Тема 1.1. Элементы математической логики

Задание 1. Записать утверждение: «функция y = f ( x ) –ограничена» в символьном виде. Построить его отрицание

Задание 2. Доказать тождество

Тема 1.2 Элементы теории множеств

Задание 1. Пусть , , . Найти

а) ; б) , в) .

Задание 2. Пусть  и пусть . Выписать множество пар элементов, из которых состоит следующее бинарное отношение :

а)  означает что  - целое число; б)  означает, что ;

в)  означает, что ;       г)  означает, что .

.

Тема 1.3. Элементы теории графов

Задание 1. Граф задан матрицей смежности .

Построить граф, найти для него матрицу инциденций.

Тема 2.1. Алгебра матриц. Линейные системы уравнений

Задание 1.Для заданных матрицА, В и С найти матрицу D:

, , , .

Задание 2.Вычислить определители:

а) ;    б) ;                  в) .

 

Задание 3. Для заданной матрицы найти матрицу

Задание 4. Решить систему уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

.

 

 

Тема 2.2. Векторная алгебра.

Задание 1. Найти угол в треугольнике  ,

.

 

Задание 2.Найти площадь треугольника , если

.

 

Задание 3. Лежат ли точки  в одной плоскости, если

Тема 2.3. Аналитическая геометрия

Задание 1. Найти проекцию точки Р(2, –5, 7) на прямую, проходящую через точки М1(4, 5, 6) и М2(–2, –17, –8).

Тема 3.1. Предел и непрерывность функции

Задание 1.Вычислить пределы.

 а) ; б) ;

в) ;    г) .

Тема 3.2. Производная функции и ее свойства

Задание 1.Найти производные функций:        

а) ;        б) ;      в) ;          

г) ; д) ;             е) .

Задание 2.Найти  , если

Задание 3. Провести полное исследование функций

и построить графики функций:

а) ; б) .

6.2. Задания и методические указания по организации самостоятельной работы студента

Расчетно-графические работы

Варианты расчетно-графической работы

Вариант №1

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Три стороны треугольника АВС заданы уравнениями:

(АВ): х-3у-23=0; (ВС): 7х+9у+19=0; (АС): 4х+3у+13=0. Составить уравнение высоты, проведенной из вершины В и уравнение медианы, проведенной из вершины А.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

.

7. Найти точкуВ, симметричную точке А(1, 3, –4) относительно плоскости 3х+у–2z=0.

Вариант №2

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны уравнения одной из сторон ромба  и одной из его диагоналей ; диагонали ромба пересекаются в точке .

Найти уравнения остальных сторон ромба.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром  и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

.

7. Найти точку М, симметричную точке N(1, 3, 5) относительно плоскости 2х–у–3z+5=0.

 

Вариант №3

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны две вершины  и и точка  пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки Р(2, –5, 7) на прямую, проходящую через точки М₁(4, 5, 6) и М₂(–2, –17, –8).

 

Вариант №4

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Уравнения двух сторон параллелограмма  и , а уравнение одной из его диагоналей .Найти координаты вершин параллелограмма.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти точку Q, симметричную точке Р(4, 1, 6) относительно прямой

Вариант №5

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Три стороны треугольника  заданы уравнениями  и . Написать уравнение высоты и биссектрисы, проведенных из вершины .

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ;      3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

6. Найти точку Q, симметричную точке Р(2, –5, 7) относительно прямой

Вариант №6

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны вершины  трапеции . Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины  этой трапеции.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами  и ;    3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки А(2, 0, 3) на прямую .

Вариант №7

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны уравнения двух сторон треугольника  и . Его медианы пересекаются в точке .Составить уравнение третьей стороны треугольника.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ;      3) угол между ребром  и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки А(1, –1, 2) на плоскость х+у+2z–3=0.

 

Вариант №8

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны две вершины  и и точка  пересечения медиан треугольника . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки М(0, –3, –2) на прямую

Вариант №9

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Уравнения двух высот треугольника  и , и одна из его вершин А(0; 2). Составить уравнение сторон треугольника.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ;      3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти проекцию точки М(3, 3, 3) на прямую .

 

Вариант №10

1. Вычислить определитель: .

2. Найти АВ–ВА, где: ; .

3. Найти А^-1, где: , сделать проверку, и решить систему АХ=  матричным способом.

4. Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса:

Сделать проверку.

5. Даны уравнения двух медиан треугольника  и и одна из его вершин (1; 3). Составить уравнения его сторон.

6. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ;      3) угол между ребром  и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды. Сделать чертеж.

7. Найти точку К, симметричную точке М(1, 0, –1) относительно плоскости 2у+4z–1=0.

 

 

 

Варианты контрольной работы для студентов заочной формы обучения

Задача 1.

1.1. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.2. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций..

1.3. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.4. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

1.5. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.6. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

1.7. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.8. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

1.9. Г раф, имеет матрицу инциденций . Построить граф. Найти для него матрицу смежности.

1.10. Г раф, имеет матрицу смежности . Построить граф. Найти для него матрицу инциденций.

Задача 2.

В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. 

 

2.1. А(-2; 0; 0); В(0; 3; 0); C(0; 0; 1); S(0; 2; 3).

2.2. А(4; 0; 0); В(0; -8; 0); C(0; 0; 2); S(4; 6; 3).

2.3. А(-2; 0; 0); В(0; 6; 0); C(0; 0; 2); S(-1; 6; 4).

2.4. А(1; 0; 0); В(0; 2; 0); C(0; 0; 2); S(1; 1; 4).

2.5. А(-3; 0; 0); В(0; -2; 0); C(0; 0; 1); S(-2; -1; 3).

2.6. А(6; 0; 0); В(0; -3; 0); C(0; 0; 2); S(4; -3; 4).

2.7. А(3; 0; 0); В(0; -6; 0); C(0; 0; 1); S(1; -3; 3).

2.8. А(-4; 0; 0); В(0; 4; 0); C(0; 0; 2); S(-2; 4; 3).

2.9. А(-6; 0; 0); В(0; 2; 0); C(0; 0; 3); S(-3; 2; 5).

2.10. А(-1; 0; 0); В(0; 5; 0); C(0; 0; 2); S(-1; 3; 4).

 

 

Сделать чертеж. Найти:

1) длину ребра АВ;

2) угол между ребрами АВ и AS;

3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4) площадь основания пирамиды;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой АВ;

7) уравнение плоскости АВС;

8) проекцию вершины S на плоскость АВС;

9) длинувысоты пирамиды.

 

 

Задача 3.

Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить тремя способами:    1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления;      3) по правилу Крамера.

 

3.1.         3.2.

3.3.           3.4.

3.5.             3.6.

3.7.           3.8.

3.9.        3.10.

 

Задача 4.

 Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

4.1. а) ; б) ;

в) ;  г) .

4.2. а) ;          б) ;

в) ;    г) .

4.3. а) ; б) ;

в) ;    г) .

4.4. а) ; б) ;

в) ;      г) .

4.5. а) ; б) ;

в) ;    г) .

4.6. а) ;           б) ;

в) ;          г) .

4.7. а) ;         б) ;

в) ;          г) .

4.8. а) ;           б) ;

в) ;               г) .

4.9. а) ;         б) ;

в) ;         г) .

4.10. а) ; б) ;

в) ;  г) .

 

 

Задача 5.

Найти производные  данных функций

5.1. а) ;    б) ;

в) ;         г) .

5.2. а) ; б) ; в) ;

              г) .

5.3. а) ; б) ;   в) ;       

г) .

 

5.4. а) ;         б) ;                     

в) ;         г) .

5.5. а) ; б) ; в) ;       

г) .

5.6. а) ;           б) ;  

в) ;         г) .

5.7. а) ;         б) ;         

в) ;   г) .

5.8. а) ;      б) ;

в) ; г) .

5.9. а) ; б) ;   в) ;

г) .

5.10. а) ; б) ;

 в) ; г) .

 

Задача 6.

 Найти  и .

6.1. а) ;            б) .

6.2. а) ; б) .

6.3. а) ;            б) .

6.4. а) ; б) .

6.5. а) ;           б) .

6.6. а) ;              б) .

6.7. а) ;          б) .

6.8. а) ; б) .

6.9. а) ; б) .

6.10. а) ;          б) .

Задача 7.

 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

7.1.  .               7.2.  .

7.3. .                 7.4.  .

7.5. .                 7.6.  .

7.7. .                 7.8.  .

7.9. .                 7.10.  .

6.3. Вопросы для подготовки к зачету

 

 

1. Понятие высказывания. Операции над высказываниями и их свойства.

2. Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.

3. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений.

4. Отношение эквивалентности. Его свойства.

5. Отношение порядка, Линейная упорядоченность.

6. Векторы в трехмерном пространстве, линейные операции над ними(сложение векторов и умножение вектора на число).

7. Основные свойства линейных операций над векторами.

8. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и координаты вектора. Понятие об арифметических векторах.

9. Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в координатах. Выражение модуля вектора и угла между векторами через скалярное произведение векторов.

10. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условие коллинеарности векторов.

11. Смешанное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условие компланарности векторов.

12. Вычисление определителей квадратных матриц порядков n =1, 2, 3. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

13. Выражение векторного произведения двух векторов и смешанного произведения трех векторов в координатах.

14. Матрицы, линейные операции над ними. Операция умножения матриц.

15. Матрица, обратная данной.

16. Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

17. Различные методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными: матричный, Крамера, Гаусса.

18. Решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Базисные и свободные переменные.

19. Понятие линейного (векторного) пространства. Примеры.

20. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости.

21. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

22. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства, уравнения и формы.

23. Понятие функции одной переменной. Способы задания функций. Область определения и область значений функции, ее график. Свойства функции: симметрия, ограниченность, монотонность.

24. Убывающие и возрастающие функции. Сложная и обратная функции.

25. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

26. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций.

27. Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о свойствах непрерывных функций.

28. Классификация точек разрыва функций.

29. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства бесконечно малых функций.Сравнение бесконечно малых функций.

30. Виды неопределенностей и способы их раскрытия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

31. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции.

32. Основные свойства производных (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Таблица производных для основных элементарных функций.

33. Производные и дифференциалы высших порядков.

34. Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

35. Правило Лопиталя.

36. Формула Тейлора с остаточным членом форме Лагранжа.

37. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия.

38. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции дифференцируемой на отрезке

⇐ Предыдущая12

Поделиться: