Условие перпендикулярности двух плоскостей

Рис.1.6.16

Если плоскости α ₁ и α ₂ перпендикулярны, то их нормальные векторы ` N <sub>1</sub> и ` N ₂ тоже перпендикулярны (см. рис.1.6.16). Отсюда следует, что их скалярное произведение равно нулю, т.е. ` N <sub>1</sub>· ` N ₂ = 0 или в координатной форме: ` N ₁ = (A₁; B₁; C₁); N ₂ = (A₂; B₂; C₂) Þ

 

A 1 A 2 + B1B2 + C1C2 = 0

(1.6.6)

Это – условие перпендикулярности двух плоскостей. Обратное утверждение также верно, то есть, если выполняется условие (1.6.6), то векторы ` N <sub>1</sub> ^ ` N ₂, следовательно, α ₁ ^ α ₂.

Пример. Какие из указанных плоскостей перпендикулярны:

а) α ₁: 3x – 2y – 2z + 7 = 0, α ₂: 2x + 2y + z + 4 = 0;

б) α ₁: 2x – z + 1 = 0, α ₂: y + 2z + 3 = 0.

Решение: а) Запишем координаты нормальных векторов: N ₁ = (3; –2; –2) и ` N ₂ = (2; 2; 1).

Проверим их ортогональность:

N ₁ · ` N ₂ = 3·2 + (–2)·2 + (–2)·1 = 6 – 4 – 2 = 0

Отсюда следует, что α ₁ ^ α ₂.

б) Запишем координаты нормальных векторов:

N ₁ = (2; 0; –1) и ` N ₂ = (0; 1; 2).

Найдем их скалярное произведение:

` N <sub>1</sub> · ` N ₂ = 2·0 + 0·1 + (–1)·2 = –2 Þ ` N <sub>1</sub> · ` N ₂ ≠ 0, то есть, плоскости α ₁ и α ₂ не перпендикулярны.

Пример. При каком значении m плоскости перпендикулярны

α ₁: 2x – 2y + mz – 1 = 0, α ₂: 3x + y – 2z + 4 = 0?

Решение: Запишем координаты нормальных векторов:

` N <sub>1</sub> = (2; –2; m) и ` N ₂ = (3; 1; –2) и найдем их скалярное произведение: ` N <sub>1</sub>· ` N ₂ = 2·3 + (–2)·1 + m·(–2) = 6 –2 –2m = 4 –2m. Так как плоскости перпендикулярны, то ` N <sub>1</sub>· ` N ₂ = 0. Следовательно, 4 – 2m = 0; m = 2.

Ответ: m = 2.

Расстояние от точки до плоскости

Рис.1.6.17

Пусть дана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и плоскость α: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0.

Расстояние от точки M₀ до плоскости α (см. рис.1.6.17) находим по формуле:

(1.6.7)

 

Пример. Найти расстояние от точки M(3; 9; 1) до плоскости α: x – 2y + 2z – 3 = 0.

Решение: Применяем формулу (1.6.7), где A = 1, B = –2, C = 2, D = –3,

Ответ:

1.6.2. Прямая в пространстве: способы задания, условия взаимного расположения прямых в пространстве.

 

 

Рис.1.6.18

Пусть в системе координат Oxyz дана прямая, которая проходит через точку M₀(x₀; y₀; z₀) (см. рис.1.6.18). Обозначим через ` s = (m, n, p), ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

Вектор ` s называется направляющим вектором прямой.

 

Возьмем на прямой произвольную точку M(x, y, z) и рассмотрим вектор =(x–x₀, y–y₀, z–z₀). Векторы и ` s коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны:

(1.6.8)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Рис.1.6.19

Пример.Написать уравнения прямой, проходящей через точку M(1; 2; –1) параллельно вектору ` s =(2, 0, 3)

Решение: Вектор ` s является направляющим вектором искомой прямой. Применяя формулы (1.6.8), получим:

Это – канонические уравнения прямой.

Замечание: Обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя, то есть y – 2 = 0; y = 2. Данная прямая лежит в плоскости y = 2, параллельной плоскости Oxz.

Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

Обозначим тогда Величина t называется параметром и может принимать любые значения: –∞ < t < ∞.

Выразим x, y и z через t:

(1.6.9)

 

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(1; 2; –1) параллельно вектору =(2; 0; 3).

Решение: Канонические уравнения этой прямой получены в предыдущем примере:

Для нахождения параметрических уравнений прямой применим вывод формул (1.6.9.):

Þ

x = 1 + 2t; y = 2 + 0·t; z = –1 + 3t.

Итак, – параметрические уравнения прямой.

Ответ:

 

Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(–1; 0; 1) параллельно вектору где A(2; 1; –1), B(–1; 3; 2).

Решение: Вектор является направляющим вектором искомой прямой. Найдем его координаты: = (–3; 2; 3). По формулам (1.6.9) запишем параметрические уравнения прямой.

Ответ: .

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Рис.1.6.20

Через две заданные точки в пространстве проходит единственная прямая (см. рис. 20). Пусть даны точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂). Вектор можно принять за направляющий вектор данной прямой. Тогда уравнения прямой находим по формулам (1.6.8), зная точку M₁ и

вектор ` s = = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁):

(1.6.10)

Эти уравнения называются уравнениями прямой по двум точкам.

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M₁(2; 1; –2) и M₂(1; 0; –2).

Решение: Применяем формулу (1.6.10)

.

Получили канонические уравнения прямой. Для получения параметрических уравнений применим вывод формул (1.6.9) Получим

Это – параметрические уравнения прямой.

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M₁(2; 1; 2) и M₂(2; 1; –1).

Рис.1.6.21

Решение: По формулам (1.6.10) получим:

Это – канонические уравнения.

Переходим к параметрическим уравнениям:

. Это – параметрические уравнения. Полученная прямая параллельна оси Oz (см. рис. 1.6.21).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: