типовых элементов.

 

Таблица 9.1

тело	Моменты инерции

 

9.2.3. Экспериментальное определение осевых моментов инерции применяется в случаях, когда форма тела оказывается достаточно сложной (зубчатое колесо, шатун, ротор электродвигателя, корпус модели судна и т.п.).

В [6] достаточно подробно обсуждены методы, использование которых позволяет получить осевые моменты инерции таких тел (метод крутильных колебаний, метод качаний, метод падающего груза, использование бифилярного подвеса). Ниже приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти методы.

ПРИМЕР 25. Для определения момента инерции тела А относительно вертикальной оси его прикрепили к упругому вертикальному стержню , закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг вертикальной оси на малый угол и отпустили; период возникших колебаний оказался равным . Момент сил упругости относительно оси равен , где коэффициент упругости получен тарировкой.

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение вращения тела А вокруг вертикальной оси

.

Приведем его к стандартному виду , где .

Общеизвестно, что решением полученного уравнения являются гармонические колебания с периодом .

Отсюда .

Заметим, что при наличии еще одного тела, момент инерции которого известен (такое тело называется эталоном; им может служить, например, однородный диск), можно обойтись без выполнения тарировки для определения жесткости стержня . Очевидно, что для эталона можно выполнить аналогичный эксперимент и получить значение периода его колебаний . При этом для него так же справедлива формула .

Поделив выражения для моментов инерции тела и эталон друг на друга, получим соотношение для вычисления момента инерции тела, не содержащее жесткости стержня :

.

При рассмотрении задачи предполагалось, что инерционностью крепления стержня к телу можно было пренебречь. Если это предположение не подтверждается, то найденное значение включает момент инерции крепления . Для их раздельного вычисления следует выполнить опыт с еще одним эталоном и получить соотношение

, где индекс «1» присвоен моменту инерции первого эталона и его периоду колебаний, а индекс «2» - соответствующим величинам для второго эталона.

Отсюда .

ПРИМЕР 26. Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев ось через втулку цапфы (см. рис.34.а). Для определения отстояния центра тяжести шатуна С от оси качания О шатун располагают горизонтально, оперев на две точечные опоры; одну располагают под осью качания О, а другую, оснащенную датчиком, под точкой В (см. рис.34.б). Зная массу шатуна , расстояние , показание датчика усилия и период качаний получить выражение для расчета моментов инерции шатуна относительно оси качания и параллельной ей оси, проходящей через центр масс шатуна.

РЕШЕНИЕ. Сначала рассчитаем отстояние центра тяжести шатуна от оси качания, составив сумму моментов относительно точки О шатуна в его двуопорном положении (см. рис.34.б)

.

Отсюда .

Теперь составим дифференциальное уравнение вращательного движения шатуна относительно оси качания , предполагая, что углы отклонения шатуна малы. В этом случае

.

Приведем полученное дифференциальное уравнение к стандартному виду

, где .

Общеизвестно, что решением полученного уравнения являются гармонические колебания с периодом .

Отсюда .

Момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс шатуна, можно получить, воспользовавшись формулой (74)

.

ПРИМЕР 27 (задача 37.44 из [2]). Для определения момента инерции махового колеса А радиуса относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой нитью, к которой привязали гирю В массы и наблюдали продолжительность опускания гири с высоты . Для исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы , причем продолжительность опускания оказалась равной при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить момент инерции колеса .

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение вращения колеса вокруг оси О

.

123456Следующая ⇒

Поделиться: