Методические указания по изучению учебного материала

Математика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и задания для выполнения КОНТРОЛЬНЫх работ для студентов, обучающихся по заочной форме специальности

Переработка нефти и газа

 

 

2017 г.

Рассмотрена

на заседании цикловой.методической екомиссии естественнонаучных и информационных  дисциплин.

Протокол № ____ от_________2017г.

Председатель   цикловой методической комиссии  

_____________Хамидуллина С. М

 

Методические указания составлены в соответствии с требованиями ФГОС СПО по специальности  18.02.09 Переработка нефти и газа

Утверждаю

Заместитель директора по УВР

 

 

__________ Г.А. Бикташева

 

«____» _____________2017г    

 

 

Заместитель директора

учебной работе

 

__________ Г.

 

«____» _________________

 

Автор:

Ягаффарова Д.У., преподаватель ГБПОУ Салаватский индустриальный колледж

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение                                                                                               4

1. Методические указания по изучению учебного материала          5

2. Задания для выполнения контрольной работы                             10

3. Краткие теоретические сведения                                                              16

4. Список вопросов к зачету                                                               23

5. Примерные практические задания к зачету                                   25

6. Рекомендуемая литература                                                             26

 

Введение

 

Методические указания и задания для выполнения контрольных работ для студентов, обучающихся по заочной форме по специальности 18.02.09 «Переработка нефти и газа» по учебной дисциплине " Математика" предназначены для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по данной специальности.

Методические указания и задания для выполнения контрольных работ предназначены для оказания помощи студентам-заочникам в организации их самостоятельной работы над изучением учебного материала и выполнению практических и контрольной работ. Даны как методические указания так и разъяснения по выполнению контрольной работы.

Учебная дисциплина " Математика" является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения дисциплин и модулей профессионального цикла.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- выполнять необходимые измерения и связанные с ними расчеты;

- вычислять площади и объемы деталей строительных конструкций, объемы земляных работ;

- применять математические методы для решения профессиональных задач

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

- основные понятия о математическом синтезе и анализе, дискретной математики, теории вероятности и математической статистики;

- основные формулы для вычисления площадей фигур и объемов тел, используемых в строительстве

Усвоение программного материала дисциплины складывается из:

а) самостоятельного и аудиторного изучения материала по рекомендуемой литературе и конспектам;

б) выполнения контрольной работы;

в) выполнения практических работ.

       Основным методом изучения программного материала является самостоятельная работа студентов по рекомендуемой литературе в соответствии с методическими указаниями.

       Для закрепления теоретических знаний и приобретения необходимых умений программой дисциплины предусматриваются практические работы, которые следует проводить после изучения соответствующей темы.

       Обзорные и практические занятия проводятся в период экзаменационной сессии (а также в межсессионный период) с целью систематизировать, расширить и закрепить полученные знания и ответить на возникшие вопросы.

Методические указания по изучению учебного материала

Раздел 1

Математический анализ

 

Темы 1.1, 1.2

Числовые последовательности и функции.

 Производные и дифференциалы функций.

 

При изучении данных тем необходимо усвоить понятие функции и её свойства, которое важно при вычислении производной функции.

Понятие производной функции одно из важных понятий в математическом анализе. Для умения решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений необходимо знать правила дифференцирования, таблицу дифференциалов и правило производной сложной функции. Также важно знать  геометрический и физический смысл производной.

Вопросы для самоконтроля:

1. Перечислите виды основных элементарных функций, запишите их математические выражения, изобразите их графически.

2. Какие существуют способы заданий функций? Перечислите преимущества и недостатки каждого.

3. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.

4. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке?

5. Какая функция называется сложной? Приведите примеры.

6. Перечислите виды основных элементарных функций, запишите их математические выражения и их производные.

7. Сформулировать физический и геометрический смысл производной.

Литература [О 1 c. 272-274; Д 5 с. 190; 179, Д 9c. 94-100]

 

Тема 1.3

Применение производной. Исследование функций.

 

Для решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений площадей фигур и объёмов тел, необходимо применять элементы математического анализа, а именно понятие производная и дифференциал первого и второго порядка. Такой метод помогает анализировать и синтезировать над необходимыми геометрическими величинами.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется точками максимума и минимума функции? Перечислите порядок отыскания этих точек.

2. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке?

3. Как используется вторая производная при определении наибольшего и наименьшего значений?

Литература [О 1 c. 294-296; Д 9c. 111]

 

Темы 1.4, 1.5

Неопределенный и определённый интегралы. Основные методы интегрирования

Приложение интегралов для решения задач

Понятие первообразной функции одно из важных понятий в математическом анализе. Для решения прикладных задач с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений необходимо знать понятие первообразной, определённого и неопределённого интегралов. Для применения данной темы нужно освоить свойства неопределённого и определённого интегралов, методы интегрирования и таблицу интегралов.

Изучение и усвоение данной темы способствует решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений, а также вычислять значения геометрических величин: площадей и объёмов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Что называется неопределенным интегралом?

4. Как называются все элементы равенства ?

5. Что такое определенный интеграл?

6. Сформулируйте основные свойства неопределенного и определенного интеграла.

7. Дайте определение криволинейной трапеции. Запишите формулу вычисления площади криволинейной трапеции.

8. Тело вращения. Запишите формулу вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла.

9. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решать с помощью определенного интеграла.

Литература [О 1 c. 309-335; Д 5 с. 256; 296, Д 9c. 188, 205]

 

Тема 1.6, 1.7, 1.8

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Применение дифференциальных уравнений при решении задач

 

Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических понятий, наиболее широко применяемых при решении практических задач. Причина этого состоит в том, что при исследовании физических, химических процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом составляются дифференциальные уравнения. Для решения различных задач такого типа необходимо освоить виды дифференциальных уравнений, способы решений и уметь применять их при решении прикладных задач.

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем отличительная особенность дифференциальных уравнений от уравнений алгебраических?
2. Какое уравнение называется дифференциальным?
3. Что значит решить дифференциальное уравнение?
4. Перечислите этапы решения задач с помощью ДУ
5. Какое решение называется общим решением?
6. Какое решение называется частным решением?

Литература [О 1 c. 309-335; Д 5 с. 256; 296, Д 9c. 188, 205]

Раздел 2

Тема 2.1.

Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

В данной теме достаточно рассмотреть некоторые элементыдискретной математики, то есть математики, прежде всего изучающей конечные множества и различные структуры на них. Изученные в этой теме понятия способствуют лучше понять элементы комбинаторики и соответственно теории вероятности.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Дать понятие множеству.

2. Дать понятие отношению.

3. Дать понятие графу.

4. Назовите действия над множествами.

5. Что называется множеством? Перечислите способы задания множеств.

6. Что называется пересечением множеств? Приведите примеры.

7. Что называется объединением множеств? Приведите примеры.

8. Что называется разностью множеств? Приведите примеры.

9. С помощью кругов Эйлера изобразите отношения между множествами.

10. Что называется декартовым произведением множеств?

11. Перечислите виды отношений на множестве, их свойства и постройте их графы.

12. Каким образом определяется граф?

13. Что является путем в графе?

14. Как определяется такой вид графа, как дерево?

15. Какими способами можно задать граф?

 

Раздел 3

Тема 3.1, 3.2.

Основные понятия комбинаторики.Бином Ньютона.

Виды событий. Вероятность событий.

 

Перед разбором основных понятий комбинаторики необходимо разобрать понятие факториала. Уметь выполнять преобразования с факториалами. Для освоения понятий комбинаций: перестановки, размещения, сочетания нужно знать вывод формул для определения этих элементов. Элементы комбинаторики необходимы при решении задач в теории вероятности.

В данной теме необходимо усвоить виды событий. Так как при определении вероятности очень важно знать различия между событиями, для которых по разным теоремам определяется вероятность. Важно уметь определять вероятность события по классической формуле.

Вопросы для самоконтроля

1. Записать формулу перестановки.

2. Записать формулу размещения.

3. Записать формулу сочетания.

4. Чему равен п факториал?

5. Сформулировать виды событий.

6. Записать формулу классической вероятности.

7. Записать формулу геометрической вероятности.

8. Записать формулу статистической вероятности.

Литература [О 1 c. 447-460, Д 9c. 257, 260]

 

Тема 3.3

Теоремы теории вероятностей.

 

При изучении данной темы необходимо правильное применение элементов комбинаторики, а также уметь применить формулы различных вероятностей. При изучении теорем теории вероятности и их следствия необходимо повторить виды событий и уметь применять соответствующие теоремы.

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях используется формула полной вероятности? Какие события называются гипотезами?

2. Записать формулу полной вероятности.

3. Записать формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

4. Выберете формулу, которую необходимо использовать при решении задачи, опишите  события, вычисления не нужны. Имеется две урны. В первой- 4 белых и 6 черных шаров, во второй- 2 белых и 3 черных шара. Из наугад выбранной урны взяли один шар. Какова вероятность что: а) он белый; б) белый шар оказался из первой урны?

5. Опишите схему повторных испытаний и запишите формулу Бернулли.

6. Описываются ли формулой Бернулли следующие испытания: а) кубик подбрасывают три раза; б) монета подбрасывается 10 раз; в) из колоды карт вынимают по одной 1.с возвращением, 2.без возвращения?

Литература [О 1 c. 461-468, Д 9c. 262-264]

 

Тема 3.4

Случайная величина. Числовые характеристики случайных величин

 

При изучении данной темы необходимо правильное применение теорем и формул вероятности, изученных в предыдущей теме. При рассмотрении функции и графика непрерывной случайной величины важно правильное построение графика распределения. Изучение числовых характеристик даёт большую картину о случайных величинах.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулировать определение дискретной и непрерывной случайных величин.

2. Что такое плотность распределения вероятностей?

3. Каким свойством обладает плотность распределения вероятностей?

4. Как связаны между собой плотность распределения и интегральная функция распределения?

5. Перечислить свойства интегральной функции.

6. Дать определения числовым характеристикам СВ.

Литература [О 1 c. 471-476]

Раздел 4

Основные численные методы

Тема 4.1 Численное интегрирование и дифференцирование

 

На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят приближенными методами: формулами прямоугольников, формулами трапеций. Изучение этих методов помогает лучше понять процесс интегрирования и дифференцирования.

 

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях применяются численные методы?
2. Какие численные методы вам знакомы?
3. Среди формул прямоугольников и трапеций, покажите какая точнее.
4. Вычислить определённый интеграл тремя способами: методом прямоугольников, трапеций и по формуле Ньютона-Лейбница.

Литература [О 1 c. 336-341]

 

Задания для выполнения контрольной работы

 

Общие методические указания

Контрольные работы должны выполняться в отдельной тетради на клетчатой бумаге. Работа, выполненная небрежно, будет возвращена студенту без проверки. На первой странице записать наименование предмета, номер контрольной работы, фамилию и инициалы, шифр, название учебно-консультационного пункта и адрес. В тетради оставляют поля шириной 4-5 см.

Условия всех задач писать полностью. Если требуется чертеж, то его выполняют карандашом, с помощью чертежных инструментов. При построении чертежа соблюдается масштаб.

Решение задачи или примера должно сопровождаться необходимыми вычислениями, формулами и пояснениями.

Если работа выполнена неудовлетворительно, то студент исправляет её и представляет вторично, или по указанию преподавателя выполняет другой вариант.

Работа, выполненная не по своему варианту, не засчитывается и возвращается без проверки.

2. Таблица выбора вариантов контрольной работы

       Выбор вопросов и заданий к контрольной работе определяется по фамилии, имени и отчеству учащегося, которые записываются в виде таблички, где номер буквы ФИО определяет номер задачи, а буква, по ниже приведенной таблице, номер вопроса.

Таблица выбора вариантов

 

Буквы ФИО	1	2	3	4	5	6	7
А, Б, В	1	11	21	31	41	51
Г, Д, Е, Ё	2	12	22	32	42	52
Ж, З, И, Й	3	13	23	33	43	53
К	4	14	24	34	44	54
Л, М	5	15	25	35	45	55
Н, О	6	16	26	36	46	56
П, Р	7	17	27	37	47	57
С, Т, У	8	18	28	38	48	58
Ф, Х, Ц, Ч	9	19	29	39	49	59
Ш, Щ, Ы, Ь, Ю, Я	10	20	30	40	50	60

 

И	В	А	Н	О	В
1	2	3	4	5	6	7
3	11	21	36	46	51	36

 

       Номера заданий будут следующие: буква И первая в фамилии, значит задание в первом столбце третьей строки- вопрос 3, для буквы В второй столбец первая строка - вопроса 11 и т.д. Седьмое задание берётся из четвёртого. В том случае, если фамилии одинаковые, то отсчет номеров вопросов производится в обратном порядке.

Задания для контрольной работы

Задание 1

Предел функции

Вычислить пределы:

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .       

3 а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) ;  г) .  

5. а) ; б) ;  в) ; г) .

6. а) ; б) ; в) ; г) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ; б) ;  в) ; г) .     

 

Задание 2

Производная функции

а) Найти производные функций одной переменной;

б) Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

11. а) ; б)

12. а) ; б)

13. а) ; б)

14. а) ; б)

15. а) ; б)

16. а) ; б)

17. а) ; б)

18. а) ;  б)

19. а) ;  б)

20. а) ;  б) .

 

Задание 3

 Приложение производной и дифференциала к решению задач.

21.а) Точка движется по закону . Найти величину скорости и ускорения в момент t=3 с, если путь измеряется в метрах.

б) Сторона квадрата равна 10 дм. Найти приближенное приращение его площади при увеличении стороны на 0, 1 дм.

22.а) Тело вращается вокруг оси по закону . Найти угловую скорость вращения в момент t=1 c; угловое ускорение в момент t.

б) Шар радиуса R=20 см был нагрет, в результате чего его объем увеличился на 40, 5p см³. Вычислить приближенно удлинение радиуса шара.

23.а) Определить скорость движения точки в конце третьей секунды, если путь, пройденный точкой в t секунд, выражается формулой  и измеряется в метрах.

б) Сторона куба, равная 0, 7 м, удлинилась на 5 см. На сколько при этом приближенно увеличится объем куба?

24.а) Температура тела Т изменяется в зависимости от времени t по закону . С какой скоростью нагревается это тело в момент t=4 c?

б) Шар радиуса R=15 дм был нагрет, в результате чего длина радиуса увеличилась на 1 см. Найти приближенное значение приращения объема шара.

25.а) Количество электричества, протекшее через проводник за t секунд, определяется по формуле . Найти силу тока в конце четвертой секунды.

б) В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием сторона основания равна 40 дм, а высота равна 20 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если сторону основания удлинить на 0, 2 см?

26.а) Тело движется по закону . Найти, в какие моменты времени скорости движения тела равны нулю?

б) Радиус основания конуса равен 20 дм, а высота равна 25 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если радиус основания увеличить на 0, 05 дм?

27.а) Угол поворота шкива определяется из уравнения , где t время в секундах. Найти среднюю угловую скорость в промежутке времени от t=4 до t=6 и угловую скорость в момент t=6.

б) Куб со стороной а=20 см был нагрет, в результате чего сторона его увеличилась на 0, 01 см. найти приближенное значение приращения объема куба.

28.а) Тело вращается вокруг оси, причем закон изменения угла j в зависимости от времени t определяется уравнением . Найти угловую скорость вращения тела в момент t=3.

б) Сторону куба, равную 0, 6 м, удлинили на 1 см. На сколько при этом приближенно увеличится объем куба?

29.а) Тело движется по закону . Найти максимальную скорость движения тела.

б) в конусе радиус основания равен 25 дм, а высота его равна 2 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если радиус основания удлинить на 0, 1 см?

30.а) Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v₀ м/с, движется по закону , где время t – в секундах, а путь s – в метрах. Найти скорость движения и ускорение в момент t; в конце третьей секунды, если v₀=100 м/с.

б) Шар радиуса R=20 дм был нагрет, в результате чего длина радиуса увеличилась на 0, 3 см. Найти приближенное значение приращения объема шара.

Задание 4

Интегральное исчисление

Найти или вычислить интегралы:

31. а) ;                  б) ;                  в)

32. а)    ;           б) ;                           в)

33. а) ;                      б) ;           в)

34. а) ;                     б) ;               в)     

35. а) ;                           б) ;                 в)

36. а) ;                          б) ;             в)     

37. а) ;                   б) ;                в)         

38. а) ;                б) ; в)   

39. а) ;                           б) ;              в)     

40. а) ;                        б) ;                  в) .

Задание 5

 

Задание 6

Задание 7

Численное интегрирование

Вычислить интеграл, используя задание 4 б):

а) по формуле Ньютона-Лейбница,

б) по формуле прямоугольников, учитывая п =5;

в) по формуле трапеции, п =5.

Рассчитать погрешность расчетов для заданий б) и в) относительно расчетов задания а).

 

Раздел 1

Математический анализ

1. Определение предела функции (по Коши): Число А называется пределом функции в точке х₀, если для любого существует такое > 0, что из неравенства | x - x ₀ |<  следует неравенство | f ( x )- A |< .

2. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел: , где v= v( x), v( x) при x .

Пример:

Второй замечательный предел: , где v = v ( x ) и при x v ( x ) .

Пользуясь связью бесконечно большой и бесконечно малой второй замечательный предел примет вид На практике удобно использовать пределы:

Пример:

3. Неопределенности вида

Для раскрытия неопределенности вида  необходимо выполнить преобразование, позволяющее избавиться от выражения в знаменателе, значение которого при х x0 равно 0.

Пример:

Воспользоваться теоремами о пределах нельзя, так как получаем неопределенность вида . Выполним преобразование функции: умножим числитель и знаменатель на выражение 

Получим предел: =-1

Для раскрытия неопределенности вида  пользуются тем, что предел бесконечно малой равен 0. Для получения бесконечно малой, делят числитель и знаменатель на максимальную степень переменной в знаменателе.

Пример:

Определение производной.

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю:

.

Для производной функции у = f(x) употребляются обозначения:  или .

Функция f(x), имеющая производную в каждой некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Производная сложной функции.

Теорема: Если функция x=  имеет производную в точке t₀, а функция f(x) имеет производную в точке x₀= , то сложная функция имеет производную в точке t₀, определяемую по формуле

Пример: Найти производную функции y= ln⁵sinx.

Сначала дифференцируем степенную функцию, затем -логарифмическую, затем- тригонометрическую. Полученные производные перемножаем.

х

Область определения функции двух действительных переменных.

Переменная Z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определённое значение Z.

 Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых x и y, выражается формулой S=xy, т.е. значения S определяется совокупностью значений x и y.

Множество D пар значений (x, y), которые могут принимать переменные х и у, называется областью определения функции z= f(x, y). х и у - аргументы, z - значение функции.

Символически функция двух переменных обозначается так:

Z=f(x, y), Z=F(x, y), Z=j(x, y), Z=Z(x, y) и т. д.

Пример 2. Найти область определения функции z = ln (9 - x² - y² ) и изобразить на плоскости ху.

Так как существует логарифм только положительных чисел, то

у

9- x² -y²> 0, отсюда x² + y² < 9 - это круг радиуса R=3 без ограничивающей его окружности. выполним рисунок:

 

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными).

Частными производными второго порядка от функции Z=f(x, y) называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Пример 2.  найти

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих переменных, т.е.

Учитывая, что для функций f(x, y)=x, f(x, y)=y: df=dx= x, df=dy= y, можно записать формулу в виде:

Практика показывает, что часто приходится по заданной производной или по заданному дифференциалу функции находить функцию, от которой была взята производная и дифференциал, т.е. выполнять обратную задачу дифференцированию – интегрирование.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т.е.

F ¢ (x)=f(x), х Î (a; b)

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом

, где

f(x) – подынтегральная функция

f(x)dx – подынтегральное выражение

c – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2 °. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

, где m=const

3°. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

.

4°. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

5°. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

 или

12Следующая ⇒

Поделиться: