Влияние выбора системы разложения и количества членов разложения на решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода спектральным методом

 

В разделе 2.3 настоящей диссертационной работы приведено решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода

(1)

спектральным методом.

В настоящем разделе будут сравнены решения уравнения (1), полученные спектральным методом с использованием трех ортонормированных на интервале систем разложения:

(2)

(3)

(4)

Для отыскания приближенного решения уравнения (1) спектральным методом на основе ортонормированных систем (2), (3), (4) ограничимся рассмотрением двух значений количества членов разложения (n=3, n=5). Для начала ограничимся первыми тремя членами систем разложения.

При использовании трех членов ортонормированной системы функций (2) определяем вектор спектральной характеристики от функции

. (5)

Приближенное решение уравнения (1) определяется суммой ряда по заданной ортонормированной системе функций (2)

.(6)

Теперь найдем решение интегрального уравнения (1) используя ортонормированную систему функций (3). Спектральная характеристика для ядра интегрального уравнения примет вид

. (7)

Вычисляем матрицу

. (8)

Вектор спектральной характеристики внешнего воздействия, вычисленный имеет вид

. (9)

Для проведения вычислений также ограничимся первыми тремя членами разложения и определим вектор спектральной характеристики от функции

. (10)

Приближенное решение уравнения (1), полученное на основе ортонормированной системе функций (3), определяется суммой ряда

. (11)

Спектральная характеристика для ядра интегрального уравнения, вычисленная на основе ортонормированной системы функций (4) примет вид

. (12)

Матрица рассчитывается согласно (2.1.2.7)

. (13)

Вектор спектральной характеристики внешнего воздействия, вычисленный на основе ортонормированной системы (4) будет представлен в виде

. (14)

Для первых трех членов разложения (n=3) определяем вектор спектральной характеристики от функции

. (15)

Приближенное решение уравнения (1), полученное на основе ортонормированной системе функций (4), определяется как ряд с коэффициентами (5)

. (16)

Далее, для нахождения приближенного решения уравнения (1) спектральным методом на основе ортонормированных систем функций (2), (3), (4) рассмотрим использование пяти членов разложения (n=5).

Решение интегрального уравнения (1) спектральным методом на основе пяти членов ортонормированной системы функций (2) приведено в разделе 2.3 и определяется суммой ряда

(17)

Ограничившись рассмотрением пяти членов (n=5) ортонормированной системы функций (3) с учетом (8), (9) определяем вектор спектральной характеристики от функции

. (18)

Суммируя ряд Фурье по ортонормированной системе (3) получим приближенное решение уравнения (1)

. (19)

Вектор спектральной характеристики от функции , найденный с учетом (13), (14) и с использованием пяти членов (n=5) ортонормированной системы функций (4) примет вид

. (20)

Приближенное решение уравнения (1) определяется по заданной ортонормированной системе функций (4) с коэффициентами (20)

(21)

На рис.1 представлено приближенное решение интегрального уравнения (1), полученное спектральным методом с использованием трех членов (n=3) системы разложения (2); на рис.2 – приближенное решение, полученное спектральным методом с использованием трех членов системы разложения (3); на рис.3 – приближенное решение, полученное спектральным методом с использованием трех членов системы разложения (4);

На рис.5 изображено решение интегрального уравнения (1), полученное спектральным методом на основе ортонормированной системы разложения (2) при n=3, в установившемся режиме ( ), на рис.6 – решение интегрального уравнения, полученное спектральным методом на основе ортонормированной системы разложения (3) при n=3, в установившемся режиме ( ), на рис.7 – решение интегрального уравнения, полученное спектральным методом на основе ортонормированной системы разложения (4) при n=3, в установившемся режиме ( ).

 

Вычислим квадратичный функционал (3), среднеквадратическую ошибку (4) и относительную среднеквадратическую ошибку для полученных решений (при n=3) в установившемся режиме.

, , , (22)

, , , (23)

, , , (24)

где , , – оценки, относящиеся к решению интегрального уравнения с использованием трех членов (n=3) ортонормированной системы (2);

, , – оценки, относящиеся к решению интегрального уравнения с использованием трех членов (n=3) ортонормированной системы (3);

, , – оценки, относящиеся к решению интегрального уравнения с использованием трех членов (n=3) ортонормированной системы (4).

На рис.8 представлено приближенное решение уравнения (1), полученное спектральным методом с использованием пяти членов (n=5) системы разложения (2), на рис.9 – приближенное решение, полученное спектральным методом с использованием пяти членов системы разложения (3), на рис.10 – приближенное решение, полученное спектральным методом с использованием пяти членов системы разложения (4).

На рис.11, рис.12, рис.13. изображены установившиеся решения ( ) интегрального уравнения (1), полученные спектральным методом на основе пяти членов (n=5) ортонормированных систем разложения (2), (3) и (4) соответственно.

Квадратичный функционал среднеквадратическая ошибка и относительная среднеквадратическая ошибка для полученных решений (при n=5) в установившемся режиме примут следующие значения:

, , , (25)

, , , (26)

, , , (27)

где , , – оценки, относящиеся к решению интегрального уравнения с использованием пяти членов (n=5) ортонормированной системы (2);

, , – оценки, относящиеся к решению интегрального уравнения с использованием пяти членов (n=5) ортонормированной системы (3);

, , – оценки, относящиеся к решению интегрального уравнения с использованием пяти членов (n=5) ортонормированной системы (4).

Для определения зависимости качества решения уравнения (1) на основе спектрального метода от порядка усечения (количества членов разложения) получим дополнительные приближенные решения данного уравнения с использованием ортонормированных систем (2), (3) и (4) при n=7, n=9 и n=11. Для полученных решений в установившемся режиме рассчитаем оценки погрешности и на основании значений погрешностей (табл.1) построим зависимости величин квадратичного функционала, среднеквадратической ошибки и относительной среднеквадратической ошибки от количества членов разложения для каждой системы разложения (рис.14), (рис.15), (рис.16).

Таблица 1

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: