Основные свойства операции сложения векторов.

 

1) (переместительное свойство). Сумма любых двух векторов не зависит от порядка слагаемых.

Рис.7

Доказательство. Рассмотрим два произвольных (ненулевых) вектора ā , `b. Приложим эти векторы в произвольной точке : (рис. 7).

Приложим вектор`b к точке . Соединим точки B и C. OABC – параллелограмм, т. к. , тогда . Из DOAC получаем: .

Из DOBC получаем: , отсюда ā +`b =`b + ā , и переместительное свойство сложения векторов доказано.

Замечание. При доказательстве этого свойства на векторах ā и`b с общим началом в точке O, как на сторонах, строится параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, идущая из их общего начала O, равна сумме векторов и .

Таким образом, получается правило сложения двух векторов в новой формулировке.

Если векторы ā и`b приведены к общему началу и на них, как на сторонах, построен параллелограмм, то суммой векторовā +`b или`b + ā является диагональ этого параллелограмма, идущая из общего начала векторов ā и`b.

Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

2) (сочетательное свойство).

 

Доказательство. Даны три ненулевых вектора ā , `b, `c.

Рис.8

Приложим вектор`b к концу вектора ā , вектор`c к концу вектора`b. Обозначим . Рассмотрим .

Рассмотрим (рис.8).

Получается и сочетательное свойство операции сложения векторов доказано.

3) .

Используя полученные свойства сложения векторов, можно сформулировать общее правило сложения векторов.

 

Чтобы сложить векторы ā ₁, ā ₂, … ā _n, нужно к концу первого вектора ā ₁ приложить вектор ā ₂, затем к концу вектора ā ₂ приложить вектор ā ₃ и т. д., к концу вектора ā _{n – 1} приложить последний вектор ā _n.

Рис. 9

Это правило называют правилом многоугольника для сложения n векторов.

Рисунок 9 иллюстрирует правило многоугольника для случая n = 4.

 

Умножение вектора на число

Пусть дан вектор ā и действительное число l, |ā | – длина вектора ā , |l| – абсолютная величина (модуль) числа l (лямбда).

Определение. Произведением вектора ā на число l называется вектор lā (или ā l), обладающий следующими свойствами:

1) длина вектора lā равна произведению длины вектора ā на абсолютную величину числа l, т. е. |lā | = |l||ā |;

2) вектор lā коллинеарен вектору ā (lā || ā ), причем,

если l > 0, то lā ↑ ↑ ā ;

если l < 0, то lā ↑ ↓ ā ;
если l = 0, то lā = 0.

Замечание.При умножении вектора на l = –1 его длина не изменяется, а направление меняется на противоположное, поэтому вектор –ā называется противоположным векторуā .

Свойства линейных операций над векторами

1) (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел).

Докажите это свойство самостоятельно, используя определения линейных операций над векторами, рассмотрев два случая: l₁ и l₂ имеют одинаковые знаки, l₁ и l₂ имеют различные знаки.

2) (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов).

3) (сочетательное свойство числового множителя).

Разность двух векторов.

Рис.10

Определение. Разностью двух векторов ā и`b называется вектор ā –`b, который в сумме с вектором`b дает вектор ā (рис.10).

Рассмотрим векторы ā и`b. Приведем их к общему началу O. Обозначим: . Тогда, согласно данному определению: .

Разность векторов ā и`b можно рассматривать как сумму вектора ā и вектора (–`b), противоположного` , т.е. как ā +( –`b).

 

Рис.11 ,

Замечание. Если векторы ā и приведены к общему началу и на них, как на сторонах, построен параллелограмм (рис. 11), то та из диагоналей этого параллелограмма, которая

выходит из их общего начала, является суммой векторов: , а вторая диагональ является разностью векторов: .

Определение. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице, т.е. |ā | = 1.

Определение. Орт вектора ā –это единичный вектор, сонаправленный с вектором ā .

Орт вектора ā обозначается ā ⁰ (ā ⁰ ↑ ↑ ā , |ā ⁰| = 1).

Согласно этому определению: ā = |ā | ā ⁰ или .

1.3.3. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

 

Теорема. Для того, чтобы два вектора ā и`b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них мог быть представлен в виде произведения некоторого числа на другой вектор, т. е. (или ).

В этой теореме мы должны доказать два признака; один из них является необходимым для данного утверждения, а другой достаточным.

Такая формулировка теоремы встречается нам впервые. Уточним, в каком случае признак называется необходимым для данного утверждения, а в каком - достаточным.

Пусть имеется некоторое утверждение и какой-либо признак для проверки справедливости этого утверждения.

Если из справедливости данного утверждения следует выполнение признака, то такой признак называется необходимым для данного утверждения.

Если же наоборот – из выполнения признака следует справедливость данного утверждения, то такой признак называется достаточным для данного утверждения.

Признак может быть только необходимым, или только достаточным, или одновременно и достаточным, и необходимым.

Доказательство теоремы разобьем на две части.

i) Докажем необходимость. Если один из векторов, например, `b =`0, то `b = 0·ā = lā (при l = 0) и теорема доказана).

Пусть векторы ā и `b коллинеарны, ā ¹ 0 и`b ¹ 0. Докажем, что существует действительное число l такое, что `b = lā .

Рассмотрим орты векторов ā и `b: .

а) Если векторы ā и`b сонаправлены, то ā <sup>0</sup> =`b ⁰, т. е. или . Обозначив , получим `b = lā . Заметим, что в этом случае l > 0.

б) Если векторы ā и`b направлены противоположно, то ā <sup>0</sup> = –`b ⁰, т. е. или . Обозначив , получим`b = lā .

Заметим, что в этом случае l < 0. Таким образом, если векторы ā и`b коллинеарны, то`b = lā .

ii) Докажем достаточность. Пусть даны два вектора ā и`b, и известно, что существует число l такое, что`b = lā . Надо доказать, что ā ||`b.

Доказательство этого утверждения немедленно следует из определения умножения вектора на число.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: