Раздел 3. Основы дискретной математики

Тема 3.1. Множества и отношения

Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений. Основные понятия теории графов.

 

[1] Глава 5, стр. 227-244;

[2] Глава 1, стр. 12-20; Глава 2 стр. 31-50.

 

Множества.

Под множеством будем понимать совокупность (систему) каких-либо объектов произвольной природы, обладающих некоторым общим признаком.

Обозначение: А, B, C, D, …

Объекты, образующие множество, называются элементами множества и обозначаются соответствующими малыми буквами. Например, множество людей, множество городов России, множество целых чисел.

Некоторые множества имеют общепринятое обозначение:

N – множество натуральных чисел.

Z – множество целых чисел.

I – множество иррациональных чисел.

Q – множество рациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

С – множество комплексных чисел.

Способы задания множеств:

- перечислением всех входящих в него объектов;

- описанием свойств, которыми должны обладать элементы множества. Такой способ называется аналитическим.

Например, множество M арабских цифр можно задать двояко: перечислением M={0, 1, 2, …, 9} или посредством свойства M={x| х – арабская цифра}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают Æ.

Количество элементов множества А называется мощностью множества и часто обозначают .

Пример 26. Мощность множества арабских цифр =10.

Если число элементов множества ограничено, то множество называют конечным, в противном случае – бесконечным.

Любую часть А (даже целую)множества В, выбранную по определённому признаку, называют подмножеством. Записывают

.

Пример 27. Справедливы следующие включения: NÍ Z, ZÍ Q, QÍ R, RÍ C,

{1; 4}Í {1; 4; 5; 6; 8}.

 

 

Операции над множествами

Рассмотрим исполнение отдельных операций над подмножествами A, B, C множества U.

а) АÈ В (объединение) – множество, состоящее из всех элементов множеств А и В, записанных в порядке возрастания и без повтора.

б) АÇ В (пересечение) – множество, составленное из общих (одинаковых) элементов множеств А и В.

в) А \ В (разность) – множество, составленное лишь из тех элементов множества А, которые не встречаются во множестве В.

г)  (дополнение) – множество элементов универсального множества U, которых нет в множестве А. За универсальное множество удобно взять множество целых чисел Z.

д) АDВ (симметрическая разность) – множество, состоящее из элементов множеств А и В, не включая их общие (одинаковые) элементы

Пример №28. Дано множество U={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} и множества А={2; 3; 4; 5}, В={1; 4; 5; 6; 8} и С={4; 6; 7; 9; 10}. Записать множества:

1) АÈ В      2) АÇ В      3) АÈ (ВÇ С)         4)    5) В\С        6)

Вопросы для повторения

1. Дайте определение множества и приведите пример.

2. Какие способы задания множеств Вы знаете?

3. Перечислите основные числовые множества и их обозначения.

4. Что такое мощность множества?

5. Что такое подмножество? Приведите пример.

Раздел 4. Численные методы

Тема 4.1. Основы численных методов алгебры

Абсолютная и относительная погрешности. Округление чисел. Погрешности простейших арифметических действий. Численное решение уравнений с одной переменной.

 

[1] Глава 6, стр. 245-252;

[2] Глава 2, стр. 39-41;

[3] Глава 1, стр.26-39;

[4] Глава 1-2, стр. 10-24.

Основные понятия.

Модуль (абсолютная величина) разности между точным числом х и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа х и обозначается через α, т. е. |х – а| = α.

Число а называется приближенным значением точного числа х с точностью до Dа, если абсолютная погрешность приближенного значения а не превышает Dа, т. е.

|х - а| ≤ Dа.

Число Dа называется границей абсолютной погрешностиприближенного числа а.

Пример №29. Даны приближенные значения числа х= : а₁ = 0, 6; а₂ = 0, 66; а₃= 0, 67. Какое из этих приближений является лучшим?

r Найдем абсолютную погрешность каждого приближенного значения.

,

,

.p

Относительной погрешностью  приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности  этого приближения к числу а, т.е. .

Число  называется границей относительной погрешности, если .

Действия над приближенными числами.

1. Сложение.

Граница абсолютной погрешности суммы (разности)  приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел: , где а и b – приближенные значения чисел,  и  - границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле

.

Пример №30. Электрическая цепь состоит из трёх последовательно соединённых проводников с сопротивлениями r₁=6, 8±0, 05 (Ом), r₂=4, 3±0, 05 (Ом), r₃=3, 575±0, 0005 (Ом). Вычислите общее сопротивление цепи R. Найдите границы абсолютной DR и относительной e_R погрешностей.

r R = 6, 8+4, 3+3, 575=14, 675; =0, 05+0, 05+0, 0005=0, 1005.

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах 0, 05< 0, 1005< 0, 5.

Граница относительной погрешности

 В процентах p

 

2. Вычитание.

Граница абсолютной погрешности разности двух приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел: .

Граница относительной погрешности разности вычисляется по формуле

.

Пример №31.  Вычислить разность двух приближенных значений чисел  и . Найти  и .

r Вычислим границу абсолютной погрешности разности a-b:

.

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как , следовательно, . Абсолютная погрешность разности 0, 001. Находим относительную погрешность разности: .p

3. Умножение и деление.

Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного) сложны, поэтому сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем границу абсолютной погрешности произведения (частного).

Формулы для границ абсолютной и относительной полгрешности приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Функция	Граница абсолютной погрешности	Граница относительной погрешности

Пример №32. Найдите границы абсолютной и относительной погрешности вычисления площади жестяной пластины прямоугольной формы с измерениями а=12±0, 05(см) и b=10±0, 05(см)..

r Площадь прямоугольника S=a× b, следовательно, граница абсолютной погрешности вычисления площади

(см)

Граница относительной погрешности

p

Пример №33. Вычислите силу тока I (A) в однородном участке цепи с напряжением U=120±0, 5(В) при постоянном сопротивлении участка R=40±0, 1(Ом). Найдите границы  абсолютной DI и относительной e_I погрешности вычисления.

r Имеем  

Граница абсолютной погрешности

Границу относительной погрешности вычислим по формуле

p

 

Вопросы для повторения

1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного числа?

2. Что называется границей абсолютной погрешности?  

3. Что называется относительной погрешностью приближенного числа?

4. Что называется границей относительной погрешности приближенного числа?

5. Что называется округлением десятичной дроби?

6. Что называется погрешностью округления?

7. Как производится округление с недостатком?

8. Как производится округление с избытком?

9. Как вычисляется граница абсолютной и относительной погрешности суммы приближенных значений чисел?

10. Как вычисляется граница абсолютной погрешности разности двух приближенных значений чисел?

11. Как вычисляется граница относительной погрешности разности приближенных значений чисел?

12. Как вычисляется граница абсолютной и относительной погрешности произведения и частного приближенных значений чисел?

13. Как вычисляется граница абсолютной и относительной погрешности степени приближенного значения числа?

14. Как вычисляется граница абсолютной и относительной погрешности квадратного и кубического корней из приближенных значений чисел?

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: