Спектральные характеристики распределенных объектов управления по пространству

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 17Следующая ⇒

Полагаем, что регулируемая переменная описывается функцией с интегрируемым квадратом:

(1)

Где - соответственно пространственная переменная и время.

Отметим, что (1) – условие ограничения функции.

, ,

где - бесконечно малая величина.

Будем полагать, что – однозначна, непрерывна и является аналитической (т.е. она дифференцируема).

Рис. 1 Границы изменения функции.

Это дает возможность при рассмотрении включить в описываемые аналитические выражения границы.

Пусть существует система ортонормированных функций:

(2)

Представим функцию в виде ряда Фурье по данной системе ортонормированных функций на:

, (3)

(4)

Ф(h, t) можно рассматривать как бесконечномерный вектор, зависящий от

Определение: бесконечномерный вектор Ф(h, t), полученный с помощью (4), называется вектором спектральной характеристики. Это матрица столбец бесконечного порядка.

За меру точности разложения в ряд Фурье примем следующую величину функционала:

, (5)

где n – порядок разложения (порядок усечения).

Точность представления оценивается относительной погрешностью:

(6)

Относительная погрешность (6) характеризует ошибку воспроизведения функции с помощью ряда Фурье ограниченным числом пространственных мод.

Лекция 11

Свойства спектральных характеристик(Свойство линейности, представление дельта-функции и интеграла в спектральной форме)

Свойство линейности.

Если функция φ (x, t) является линейной комбинацией функции φ _к(x, t), т.е:

, (1)

и если каждому значению φ _к(x, t) соответствует спектральная характеристика S_p:

, (2)

то спектральная характеристика будет равна:

= . (3)

В основе доказательства этого свойства лежит свойство интеграла: интеграл суммы равен сумме интегралов.

2. Спектральная характеристика для -функции.

1) .

2) (1)

3) (2)

Представим функцию φ (x, t) в виде ряда Фурье:

. (3)

Подставим выражение (3) в (2), будем иметь:

,

так как - спектральная характеристика -функции.

(4)

Вывод: Бесконечная сумма в (4) сходится к значению непрерывного функционала (2).

Представление интеграла от произведения двух функций в спектральной форме.

Представим интеграл от произведения двух функций φ ₁(x, t), φ ₂(x, t) в спектральной форме:

. (1)

Для подынтегральных функций φ ₁(x, t), φ ₂(x, t) пусть существуют спектральные характеристики вида:

(2)

(3)

Представим функции φ ₁(x, t), φ ₂(x, t) в виде ряда Фурье по базисной системе функций :

. (4)

. (5)

Подставим выражения (4), (5) в (1), будем иметь:

.

Если разложить суммы, то под знаком интеграла окажется произведение:

.

Учитывая условие ортонормированности и ортогональности базисной функции, мы перейдем к выражению вида:

. (6)

Представление (6) можно записать в векторно-матричной форме. Для этого полагаем, что максимальное значение ( - порядок усечения).

. (7)

где:

- скалярная величина,

– матрицы размерностей ( ),

Представление произведения двух функций в спектральной форме.

Полагаем, что существует функция

. (1)

.

Согласно свойству свертки -функции представим произведение (1) в следующей форме:

. (2)

.

Согласно свойству (3) представим интеграл от произведения двух функций в спектральной форме по переменной τ на основе системы базисной системы ортонормированных функций :

. (3)

Здесь - спектральная характеристика от первого сомножителя (2) по переменной τ.

(4)

(5)

Найдем далее спектральную характеристику от выражения (3) по переменной х на основе системы базисных функций , , :

. (6)

. (7)

. (8)

В (8) подставим (4), будем иметь:

. (9)

Представим (6) в векторно-матричной форме. Для чего положим, что числа и измеряются:

.

Обозначаем:

,

,

.

. (10)

Замечаем, что свойство о представлении произведения 2-х функций коммутативно:

(11)

Полученные свойства дают возможность представить линейную комбинацию функций в спектральной форме и представить интеграл от произведения двух функций в спектральной форме.

Лекция 12

Представление произведения двух функций в спектральной форме, свойство коммутативности спектральных характеристик

Свойство Представление произведения двух функций с помощью

Спектральных характеристик

Используя понятие спектральных характеристик на основе системы ортонормированных функций {P(h, x)}, представим произведение двух функций:

(1)

в спектральной форме.

Согласно фильтрующему свойству δ -функции [4] произведение (1) можно представить:

(2)

Используя свойство 3 о представлении интеграла с помощью спектральных характеристик, представим (2) в виде:

(3)

где

(4)

(5)

Спектральные характеристики в (3) представлены по переменной на основе ортонормированной системы функций {P(h, )}.

Найдем спектральную характеристику от левой и правой части (3) по переменной х на основе ортонормированной системы функций {P( , x)}. Спектральная характеристика для имеет вид:

(6)

Спектральная характеристика от будет представлена с учетом (4)

(7)

Используя (3), (6), (7), найдем спектральную характеристику от произведения двух функций:

(8)

Если положить, что число членов ряда , представляет собой матрицу размером ( ), - квадратная матрица размером ( ) (здесь и далее полагаем ), - матрица размером ( ), то (8) можно представить в матричной форме в виде:

(9)

Матрицу будем в дальнейшем называть матрицей первого сомножителя при определении спектральной характеристики произведения функций

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-05-05; Просмотров: 397; Нарушение авторского права страницы