Существование и единственность полученных решений

Для оценки существования и единственности решения приведем систему к виду

(1)

Рассмотрим следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1

Бесконечная система уравнений (1) относительно спектральных характеристик Ф_0k имеет решение.

Покажем, что система (1) обладает рядом свойств, на основании которых может быть вынесено суждение о существовании решения.

1. Функции определены при , в области D и если Ф_0k⁰ – начальные условия, b – ограниченное число, то выполняется неравенство

,

(2)

что свидетельствует об ограниченности начальных условий задачи.

Условие (2) соответствует принятым начальным условиям в спектральной постановке задачи, где все начальные условия известны и ограничены.

2. Функции непрерывны по совокупности переменных при фиксированном значении t. При фиксированных функции измеримы (вычислимы) по t.

Это свойство выполняется для (1), так как рассматриваются уравнения со стационарными, непрерывными, ограниченными по величине коэффициентами, что свидетельствует о непрерывности f_k по переменным , при фиксированном t и исключает возможность появления каких-либо особенностей, затрудняющих вычисление f_k.

3. При произвольном выборе переменных из области D функции удовлетворяют условиям:

(3)

где M(t) – функция положительная, ограниченная, однозначная на отрезке . Такая функция M(t) может быть найдена ввиду ограниченности и линейной связи Ф_0k в (1).

4. Интеграл Лебега от функции M(t) ограничен:

(4)

где h – положительное ограниченное число.

Учитывая ограниченность рассматриваемых функций, очевидно, всегда можно найти такое постоянное положительное число h, чтобы удовлетворить неравенству (4).

Если выполняются условия 1-4, то согласно теореме А. Н. Тихонова [8, 9] существует, по крайней мере, одна система решений уравнений (1), удовлетворяющая начальным условиям:

(5)

где Ф_0k⁰ – произвольная система начальных значений.

Таким образом, исходя из условий выполнения теоремы А. Н. Тихонова о существовании решения, можем полагать, что решение бесконечномерной системы дифференциальных уравнений, определяющей соотношение спектральных характеристик в зависимости от времени, существует.

Установим далее условия однозначности рассматриваемой задачи (1), (5).

Будем полагать, что система функций удовлетворяет условиям Липшица относительно переменных , если

(6)

где и – значения функций вычисленные через временной интервал ; K_ki – постоянное положительное число при , .

Если бесконечная система дифференциальных уравнений (1), правые части которой удовлетворяют условиям Липшица (6), ряды сходятся и равноограниченны, т.е.

,

(7)

тогда существует одна и только одна система решений , удовлетворяющая начальным условиям (5), для которой выполняется условие равномерной ограниченности:

,

(8)

(L_i , L, R – постоянные положительные ограниченные числа).

Неравенство (6) будет всегда выполнено, если функция имеет в каждой точке области D (области изменения ) частную производную , ограниченную во всей области D.

Благодаря тому, что исследуемые уравнения относительно спектральных характеристик (5) представляют собой систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в векторно-матричной форме Коши, можно сделать вывод о том, что частная производная от f_k по Ф_0k равна ограниченной величине – коэффициенту при Ф_0k , каждый из которых представляет собой постоянную, не зависящую от времени величину.

Выполнение условия (7) может быть проверено для каждой исследуемой системы.

Таким образом, решение систем уравнений (5) при выполнении условий теоремы (6) и (7) будет единственным.

Доказанное утверждение 4.1 и приведенные теоремы существования и единственности полученных решений открывают возможность исследования бесконечномерных систем дифференциальных уравнений, полученных в результате перехода от уравнений в частных производных к бесконечномерной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно пространственных спектральных характеристик.

Лекция 17

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: