Тема 2.1. Разложение функций в степенные ряды.

Числовые ряды. Степенные ряды. Функциональные ряды. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

[1] Глава 2, стр. 161-183;

[2] Глава 7, стр. 168-178;

[4] Глава 27, стр. 391-416;

[5] Часть 2, Глава 3 стр. 66-96.

Основные понятия. Сходимость ряда.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, …, u_n, …, соединённых знаком сложения:

u₁+ u₂+…+ u_n....= .                                      (13)

Числа u₁, u₂, …, u_n, …называются членами ряда, а член u_n - общим или n-м членом ряда.

Сумма n первых членов ряда S_n= u₁+ u₂+…+ u_n. называется n-й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

.

Число S называется суммой ряда.

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Ряд, члены которого являются степенными функциями

с₀+с₁х+с₂х²+…+с _n xⁿ+…,                                      (14)

называется степенным рядом; числа с₀, с₁, с₂, …с _n  называются коэффициентами степенного ряда.

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Любая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале < r, т.е. х₀-r< x< x₀+r, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

f(x)=f(x₀)+ …+ …,

если в этом интервале выполняется условие

При х₀=0 получается ряд Маклорена:

f(x)=f(0)+ …+ ….

Приведём разложения в ряд Маклорена следующих функций:

е^х =1+х+ +…+ +…, при хÎ (-∞; ∞ );    

sinx =x- , xÎ (-¥ ¥ );

cosx =1- , хÎ (-¥; ¥ );

ln( x+1) = , хÎ (-1; 1];

(1+х) ^a = , хÎ (-1; 1);

arcsinx = , xÎ [-1; 1];

arctgx = , xÎ [-1; 1].     

 

 

Пример №24. Разложить в степенной ряд по степеням х функцию:

а) ; б) f( x)= ln(2+ x);      в)      

r а)Воспользуемся разложением е^х=1+х+ +… при хÎ (-∞; ∞ ).

Заменяя в этом разложении х на (-х²) и умножая на х, получим:

Полученный ряд является сходящимся также для любого хÎ (-∞; ∞ ). Действительно,

(Признак Даламбера).

 

б) Сначала преобразуем эту функцию так: f(x)=ln(2+x)=ln(1+(1+x)). Обозначив (х+1)=у и используя разложение в ряд Маклорена функции f(y)=ln(1+y):

, заменим в нём у на (х+1); получим:

.

Учитывая, что Е=(-1; 1] – интервал сходимости используемого стандартного разложения, полученный ряд будет сходиться при значениях у, удовлетворяющих неравенству: -1< y≤ 1 или -1< x+1≤ 1, откуда находим интервал сходимости полученного ряда: -2< x≤ 0.

 

в) Данную функцию представим в виде

.

На основании разложения ln(1+x)=x- , , т.е. при -2< x< 2 можем записать

,

аналогично при -1< -x≤ 1, т.е. при -1≤ х< 1

,

следовательно,

,  хÎ [-1; 1). p

Применение рядов в приближенных вычислениях

 

Степенные ряды могут быть использованы для приближенного вычисления значений различных функций, определенных интегралов (в том числе «неберущихся»), нахождения пределов и т.п.

 

Пример №25.

Вычислить приближенно с точностью до 0, 0001:

а) ;      б) ln0, 6;      в) ln5;         г) ;       д) cos10°.

r а) Для вычисления  запишем ряд при х=-3/4, принадлежащим области сходимости (-∞; +∞ ):

1- 0, 75 + 0, 28125 - 0, 070312 + 0, 013184 –

- 0, 001978 + 0, 000247 – 0, 000026 + ….

 

Взяв первые семь членов разложения, мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена ряда (по абсолютной величине), т.е.

≤ 0, 000026< 0, 0001.

Итак, складывая первые семь членов, получим

 

б) Для вычисления ln0, 6 запишем ряд при х=- 0, 4, входящем в область сходимости ряда (-1; 1]:

ln0, 6=ln(1+(-0, 4))=-0, 4- =

= - (0, 4 + 0, 08 + 0, 021333 + 0, 0064 + 0, 002048 + 0, 000683 + 0, 000234 + 0, 000082 +…).

 

Если в качестве ln0, 6 взять первые восемь членов, мы допустим погрешность

(мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна ).

Итак, складывая первые восемь членов, получим:

ln0, 6 » - 0, 510780»-0, 5108.

 

в) Вычислить ln3=ln(1+2) с помощью ряда для функции у=ln(1+x) не представляется возможным, так как х=2 не входит в область сходимости ряда (-1; 1].

Воспользуемся рядом

.

Этот ряд позволяет вычислить логарифмы любых чисел, так как при изменении х в интервале сходимости ряда (-1; 1) дробь  меняется в интервале (0; +∞ ).

Так как решением уравнения  является число х= , то  и

(суммируем семь первых членов ряда при заданной погрешности).

г) Представим  в виде . Так как после проведенного преобразования  входит в область сходимости (-1; 1) биномиального ряда, то при  ,  получим:

Для обеспечения данной в условии точности расчёта достаточно взять три члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда погрешность ≤ 0, 000021< 0, 0001.

Итак, =2, 020290»2, 0203.

д) Для вычисления cos10°=cos  запишем ряд cosx при х= , принадлежащем области сходимости (-∞; +∞ ):

Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность ≤ 0, 000039< 0, 0001.

Итак, cos10°»1-0, 015231=0, 984769»0, 9848.      p

 

Вопросы для повторения

1. Дайте определение числового ряда, суммы ряда. Что такое остаток ряда?

2. Какой ряд называется сходящимся?

3. Какой ряд называют степенным рядом?

4. Что такое область сходимости степенных рядов?

5. Ряды Тейлора и Маклорена.

6. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: