Дифференциальное уравнение динамики относительного движения точки

Запишем сначала дифференциальное уравнение динамики точки в инерциальной системе отсчета

(11)

где - равнодействующая всех задаваемых сил, - равнодействующая сил реакций.

Формула, связывающая ускорения точки в неподвижной и подвижной системах отсчета, была получена в курсе кинематики:

, (12)

где - ускорение Кориолиса; - угловая скорость вращения подвижной системы относительно неподвижной; - ускорение точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка (переносное ускорение); - скорость и ускорение точки в подвижной системе отсчета (относительные скорость и ускорение).

Поскольку неподвижная система отсчета инерциальная, подставим (12) в (11) и запишем дифференциальное уравнение в виде

. (13)

Слагаемые и называются, соответственно, переносной силой инерции и силой инерции Кориолиса. Уравнение (13) представляет собой основное уравнение динамики материальной точки, записанное в системе отсчета, движение которой по отношению к неподвижной (инерциальной) системе отсчета известно. Ниже такие системы отсчета будем называть неинерциальными.

Сопоставление уравнений (11) и (13) показывает, что в инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки является результатом действия приложенных к ней сил, т.е. взаимодействия с другими материальными телами; в неинерциальной системе ускорение материальной точки является как результатом действия на нее сил, так и результатом движения самой системы. Если действие сил является динамической причиной движения точки с некоторым ускорением, то движение системы отсчета по отношению к инерциальной системе можно назвать кинематической причиной появления ускорения.

Силы инерции и можно рассматривать как поправки к закону Ньютона на неинерциальность подвижной системы отсчета. Если в рамках конкретной задачи их величинами можно пренебречь по сравнению с остальными действующими на материальную точку силами, то рассматриваемую подвижную систему отсчета полагают инерциальной. Так, например, поступают при изучении движения тел с малыми скоростями относительно Земли. Но при скорости 1000м/с и выше (с которыми движутся снаряды, самолеты и ракеты) введение в основное уравнение динамики слагаемых и является обязательным.

Если движение происходит длительное время, то влияние сил инерции и (особенно силы инерции Кориолиса) становится так же заметным и их следует учитывать. В частности, действием силы инерции Кориолиса объясняются следующие явления в северном полушарии Земли:

- размывание реками правых берегов (закон Бэра);

- отклонение вправо морских течений и дрейфующих льдов;

- отклонение вправо ветров постоянного направления;

- отклонение снарядов и ракет вправо от плоскости стрельбы;

- больший износ правого рельса по сравнению с левым на двухколейных железных дорогах;

- отклонение падающих тел к востоку.

 

3.2. Частные случаи. Движение подвижной системы отсчета (переносное движение материальной точки) определяет вид основного уравнения динамики относительного движения материальной точки.

Так, если переносное движение – поступательное (в общем случае – криволинейное), то (т.к. ), а

, где .

Тогда уравнение (1.23) принимает вид

. (14)

В том случае, когда переносное движение поступательное ( ) и прямолинейное ( ), в полученном уравнении будет отсутствовать последнее слагаемое, т.е.

. (15)

Если переносное движение будет поступательным, прямолинейным и равномерным ( ), будут равны нулю все силы инерции; при этом вид уравнения аналогичен (11), т.е.

(16)

В этом случае подвижная система отсчета так же, как и неподвижная, будет инерциальной. Очевидно, что сделанный вывод позволяет в предыдущих рассуждениях заменить термин неподвижная система отсчета на более общий термин инерциальная.

Отсутствие принципиальной возможности каким-либо механическим опытом, основанным на наблюдении за движением материальных тел, отличить одну инерциальную систему отсчета от другой лежит в основе принципа относительности классической механики. Этот принцип утверждает: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково; либо - никаким механическим опытом нельзя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении.

Если переносно движение – вращение вокруг неподвижной оси, то ; где ; ; , а уравнение (13) принимает вид

(17)

Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью , то четвертое слагаемое в правой части (17) будет равно нулю.

 

3.3. Условие относительного покоя. В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю, следовательно, равна нулю и сила инерции Кориолиса. Тогда уравнение относительного покоя будет иметь вид

. (18)

ПРИМЕР 6. Призма движется по плоскости с постоянным ускорением . На гладкой наклонной плоскости призмы находится груз М. Найти угол , при котором груз будет неподвижен относительно призмы.

РЕШЕНИЕ. Свяжем с плоскостью неподвижную координатную систему , а подвижную координатную систему - с призмой. Тогда движение груза по призме будет его относительным движением, а поступательное вместе с призмой (с ускорением ) – переносным.

На рис.10 изобразим призму, груз и силы, на него действующие ( вес , реакция гладкой поверхности и сила инерции переносного поступательного прямолинейного движения ).

Спроецировав слагаемые уравнения относительного покоя (18) на ось , получим

.

Отсюда величина искомого угла будет

.

ПРИМЕР 7 (задача 33.4 из [2]). Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/сек по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т.

1. Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту .
2. Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в том же месте с севера на юг.

РЕШЕНИЕ. Для определения бокового давления поезда на рельсы необходимо учесть вращение Земли вокруг своей оси с угловой скоростью .

На рисунке 11.а нанесены естественная координатная система и кинематические характеристики, необходимые для вычисления действующих сил. Здесь - скорость относительного движения поезда, - нормальное ускорение в переносном движении, - ускорение Кориолиса.

На рисунке 11.б - изображена схема сил, действующих на поезд.

Здесь и - сила тяги и сила трения, - сила притяжения, и - силы инерции переносного движения и Кориолиса, и -вертикальная и боковая составляющие силы нормального давления на рельсы.

Проецируя силы на бинормаль к траектории, получим

.

Откуда

Боковое давление поезда на правый рельс обусловлено силой инерции Кориолиса (см. рис.11.б).

ПРИМЕР 8 (задача 33.10 из [2]). Горизонтальная трубка СD равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью . Внутри трубки находится шар М. Определить скорость шара относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент , длина трубки . Трением пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Свяжем с неподвижными опорами и землей неподвижную инерциальную систему . С трубкой свяжем подвижную координатную систему и для некоторого промежуточного момента времени изобразим (см. рис.12) трубку и шарик с действующими на него силами (включая силы инерции).

Движение шарика по трубке примем за относительное движение, а вращение вместе с трубкой – за переносное.

Воспользовавшись формулами кинематики, будем иметь

; ; .

Вычислим соответствующие силы инерции и и приложим их к шарику. Добавим вертикальную и горизонтальную составляющие силы нормального давления со стороны трубки. Спроецировав соответствующие члены уравнения (1.23) на ось , получим дифференциальное уравнение:

.

Воспользуемся заменой и разделим переменные. Возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:

.

Окончательно имеем: .

Заметим, что проецирование действующих сил на ось позволяет определить вертикальную составляющую реакции , а проецирование на ось - горизонтальную как .

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Чем отличаются дифференциальные уравнения движения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

2. Запишите условие покоя материальной точки в неинерциальной системе отсчета.

3. Чем обусловлено в северном полушарии отклонение морских течений и воздушных потоков вправо?

4. При каком движении подвижной системы отсчета можно воспользоваться выражением второго закона Ньютона для расчете параметров движения материальной точки?

5. В каком случае можно допустить использование второго закона Ньютона при расчете параметров движения материальной точки в подвижной системе отсчета?

 

Лекция 4

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: