Возведение в квадрат трёхзначных чисел

Возведение в квадрат трёхзначных чисел является впечатляющим проявлением ловкости в рамках ментального фокусничества. Также, как вы возводили в квадрат двузначные числа, округляя в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трёхзначного числа в квадрат вам нужно округлить его в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возьмём 193:

 

 

Путём округления в сторону 200 и 186 вы преобразовали задачу типа «3-на-3» в более простую «3-на-1». В конце концов, 200 х 186 это просто 2 х 186 = 372 с двумя нулями в виде приложения. Почти готово! Теперь, всё что вам нужно сделать, это прибавить 72 = 49 для получения 37 249.

Теперь попробуем возвести в квадрат 706:

 

 

 

Округление «вниз» на 6 для получения 700 требует от нас округления «вверх» на 6 для получения 712. Так как 712 х 7 = 4984

(простая задача типа «3-на-1»), 712 х 700 = 498 400. После

прибавления 62  = 36, вы получаете 498 436.

Последние примеры не являются до ужаса тяжеленными, потому что не включают себя сложения как такового. Более того, вы знаете ответы для 62 и 72 наизусть. Возводить в квадрат число, которое дальше от кратного 100 более трудное дельце.  Попробуйте свои силы с 3142:

 

 

 

В этом примере на возведение в квадрат трёхзначного числа опуститесь  на  14  до  300  и  поднимитесь  на  14  до  328.  Затем

перемножьте 328 х 3 = 984. Добавьте два 0 для получения 98 400. Затем прибавьте квадрат 14. Если 142 = 196 мгновенно приходит вам на ум (благодаря памяти или вычислениям), то вы в хорошей форме. Просто сложите 98 400 + 196 для получения 98 596. Если вам нужно время для подсчёта 142, повторите число 98 400 для себя несколько раз, прежде чем продолжить. (иначе, вы можете вычислить

142  = 196 и забыть, к какому числу нужно это прибавить)

Чем дальше вы от кратного 100, тем сложнее становится возведение в квадрат трёхзначного числа. Попробуйте 5292:

 

Если у вас есть аудитория, которую вы бы хотели впечатлить, вы можете произнести вслух «279 000», прежде чем рассчитаете 292. Но такое не «прокатит» для каждой задачи. Например, попытайтесь возвести в квадрат 636:

 

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, я прав? Ключ в том, чтобы повторять 403 200 самому себе несколько раз. Затем возвести в квадрат привычным способом 36, дабы получить 1296. Сложная часть наступает, когда необходимо прибавить 1296 к 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и это приведёт вас к ответу 404

496. Даю вам слово, что как только вы получше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трёхзначными станут легче.

Вот ещё более трудный пример, 8632:

 

 

 

Первая проблема - принятие решения о том, какие числа перемножать. Несомненно, одно из чисел будет 900, а другое 800>. Но какое именно? Вы можете рассчитать это двумя способами:

◆ Сложный способ: разница между 863 и 900 будет 37

(дополнение 63). Вычтите 37 из 863 для получения 826.

◆ Лёгкий способ: удвойте число 63 для получения 126 и возьмите последние две цифры, которые дадут вам 826.

Вот как работает лёгкий способ. Потому что оба числа на одинаковом расстоянии от 863, их сумма должна выглядеть как удвоенное число 863, или 1726. Одно из чисел 900, значит другое будет 826.

После вы проводите следующие вычисления:

 

 

 

Попробуйте свои силы на возведении в квадрат 359, пока что самой трудной задаче:

 

Для получения 318, либо отнимите 41 (дополнение 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление 412, или 1681, даст вам 128 881. Вот так так! Они не становятся намного сложнее этого! Если вы всё сделали правильно с первого раза, низкий вам поклон!

Давайте завершим этот раздел большой задачкой, которую легко решить, 9872:

 

 

Упражнение: Возведение в квадрат трёхзначных чисел

Что за дверью номер 1?

Математическая банальность 1991 года, которая сделала всех вне себя от ярости, была статьёй Мэрилин Вос Савант (женщина, зарегистрированная Книгой Рекордов Гиннесса как человек с самым высоким в мире IQ) в журнале

«Parade». Данный парадокс стали известен как « проблема Монти Холла », и он выглядит следующим образом.

Вы участник « Давайте совершать сделки » (Let’s Make a Deal). Монти Холл даёт вам возможность выбрать одну из трёх дверей: за одной из этих дверей большой приз, за двумя другими - козы. Вы выбираете Дверь № 2. Но прежде чем Монти показывает приз, который вы выбрали, он показывает вам то, что вы не выбрали за Дверью № 3. Это коза. Теперь, в своей дразнящей манере, Монти предоставляет вам другой выбор: вы хотите продолжить с Дверью № 2 или вымхотите рискнуть шансом увидеть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается показать место, где отсутствует главный приз, то он все г да будет открывать одну из « утешительных дверей ». Это оставляет нас с двумя дверями: одна с большим призом, а другая с утешением. Сейчас шансы 50-50 для вашего выбора, не так ли?

Неверно! Шансы, что вы правильно выбрали в первый раз остаются 1 к 3. Вероятность того, что большой приз стоит за другой двери увеличивается до 2 к 3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.

Таким образом, путем изменения дверей, вы удвоите шансы на выигрыш! ( задача предполагает, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать это, что он всегда будет показывать « невыигрышную » дверь и что, когда ваш первый выбор является правильным, он будет выбирать

« невыигрышную » дверь наугад ) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. И после вашего выбора он раскрывает восемь других « невыигрышных » дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, подскажут вам поменять дверь. Люди путают эту проблему с вариантами: если Монти Холл не знает, где главный приз, и раскрывает Дверь № 3, которая, как оказалось, содержит козу ( хотя это мог бы быть и приз ), то Дверь № 1 будет иметь 50- ти процентный шанс быть правильной. Данный результат настоль ко противоречит здравому смыслу, что Мэрилин Вос Савант получила груды писем ( многие от ученых и даже математиков ), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Все они были неправы.

Возведение в куб

Мы закончим эту главу новым методом для возведения в куб двузначных чисел. (Воскресите в памяти тот факт, что куб числа - это число, умноженное на себя дважды. Например, 5 в кубе - обозначаемое 53 — будет равно 5 х 5 х 5 = 125) Как вы убедитесь сами, это не намного труднее, чем умножение двузначных чисел. Метод основан на алгебраическом наблюдении, которое выявило, что

 

 

где d - любое число. Как и при возведении в квадрат двузначных чисел, я выбираю в качестве d так, чтобы оно было как можно ближе к кратному десяти. Например, когда возвожу в квадрат 13, то d = 3, а результате чего:

 

 

 

имеем

Так как 13 х 16 = 13 х 4 х 4 = 52 х 4 = 208, и 9 х 13 = 117, то мы

 

 

Как на счёт куба 35? Задавая d = 5, мы получаем

 

 

 

Так как 30 х 35 х 40 = 30 х 1400 = 42 000 и 35 х 5 х 5 = 175 х 5 =

875, мы получаем

 

По ходу возведения 49 в куб, мы задаём d = 1 с целью округления до 50. Вот:

 

 

Мы можем решить 48 х 49 с использованием метода факторинга, но  для  задач  такого  типа  я  предпочитаю  использовать  метод

«совместной близости», который будет описан в Главе 8. (Можете забежать вперёд и взглянуть на него уже сейчас, если хотите! ) Используя этот метод, мы получаем 48 х 49 = (50 х 47) + (1 х 2) = 2352. Умножив это число на 50, мы получаем 117 600 и вследствие этого

 

А вот задачка покрупнее. Попробуйте возвести в куб 92.

 

 

 

Если вы можете быстро возводить в квадрат двузначные числа, значит вы сможете решить 92 х 94 = 932 - 1 = 8648, или вы могли бы использовать метод «совмесной близости», следствие которого 92 х 94

= (90 х 96) + (2 х 4) = 8648. Умножив это число на 9 (как описано в

начале Главы 8), мы получим 9 х (8600 + 48) = 77 400 + 432 = 77 832, и,

следовательно, 90 х 92 х 94 = 778 320. Так как 4 х 92 = 368, то мы получаем

 

 

 

Отметим, что при использовании метода «совместной близости» для задач на умножение, возникающих при возведении в куб трёхзначного числа, малое произведение, которое нужно прибавить (в

зависимоти от того, равняется ли d = 1, 2, 3, 4, или 5), будет 1 х 2 = 2, 2

х 4 = 8, 3 х 6 = 18, 4 х 8 = 32 либо 5 х 10 = 50. Давайте закончим с кубом

96.

 

 

Произведение 92 х 96 = 8832 может быть посчитано множеством разных способов. Дабы отпраздновать окончание данной Главы, давайте используем некоторые из них. Я начну с самого сложного, на мой взгляд, а закончу наилегчайшим. По результатам метода сложения (90 + 2) х 96 = 8640 + 192 = 8832; по результатам метода вычитания 92 х

(100 - 4) = 9200 - 368 = 8832; по результатам метода факторинга 92 х 6 х

4 х 4 = 552 х 4 х 4 = 2208 х 4 = 8832; по результатам возведения в

квадрат 942  - 22  = 8836 - 4 = 8832; по результатам метода совмесной

близости с основой в виде 90, (90 х 98) + (2 х 6) = 8820 + 12 = 8832; и по результатам метода совмесной близости с основой в виде 100, (100 х 88) + (-8 х -4) = 8800 + 32 = 8832.

Произведение 42 х 96 = 1536 может быть так же посчитано несколькими способами, такими как 96 х 4 х 4 = 384 х 4 = 1536 или 16 х (100 -

4) = 1600 - 64 = 1536. И наконец, так как 8832 х 100 = 883 200, мы имеем

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: