Ряды распределения в таможенной статистике

Методические указания

    Таможенная инспекция провела 1%-ю проверку после выпуска товаров. В результате получен следующий дискретный ряд распределения числа нарушений, выявленных в каждой проверке (табл. 22). Проведем анализ этого ряда распределения.

Таблица 22. Ряд распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Число нарушений	0	1	2	3
Число проверок	24	4	2	1

    Этап 1. Данный в табл. 22 ряд распределения уже ранжирован в порядке возрастания числа нарушений, поэтому переходим сразу к расчету основного обобщающего показателя – среднего числа нарушений. Сначала рассчитаем среднее число нарушений в выборке, а также его дисперсию, для чего построим вспомогательную таблицу 23.

Таблица 23. Ряд распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Число нарушений X	Число проверок f	Xf	(Х- )2 f	m		f ’	m’	|f ’– m ’|
0	24	0	3, 022	21, 7	0, 244	24	21, 7	2, 3
1	4	4	1, 665	7, 7	1, 778	28	29, 4	1, 4
2	2	4	5, 413	1, 4	0, 257	30	30, 8	0, 8
3	1	3	6, 997	0, 2	3, 200	31	31	0
Итого	31	11	17, 097	31	5, 479

Среднее число нарушений в выборке по формуле (11), приняв за X число нарушений, а за N – численность выборки n: = = 11/31 = 0, 355 (нарушений).

Дисперсию определим по формуле (46):

= = 0, 552 (нарушений²).

Затем определим среднюю ошибку выборки по формуле (33), так как число величин в генеральной совокупности N неизвестно: = .

Предельная ошибка выборки при вероятности 0, 95 по формуле (32):  = 1, 96*0, 133 = 0, 261.

Доверительный интервал среднего числа нарушений в генеральной совокупности по формуле (35): = 0, 355 ± 0, 261 или 0, 094  0, 616 (нарушений), то есть среднее число нарушений по всей совокупности товаров, прошедших через таможенную границу, с вероятностью 0, 95 лежит в пределах от 0, 094 до 0, 616 нарушений в 1 партии.

    Найдем еще обобщающий показатель – долю выпущенных товаров без нарушений d (т.е. с числом нарушений X=0). Доля таких товаров в выборке по формуле (6) составила:      24/31 = 0, 774, или 77, 4%.

    Дисперсия этой доли по формуле (66) [2] составила:

= 0, 774*(1–0, 774) = 0, 175.                            (66)

Средняя ошибка выборки по формуле (33): = .

Предельная ошибка выборки при вероятности 0, 95 по формуле (32): = 1, 96*0, 075 = 0, 147.

Доверительный интервал доли выпущенных товаров без нарушений в генеральной совокупности по формуле (36): d = 0, 774 ± 0, 147 или 0, 627  d  0, 921, то есть доля выпущенных товаров без нарушений по всей совокупности товаров, прошедших через таможенную границу, с вероятностью 0, 95 лежит в пределах от 62, 7% до 92, 1%.

    Этап 2. Данный ряд распределения не имеет смысла превращать в интервальный в виду очень малой вариации значений признака. Построив график этого распределения (полигон) – рис. 15, видно, что данное распределение не похоже на нормальное.

Рис. 15. Кривая распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Этап 3. Из структурных характеристик ряда распределения можно определить только моду: Мо = 0, так как по данным табл. 23 такое число нарушений чаще всего встречается (f=24).

Этап 4. По формуле (42) определим размах вариации: H = 3 – 0 = 3, что характеризует вариацию в 3 нарушения.

    По формуле (44) найдем среднее линейное отклонение:

.

Это означает, что в среднем число нарушений в выборке отклоняется от среднего числа нарушений на 0, 55.

    Среднее квадратическое отклонение рассчитаем не по формуле (46), а как корень из дисперсии, которая уже была рассчитана нами на 1-м этапе: , тогда , т.е. в изучаемом распределении наблюдается некоторое число выделяющихся нарушений (с большим числом нарушений, выявленных в одной проверке).

    Поскольку квартили на предыдущем этапе не определялись, на данном этапе расчет среднего квартильного расстояния пропускаем.

    Теперь рассчитаем относительные показатели вариации:

– относительный размах вариации по формуле (50): = 3/0, 355 = 8, 45;

– линейный коэффициент вариации по формуле (51): = 0, 550/0, 355 = 1, 55;

– квадратический коэффициент вариации по формуле(52): = 0, 743/0, 355 = 2, 09.

Все расчеты на данном этапе свидетельствуют о значительных размере и интенсивности вариации нарушений, выявленных таможенной инспекцией.

    Этап 5. Не имеет практического смысла расчет моментов распределения, так как видно из рис. 15, что в изучаемом распределении симметрия отсутствует вовсе, поэтому и расчет эксцесса также бесполезен.

    Этап 6. Выдвинем гипотезу о соответствии изучаемого распределения распределению Пуассона[3], которое описывается формулой (67):

,                           (67)

где P( X)                – вероятность того, что признак примет то или иное значение X;

       e = 2, 7182 – основание натурального логарифма;

       X!                – факториал числа X (т.е. произведение всех целых чисел от 1 до X включительно);

       a =         – средняя арифметическая ряда распределения.

Из формулы (67) видно, что единственным параметром распределения Пуассона является средняя арифметическая величина. Порядок определения теоретических частот этого распределения следующий:

1) рассчитать среднюю арифметическую ряда, т.е. = a;

2) рассчитать e^–a;

3) для каждого значения X рассчитать теоретическую частоту по формуле (68):

.                       (68)

Поскольку a = = 0, 355 найдем значение e ^{– 0, 355} =0, 7012. Затем, подставив в формулу (68) значения X от 0 до 3, вычислим теоретические частоты:

m ₀ =  (т.к. 0! = 1);                m ₁ = ;

m ₂ = ;                                      m ₃ = .

Полученные теоретические частоты занесем в 5-й столбец табл. 23 и построим график эмпирического и теоретического распределений (рис. 16), из которого видна близость эмпирического и теоретического распределений.

Рис. 16. Эмпирическая и теоретическая (распределение Пуассона) кривые распределения

    Проверим выдвинутую гипотезу о соответствии изучаемого распределения закону Пуассона с помощью критериев согласия.

    Рассчитаем значение критерия Пирсона χ ² по формуле (62) в 6-м столбце табл. 23: χ ² =5, 479, что меньше табличного (Приложение 7) значения χ ²_табл=5, 9915 при уровне значимости α = 0, 05 и числе степеней свободы ν =4–1–1=2, значит с вероятностью 0, 95 можно говорить, что в основе эмпирического распределения лежит закон распределения Пуассона, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.

    Определим значение критерия Романовского по формуле (64):

= 1, 74 < 3, что подтверждает несущественность расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

    Для расчета критерия Колмогорова в последних трех столбцах таблицы 23 приведены расчеты накопленных частот и разностей между ними, откуда видно, что в 1-ой группе наблюдается максимальное расхождение (разность) D = 2, 3. Тогда по формуле (65): . По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при λ = 0, 4: P = 0, 9972 (наиболее близкое значение к 0, 413), т.е. с вероятностью, близкой к единице, можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины нарушений, выявленных таможенной инспекцией, лежит закон распределения Пуассона, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Контрольные задания

 

На основе условных ранжированных данных таблицы 24, которые получены с помощью случайного выборочного наблюдения на 50 таможенных постах за отчетный период, провести анализ вариации (6 этапов) величины таможенных сборов (тыс. руб.) с товаров, перемещенных через таможенную границу, собранных таможенными постами.

Таблица 24. Распределение вариантов для выполнения контрольного задания

№

П/п