Решение вырожденных систем линейных уравнений.

Если определитель матрицы  системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система противоречива, и решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

Задача 1.2. Решить систему уравнений

Решение. С помощью первого уравнения исключим переменную  из второго и третьего уравнений системы.

Получаем:

Исключим теперь с помощью второго уравнения системы переменную  из третьего уравнения.

В результате третье уравнение системы превращается в тождество , и остается только два уравнения:

Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для  и для ) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные ,  объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.

Отсюда:

Ответ: , где  - произвольные параметры.

 

Геометрия на плоскости.

       Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид

,

где  ¾ произвольная точка на прямой, а  – направляющий вектор. Если уравнение прямой записано в виде

,

то  – направляющий вектор, а  - вектор нормали (направленный по перпендикуляру к прямой). Нам потребуется еще формула деления отрезка пополам: если задан отрезок , и координаты точек ,  известны, то серединой отрезка  является точка

.

Задача 1.3. В треугольнике ABC с вершиной A(10, 7) известны уравнения высоты BB₁:

2x-y+37=0

и медианы CC₁:

8x+11y-162=0.

Написать уравнения всех сторон треугольника ABC.

 

                                                             C

 

 

                                                              

                               

                            B₁

                                                    

                                    

                                     

A(10, 7)                                                  

                                                    

                              C₁                              B

 

Решение. Проще всего написать уравнение стороны , поскольку мы знаем точку , через которую проходит прямая , и знаем направляющий вектор  (вектор нормали к высоте ). Следовательно, уравнение  имеет вид

Чтобы написать уравнение прямой , найдем сначала координаты точки . Обозначим эти координаты через . С одной стороны, точка лежит  на прямой , и, следовательно,

С другой стороны, поскольку  является серединой отрезка , то . Но  лежит на прямой , поэтому

Решая совместно систему уравнений

получаем

Итак, точка  имеет координаты , направляющий вектор прямой  равен . Уравнение прямой  имеет вид

Прежде чем написать уравнение прямой , найдем координаты точки . Она лежит на пересечении прямых и , поэтому ее координаты являются решением системы уравнений

За направляющий вектор прямой  можно взять вектор

,

а уравнение  запишется в виде

Аналитическая геометрия в пространстве.

Нам необходимо знать следующие три операции над векторами в трехмерном пространстве.

1) Скалярное произведение векторов:

где ,  – длины векторов  и , а  - угол между ними. В координатах: если , , то

2) Векторное произведение векторов:  есть вектор,

а) направленный по нормали к плоскости, натянутой на вектора , ;

б) имеющий длину, равную площади параллелограмма , построенного на векторах , ;

в) и, наконец, направление вектора  должно быть таким, что вращение от вектора  к вектору  внутри параллелограмма  будет осуществляться против часовой стрелки, если глядеть с конца стрелки вектора .

В координатах:

.

3) Смешанное произведение векторов:

В координатах:

Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что  есть объем параллелепипеда, построенного на векторах

 

Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:

где  - координаты произвольной точки прямой, а  есть произвольный направляющий вектор.

Имеется два типа уравнения плоскости в пространстве

       а) .

Здесь  - вектор нормали к плоскости, а  - координаты произвольной точки плоскости.

       б) ,

где ,  - любые два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, а , по-прежнему, произвольная точка плоскости.

 

Задача 1.4. В пирамиде ABCD с вершинами A(10, 7, 1), B(7, 10, 0), C(1, 10, 7), D(7, 1, 17) найти:

а) угол между ребрами AB и AD;

б) угол между ребром AD и плоскостью ABC;

в) площадь основания ABC;

г) объем пирамиды;

д) расстояние от вершины D до плоскости ABC.

Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.

Решение. а). Найдем векторы  и  в координатах. Напомним, что для этого следует из координат конца вектора вычесть координаты начала:

,

.

Чтобы найти угол между векторами , , вычислим скалярное произведение векторов  и  в координатах, затем найдем длины векторов и , и подставим полученные значения в формулу скалярного произведения. Получаем:

,

,

.

Подставляем в формулу скалярного произведения:

,

откуда , .

б) Угол между ребром AD и плоскостью ABC равен , где  - угол между ребром AD и нормалью к плоскости ABC. Начнем поэтому с вычисления нормали к плоскости ABC. В качестве вектора нормали можно взять векторное произведение векторов  и  (поскольку ). Вектор  в координатах имеет вид

.

Следовательно,

Обозначим для краткости . Теперь, как и в пункте а) вычислим скалярное произведение векторов  и , и с его помощью определим угол между векторами  и .

,

,

,

.

Следовательно, угол между ребром AD и плоскостью ABC равен .

в) Площадь основания ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  и . По второму свойству векторного произведения, длина вектора  как раз и равна площади этого параллелограмма. Следовательно,

.

г) Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Объем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного произведения . Имеем:

.

Заметим, однако, что нам нет необходимости заново вычислять этот определитель, поскольку он равен скалярному произведению векторов  и , а эта величина была найдена выше, в пункте б). Следовательно,

.

д) Расстояние от вершины D до плоскости ABС можно найти, используя формулу объема пирамиды

,

поскольку все величины в ней, кроме высоты  (которая и равна расстоянию от точки D до плоскости ABС), уже известны. Получаем:

.

В заключение, напишем уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.

Направляющий вектор высоты  равен (21, 27, 18). Высота  проходит через точку D(7, -1, 17). Следовательно, каноническое уравнение высоты имеет вид

.

Чтобы написать уравнение плоскости , воспользуемся уравнением . В качестве вектора  вновь можно использовать вектор нормали , а в качестве  – точку A(10, 7, 1). Получаем:

Задача полностью решена.

Математический анализ

Предел и производная.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: