МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ

Российской Федерации

Красноярский государственный аграрный университет

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

КРАСНОЯРСК 2016

Составитель: Миронов Г.В.

Миронов Г.В. " МАТЕМАТИКА". Методические указания по выполнению контрольных работ и прохождению промежуточного контроля для студентов заочной формы обучения по направлению подготовки Землеустройство и кадастры ‒ бакалавриат 21.03.02 Института ЗКиП. Краснояр. гос. аграр. ун-т.- Красноярск, 2016. с.

Введение

В соответствии с действующими учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течении двух лет и выполняют на каждом курсе по две контрольные работы.

Контрольные работы №1 и №2 выполняются студентами на первом курсе.

Контрольные работы №3 и №4 выполняются на втором курсе.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.

4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единицей измерения. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.

6. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме.

Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена

7. Получив из института прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтенную), студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

8. В межсессионный период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти на кафедре высшей математики собеседование по зачтенной контрольной работе.

9. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1. если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач даны в таблице 2.

Таблица 1

Номер варианта	Номера задач для контрольных работ
	Работа №1										Работа №2
1	1	21		31		41		51		61	81	101	121	131	141	161
2	2	22		32		42		52		62	82	102	122	132	142	162
3	3	23		33		43		53		63	83	103	123	133	143	163
4	4	24		34		44		54		64	84	104	124	134	144	164
5	5	25		35		45		55		65	85	105	125	135	145	165
6	6	26		36		46		56		66	86	106	126	136	146	166
7	7	27		37		47		57		67	87	107	127	137	147	167
8	8	28		38		48		58		68	88	108	128	138	148	168
9	9	29		39		49		59		69	89	109	129	139	149	169
0	10	30		40		50		60		70	90	110	130	140	150	170
	Работа №3										Работа №4
1	181		191		201		211		231		251	271	281	291	301	311
2	182		192		202		212		232		252	272	282	292	302	312
3	183		193		203		213		233		253	273	283	293	303	313
4	184		194		204		214		234		254	274	284	294	304	314
5	185		195		205		215		235		255	275	285	295	305	315
6	186		196		206		216		236		256	276	286	296	306	316
7	187		197		207		217		237		257	277	287	297	307	317
8	188		198		208		218		238		258	278	288	298	308	318
9	189		199		209		219		239		259	279	289	299	309	319
0	190		200		210		220		240		260	280	290	300	310	320

Таблица 2

Номер варианта	Номера задач для контрольных работ
	Работа №1										Работа №2
1	11	22		33		44		55		76	91	111	122	133	151	171
2	12	23		34		45		56		77	92	112	123	134	152	172
3	13	24		35		46		57		78	93	113	124	135	153	173
4	14	25		36		47		58		79	94	114	125	136	154	174
5	15	26		37		48		59		80	95	115	126	137	155	175
6	16	27		38		49		60		71	96	116	127	138	156	176
7	17	28		39		50		51		72	97	117	128	139	157	177
8	18	29		40		41		52		73	98	118	129	140	158	178
9	19	30		31		42		53		74	99	119	130	131	159	179
0	20	21		32		43		54		75	100	120	121	132	160	180
	Работа №3										Работа №4
1	182		193		204		221		241		261	272	283	294	305	316
2	183		194		205		222		242		262	273	284	295	306	317
3	184		195		206		223		243		263	274	285	296	307	318
4	185		196		207		224		244		264	275	286	297	308	319
5	186		197		208		225		245		265	276	287	298	309	320
6	187		198		209		226		246		266	277	288	299	310	311
7	188		199		210		227		247		267	278	289	300	301	312
8	189		200		201		228		248		268	279	290	291	302	313
9	190		191		202		229		249		269	280	281	292	303	314
0	181		192		203		230		250		270	271	282	293	304	315

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка.

2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

3. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты векторов. Скалярное произведение векторов.

4. Разложение вектора по системе векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов.

5. Матрицы. Ранг матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение. Теоремы Кронекера – Капелли.

6. Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).

7. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пересечение двух прямых.

8. Неравенства первой степени на плоскости и их геометрический смысл.

9. Канонические уравнения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

10. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, его частные виды. Геометрический смысл неравенства и системы линейных неравенств в пространстве.

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Введение в математический анализ

11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций.

12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (формулировка).

13. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Неопределенные выражения и способы их раскрытия (примеры). Сравнение бесконечно малых величин.

14. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл.

16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

17. Производные высших порядков.

18. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19. Применение производной к вычислению пределов (правило Лопиталя).

20. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функций. Экстремумы функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на интервале.

21. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построение ее графика.

22. Приближенное решение уравнений: графическое отделение корней методом проб; метод хорд и касательных. Метод итераций.

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАИВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

23. Определение функции нескольких независимых переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

24. Частные производные функции нескольких независимых переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших порядков.

25. Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях.

26. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.

27. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.

28. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

IV. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

29. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов.

30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей.

31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

32. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона – Лейбница).

33. Вычисление определенных интегралов способом подстановки и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

34. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.

35. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисления площадей фигур; объемов тел по площадям сечений и тел вращения; длин дуг кривых; площадей поверхностей вращения. Примеры приложения интеграла к решению простейших задач механики и физики.

36. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

37. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла.

38. Понятие о тройном интеграле.

VI. РЯДЫ

47. Числовые ряды; их сходимость и расходимость. Необходимые условия сходимости. Свойства сходящихся рядов.

48. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости, основанные на сравнении рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак Коши.

49. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

50. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.

51. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение в степенной ряд элементарных функций.

52. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.

VII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

53. Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности.

54. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий.

55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

56. Теорема о повторении опытов (схема Бернулли). Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона.

57. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины. Примеры распределений: нормальное, биноминальное, пуассоновское, равномерное. Вероятность попадания случайной величины на данный интервал.

58. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства.

59. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

60. Числовые характеристики статистических распределений (математическое ожидание, дисперсия). Оценка вероятности по частоте. Понятие о доверительном интервале. Доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии нормально распределенной случайной величины.

61. Понятие о центральной предельной теореме.

Библиографический список

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Физмат Гиз, 2002.

2. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд. М.: Наука, 1986.

3. Минорский В.П, Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 2003.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: т. 1, 2. М.: Наука, 2001.

5. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1986.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 2003.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2003.

В настоящих методических указаниях приведенные пособия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись гл. 3; № 66, 68, 81, 113 означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника Кудрявцева В.А., Демидовича В.П. «Краткий курс высшей математики» и решите задачи № 66, 68, 81, 113 из задачника Минорского В.П.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Как найти область сходимости степенного ряда?

13. Запишите разложение в степенной ряд функций , sin x, cos x,

, ln (1+ x ).

14. Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?

Характеристики

(6) гл. 6, § 1 – 3, гл. 7, 8, 10, 11;

(7) № 165, 176, 188, 210, 254, 263, 276, 328, 341.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х 40 42 41 44,

Р 0, 1 0, 3 0, 2 0, 4.

Найти: 1) математическое ожидание М (Х); 2) дисперсию D (Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х …

Р ,

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле

Тогда M ( X ) = 40 · 0, 1 + 42 · 0, 3 + 41 · 0, 4 = 42, 4.

2) Дисперсией D ( X ) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от M (X). Из последней формулы имеем

D ( X ) = ( 40 – 42, 4 )² ∙ 0, 1+(42 – 42, 4)²∙ 0, 3+(41 – 42, 4)²∙ 0, 2+

+(44 – 42, 4)²∙ 0, 4=2, 4²∙ 0, 1+0, 4²∙ 0, 3+1, 4²0, 2+1, 6²∙ 0, 4=

=2, 04.

Дисперсия D ( X ) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D ( X ) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания M ( X ), то есть

D ( X) = M ( X ² ) - [ M ( X ) ]².

Для вычисления M ( X ² ) составим следующий закон распределения величины X ² :

X ² 40² 42² 41² 44²

P 0, 1 0, 3 0, 2 0, 4.

Тогда

M ( X ² ) = 40² · 0, 1 + 42² · 0, 3 + 41² · 0, 2 + 44² · 0, 4 =

= 160 + 529, 2 + 336, 2 + 774, 4 = 1799, 8 и

D ( X ) = 1799, 8 – 42, 4² = 2, 04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ ( X ) случайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии D ( X ), то есть

Из этой формулы имеем: .

Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

0 при х < 0,

F (x) = х³ при 0 ≤ х ≤ 1,

1 при х > 1.

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f ( x ); 2) математическое ожидание M ( X ); 3) дисперсию D ( X ).

Решение. 1) Дифференциальная функцией распределения f ( x ) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F ( x ), то есть

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

0 при х < 0,

f (x) = 3 при 0 ≤ х ≤ 1,

0 при х > 1.

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f ( x ), то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как функция f ( x ) при x < 0 и при x > 1 равна нулю, то из последней формулы имеем

3) Дисперсию D (X) определим по формуле

Тогда

Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40мм и средним квадратическим отклонением 3мм.Найти: 1) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1, 5мм.

Решение: 1) Пусть Х - длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (х), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку [α ; β ], определяется по формуле

Вероятность выполнения строгих неравенств L < X < B определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

, (1)

где Ф (х ) – функция Лапласа, a =M (X), σ = .

В задаче а = 40, α = 34, β = 43, σ = 3. Тогда

2) По условию задачи а – δ < Х < а + δ , где а = 40; δ = 1, 5. Подставив в (1) α = а – δ , β = а + δ , имеем

, то есть

(2)

Из формулы (2) имеем:

Вопросы для самопроверки

1. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.

2. Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсия? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4. Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

7. Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданной интервал.

8. сформулируйте правило « трех сигм ».

9. Назовите сущность закона больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева.

11. Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.

Тема 14. Элементы линейного программирования

[2] гл. XXVI § 3.

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Решение. Пусть приобретено трехтонных и пятитонных

автомашин. Из условия задачи имеем

0 ≤ ≤ 20

0 ≤ ≤ 18

4 + 5 = 150. (1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

L = 3 + 5 . (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1), при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение.

Графический метод решения

В прямоугольной системе координат построим многоугольник

OABCD, образованный прямыми = 0 (OD), =20 (AB), = 0 (AO ), = 18 ( CD), 4 + 5 = 150 ( BC) и прямую 3 + 5 = 0 (l) ( рис. 9 ).

Системе (1) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Так как прямые (l) и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы (1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеют следующие координаты: А (20; 0), В (20; 14), С (15, 18), D (0; 18). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

L ( A ) = L (20; 0 ) = 60; L ( B ) = L (20; 14) = 130;

L (C) = L (15; 18) = 135; L (D) = L (0; 18) = 90.

Рис. 9

Следовательно, L = L (15; 18) = 135, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин, при их общей грузоподъемностью 135 т.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

Контрольная работа № 1

В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0, 01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

1. А ( -5; 0 ), В ( 7; 9), С ( 5; - 5).

2. А ( -7; 2 ), В ( 5; 11), С ( 3; -3).

3. А ( -5; -3 ), В ( 7; : ), С ( 5; -8).

4. А ( -6; -2 ), В ( 6; 7 ), С ( 4; - 7 ).

5. А ( -8; -4 ), В ( 4; 5 ), С ( 2; - 9 ).

6. А ( 0; -1 ), В ( 12; 8 ), С ( 10; -6 ).

7. А ( -6; 1 ), В ( 6; 10 ), С ( 4; -4 ).

8. А ( -2; -4 ), В ( 10; 5 ), С ( 8; -9 ).

9. А ( -3; 0 ), В ( 9; 9 ), С ( 7; 5 ).

10. А ( -9; -2 ), В ( 3; 7 ), С ( 1; -7 ).

11. А ( -5; 2 ), В ( 7; -7 ), С ( 5; 3 ).

12. А ( -7; 5 ), В ( 5; -4 ), С ( 3; 10 ).

13. А ( -7; 1 ), В ( 5; -8 ), С ( 3; 6 ).

14. А ( 0; 3 ), В ( 12; -6 ), С ( 10; 8 ).

15. А ( -8; 4 ), В ( 4; -5 ), С ( 2; 9 ).

16. А ( -2; 2 ), В ( 10; -7 ), С ( 8; 7 ).

17. А ( 1; 2 ), В ( 13; -7 ), С ( 11; 7 ).

18. А ( -4; 1), В ( 8; -8 ), С ( 6; 6 ).

19. А ( -7; -1 ), В ( -5; -10 ), С ( 3; 4 ).

20. А ( -3; 3 ), В ( 9; -6 ), С ( 7; 8 ).

В задачах 21 – 25 составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(x₁; y₁) и до прямой х=а равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

21. А (4; 0 ), а = 9, ε = .