Второй замечательный предел.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Справедлива формула

Задача 2.1.г. Вычислить .

Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида , где при . Для этого прибавим и вычтем 1 из :

Получаем:

Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение в пределе при на :

Осталось найти предел показателя степени:

Ответ:

Комбинация первого и второго замечательных пределов.

Задача 2.1.д. Вычислить .

Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида . Предел основания степени равен . Предел показателя степени равен . Неопределенность вида указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела в нашей формуле:

Теперь остается найти предел показателя степени. Делая замену переменной , получаем

Ответ: .

Особенность вида .

Задача 2.1.е. Вычислить

Решение. Чтобы свести данный предел к формуле первого замечательного предела, проведем следующее преобразование:

Мы воспользовались формулой

Поскольку

получаем

Остается сделать замену , откуда , , .

В результате получаем

Ответ: .

Производные.

Производной функции в точке называется предел

Наряду с обозначением для производной используется еще обозначение .

Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.

Рассмотрим дифференцирование степенной функции при некоторых .

Имеется два основных приема дифференцирования функций

1) Формуладифференцирования произведения и частного двух функций

2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)

Примеры дифференцирования сложной функции.

1^°)

2^°)

3^°)

4^°)

5^°)

6^°)

В задачах 2.2.а - 2.2.з для функции требуется найти производную .

Задача 2.2.а .

Задача 2.2.б .

Задача 2.2.в .

Задача 2.2.г .

Задача 2.2.д .

Решение. При дифференцировании этой функции удобно воспользоваться приемом, который называется логарифмическим дифференцированием. Прежде чем вычислять производную, найдем логарифм функции :

Теперь продифференцируем правую и левую часть полученной формулы, а затем приравняем соответствующие производные. Имеем:

;

Отсюда,

Задача 2.2.е .

Решение. Здесь также удобно воспользоваться приемом логарифмического дифференцирования.

;

откуда следует, что

Задача 2.2.ж , .

Решение. Функция задана в параметрической форме, поэтому следует воспользоваться формулой для параметрической производной:

Получаем:

откуда

Задача 2.2.з .

Решение. Функция задана неявным уравнением. Чтобы найти производную , продифференцируем тождество . Получаем:

Перегруппируем слагаемые, выделяя члены, содержащие производную :

откуда следует, что

Непрерывность и типы разрыва функций.

Имеется три типа разрывов функций.

а) Устранимый разрыв, когда существует предел функции в точке , но он не равен значению функции в предельной точке

б) Разрыв первого рода, когда в точке существует предел слева и предел справа, однако они не равны между собой

в) Все остальные виды разрыва называются разрывами второго рода.

Задачи 2.3.а - 2.3. б. Найти точки разрыва функций

и определить тип разрыва. Сделать схематический чертеж.

Решение. Функция может иметь разрыв в точках , . В точке в пределе имеет место соотношение , то есть функция становится неограниченной в окрестности . Поскольку при , и при , то функция стремится к при , и к при .