Основы дискретной математики

Тема 2.1.

Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

В данной теме достаточно рассмотреть некоторые элементыдискретной математики, то есть математики, прежде всего изучающей конечные множества и различные структуры на них. Изученные в этой теме понятия способствуют лучше понять элементы комбинаторики и соответственно теории вероятности.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать понятие множеству.

2. Дать понятие отношению.

3. Дать понятие графу.

4. Назовите действия над множествами.

5. Что называется множеством? Перечислите способы задания множеств.

6. Что называется пересечением множеств? Приведите примеры.

7. Что называется объединением множеств? Приведите примеры.

8. Что называется разностью множеств? Приведите примеры.

9. С помощью кругов Эйлера изобразите отношения между множествами.

10. Что называется декартовым произведением множеств?

11. Перечислите виды отношений на множестве, их свойства и постройте их графы.

12. Каким образом определяется граф?

13. Что является путем в графе?

14. Как определяется такой вид графа, как дерево?

15. Какими способами можно задать граф?

Раздел 3

Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 3.1, 3.2.

Основные понятия комбинаторики.Бином Ньютона.

Виды событий. Вероятность событий.

Перед разбором основных понятий комбинаторики необходимо разобрать понятие факториала. Уметь выполнять преобразования с факториалами. Для освоения понятий комбинаций: перестановки, размещения, сочетания нужно знать вывод формул для определения этих элементов. Элементы комбинаторики необходимы при решении задач в теории вероятности.

В данной теме необходимо усвоить виды событий. Так как при определении вероятности очень важно знать различия между событиями, для которых по разным теоремам определяется вероятность. Важно уметь определять вероятность события по классической формуле.

Вопросы для самоконтроля

1. Записать формулу перестановки.

2. Записать формулу размещения.

3. Записать формулу сочетания.

4. Чему равен п факториал?

5. Сформулировать виды событий.

6. Записать формулу классической вероятности.

7. Записать формулу геометрической вероятности.

8. Записать формулу статистической вероятности.

Литература [О 1 c. 447-460, Д 9c. 257, 260]

Тема 3.3

Теоремы теории вероятностей.

При изучении данной темы необходимо правильное применение элементов комбинаторики, а также уметь применить формулы различных вероятностей. При изучении теорем теории вероятности и их следствия необходимо повторить виды событий и уметь применять соответствующие теоремы.

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях используется формула полной вероятности? Какие события называются гипотезами?

2. Записать формулу полной вероятности.

3. Записать формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

4. Выберете формулу, которую необходимо использовать при решении задачи, опишите события, вычисления не нужны. Имеется две урны. В первой- 4 белых и 6 черных шаров, во второй- 2 белых и 3 черных шара. Из наугад выбранной урны взяли один шар. Какова вероятность что: а) он белый; б) белый шар оказался из первой урны?

5. Опишите схему повторных испытаний и запишите формулу Бернулли.

6. Описываются ли формулой Бернулли следующие испытания: а) кубик подбрасывают три раза; б) монета подбрасывается 10 раз; в) из колоды карт вынимают по одной 1.с возвращением, 2.без возвращения?

Литература [О 1 c. 461-468, Д 9c. 262-264]

Тема 3.4

Случайная величина. Числовые характеристики случайных величин

При изучении данной темы необходимо правильное применение теорем и формул вероятности, изученных в предыдущей теме. При рассмотрении функции и графика непрерывной случайной величины важно правильное построение графика распределения. Изучение числовых характеристик даёт большую картину о случайных величинах.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулировать определение дискретной и непрерывной случайных величин.

2. Что такое плотность распределения вероятностей?

3. Каким свойством обладает плотность распределения вероятностей?

4. Как связаны между собой плотность распределения и интегральная функция распределения?

5. Перечислить свойства интегральной функции.

6. Дать определения числовым характеристикам СВ.

Литература [О 1 c. 471-476]

Раздел 4

Основные численные методы

Тема 4.1 Численное интегрирование и дифференцирование

На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят приближенными методами: формулами прямоугольников, формулами трапеций. Изучение этих методов помогает лучше понять процесс интегрирования и дифференцирования.

Вопросы для самоконтроля

В каких случаях применяются численные методы?
Какие численные методы вам знакомы?
Среди формул прямоугольников и трапеций, покажите какая точнее.
Вычислить определённый интеграл тремя способами: методом прямоугольников, трапеций и по формуле Ньютона-Лейбница.

Литература [О 1 c. 336-341]

Задания для выполнения контрольной работы

Общие методические указания

Контрольные работы должны выполняться в отдельной тетради на клетчатой бумаге. Работа, выполненная небрежно, будет возвращена студенту без проверки. На первой странице записать наименование предмета, номер контрольной работы, фамилию и инициалы, шифр, название учебно-консультационного пункта и адрес. В тетради оставляют поля шириной 4-5 см.

Условия всех задач писать полностью. Если требуется чертеж, то его выполняют карандашом, с помощью чертежных инструментов. При построении чертежа соблюдается масштаб.

Решение задачи или примера должно сопровождаться необходимыми вычислениями, формулами и пояснениями.

Если работа выполнена неудовлетворительно, то студент исправляет её и представляет вторично, или по указанию преподавателя выполняет другой вариант.

Работа, выполненная не по своему варианту, не засчитывается и возвращается без проверки.

2. Таблица выбора вариантов контрольной работы

Выбор вопросов и заданий к контрольной работе определяется по фамилии, имени и отчеству учащегося, которые записываются в виде таблички, где номер буквы ФИО определяет номер задачи, а буква, по ниже приведенной таблице, номер вопроса.

Таблица выбора вариантов

Буквы ФИО	1	2	3	4	5	6	7
А, Б, В	1	11	21	31	41	51
Г, Д, Е, Ё	2	12	22	32	42	52
Ж, З, И, Й	3	13	23	33	43	53
К	4	14	24	34	44	54
Л, М	5	15	25	35	45	55
Н, О	6	16	26	36	46	56
П, Р	7	17	27	37	47	57
С, Т, У	8	18	28	38	48	58
Ф, Х, Ц, Ч	9	19	29	39	49	59
Ш, Щ, Ы, Ь, Ю, Я	10	20	30	40	50	60

И	В	А	Н	О	В
1	2	3	4	5	6	7
3	11	21	36	46	51	36

Номера заданий будут следующие: буква И первая в фамилии, значит задание в первом столбце третьей строки- вопрос 3, для буквы В второй столбец первая строка - вопроса 11 и т.д. Седьмое задание берётся из четвёртого. В том случае, если фамилии одинаковые, то отсчет номеров вопросов производится в обратном порядке.

Задания для контрольной работы

Задание 1

Предел функции

Вычислить пределы:

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3 а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) ; г) .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. а) ; б) ; в) ; г) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 2

Производная функции

а) Найти производные функций одной переменной;

б) Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

11. а) ; б)

12. а) ; б)

13. а) ; б)

14. а) ; б)

15. а) ; б)

16. а) ; б)

17. а) ; б)

18. а) ; б)

19. а) ; б)

20. а) ; б) .

Задание 3

Приложение производной и дифференциала к решению задач.

21.а) Точка движется по закону . Найти величину скорости и ускорения в момент t=3 с, если путь измеряется в метрах.

б) Сторона квадрата равна 10 дм. Найти приближенное приращение его площади при увеличении стороны на 0, 1 дм.

22.а) Тело вращается вокруг оси по закону . Найти угловую скорость вращения в момент t=1 c; угловое ускорение в момент t.

б) Шар радиуса R=20 см был нагрет, в результате чего его объем увеличился на 40, 5p см³. Вычислить приближенно удлинение радиуса шара.

23.а) Определить скорость движения точки в конце третьей секунды, если путь, пройденный точкой в t секунд, выражается формулой и измеряется в метрах.

б) Сторона куба, равная 0, 7 м, удлинилась на 5 см. На сколько при этом приближенно увеличится объем куба?

24.а) Температура тела Т изменяется в зависимости от времени t по закону . С какой скоростью нагревается это тело в момент t=4 c?

б) Шар радиуса R=15 дм был нагрет, в результате чего длина радиуса увеличилась на 1 см. Найти приближенное значение приращения объема шара.

25.а) Количество электричества, протекшее через проводник за t секунд, определяется по формуле . Найти силу тока в конце четвертой секунды.

б) В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием сторона основания равна 40 дм, а высота равна 20 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если сторону основания удлинить на 0, 2 см?

26.а) Тело движется по закону . Найти, в какие моменты времени скорости движения тела равны нулю?

б) Радиус основания конуса равен 20 дм, а высота равна 25 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если радиус основания увеличить на 0, 05 дм?

27.а) Угол поворота шкива определяется из уравнения , где t время в секундах. Найти среднюю угловую скорость в промежутке времени от t=4 до t=6 и угловую скорость в момент t=6.

б) Куб со стороной а=20 см был нагрет, в результате чего сторона его увеличилась на 0, 01 см. найти приближенное значение приращения объема куба.

28.а) Тело вращается вокруг оси, причем закон изменения угла j в зависимости от времени t определяется уравнением . Найти угловую скорость вращения тела в момент t=3.

б) Сторону куба, равную 0, 6 м, удлинили на 1 см. На сколько при этом приближенно увеличится объем куба?

29.а) Тело движется по закону . Найти максимальную скорость движения тела.

б) в конусе радиус основания равен 25 дм, а высота его равна 2 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если радиус основания удлинить на 0, 1 см?

30.а) Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v₀ м/с, движется по закону , где время t – в секундах, а путь s – в метрах. Найти скорость движения и ускорение в момент t; в конце третьей секунды, если v₀=100 м/с.