Вычисление моментов инерции при повороте координатной системы относительно одной из ее осей.

В качестве примера рассмотрим поворот координатной системы против часовой стрелки на угол вокруг оси (при таком повороте оси и совпадают).

(79)

Формулы для вычисления моментов инерции при повороте относительно других осей получаются из (79) с помощью циклической замены индексов ( ).

 

9.3.4. Вычисление моментов инерции при повороте системы координатной относительно ее начала.Составим таблицу направляющих косинусов для поворота координатной системы вокруг начала координат из положения ( орты ) в положение ( орты ):

 

Здесь - направляющие косинусы.

Матрица поворота позволяет для любого вектора записать

Выражение для связи его проекций в обеих координатных системах как , а связь элементов тензора инерции записывается как

, (80)

где - транспонированная матрица .

Докажем это утверждение. Выражение для кинетического момента твердого тела относительно неподвижного центра О не должно зависеть от выбора координатной системы, т.е. записи и имеют одинаковую структуру.

При этом для векторов кинетического момента и угловой скорости можно записать соотношения и . Тогда выражение для кинетического момента в координатной системе можно записать как . Умножим это выражение на обратную матрицу и учтем, во-первых, что для квадратной матрицы , а во-вторых, - единичная матрица. Окончательно получим

.

Таким образом утверждение доказано.

 

9.3.6. Вычисление моментов инерции относительно произвольной осиосуществляется комбинированием формул (75), (76), (78) и (80).

ПРИМЕР 29. Для ротора в виде тонкого однородного диска массы и радиуса определить элементы тензора инерции

а) ось вращения перпендикулярна плоскости диска, но центр масс С находится на расстоянии от оси вращения (рис.37).

Из таблицы 6.1 для ротора в виде диска осевой момент инерции относительно центральной оси будет ,

относительно центральных осей и будут ; а все центробежные моменты инерции равны нулю.

По (76) для этого случая имеем ;

а все центробежные моменты инерции по (78) так же равны нулю ( ).

б) ось вращения является центральной и составляет с осью диска угол (рис.38). При этом угол с осью будет ( ), а с осью будет .

 

Воспользуемся формулами (79); при этом, во-первых, для получения необходимых зависимостей следует воспользоваться циклической перестановкой индексов, и во-вторых, учесть, что поворот координатной системы вокруг оси происходит на угол , так как выполняется по часовой стрелке:

.

в) ось вращения составляет с осью диска угол ; при этом центр масс С находится на расстоянии ОС= от оси вращения (рис.39).

Очевидно, что последний случай можно представить как совокупность двух предыдущих, т.е. поворот против часовой стрелки на угол вокруг оси и параллельный перенос .

Тогда формулы для элементов тензора инерции будут

 

.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Запишите формулы для вычисления полярного, осевых и центробежных моментов инерции твердого тела.

2. Какой из моментов инерции является мерой инерции твердого тела при его вращении вокруг оси?

3. Что такое радиус инерции твердого тела и что он характеризует? Как выглядит тензор инерции в общем случае?

4. Как выглядит тензор инерции, если оси координат – главные оси инерции?

5. Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера о вычислении осевого момента относительно параллельной оси.

6. Как вычислить момент инерции твердого тела относительно оси, если она проходит через начало координат (углы между нею и осями координат, а так же все элементы тензора инерции твердого тела заданы)?

7. Как вычислить моменты инерции твердого тела, если его можно мысленно разделить на типовые элементы?

8. Какие экспериментальные методы определения осевых моментов инерции вам известны? Каков алгоритм действий в каждом из них?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р.Меркин., Курс теоретической механики, Т.2, Наука, Москва, 1971г.

2. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. Лань, Москва, 2002 г.

3. Мелконян А.Л. Черныш А.А. Теоретическая механика. Кинематика. Учебное пособие., Издательский центр СПбГМТУ, 2009 г.

4. Мелконян А.Л. Черныш А.А. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие., Издательский центр СПбГМТУ, 2010 г.

5. Плотноков А.М., Чувиковский В.С. Численные методы и ЭВМ в механике для судостроителей., Учебное пособие, ЛКИ, Л. 1987г.

6.Матлах А.П., Мелконян А.Л., Плотников А.М., Черныш А.А. Моменты инерции твердого тела. Методические указания к лабораторным работам, Издательство ЛКИ, Ленинград, 1989 г.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: