Базовый конспект лекций по электротехнике

Базовый конспект лекций по электротехнике

Для слушателей заочного отделения

Специальность 25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей

Рис 1.4

Ток короткого замыкания и представляет опасность для источника. На рис. 1.4 видно, что чем больше внутреннее сопротивление источника, тем больше влияние тока на напряжение потребителя.

Электрические цепи с одним источником. Анализ и расчет цепей с одним источником проводится с использованием законов Ома и Кирхгофа, а в более сложных случаях еще и методом эквивалентных преобразований.

Для последовательного соединения сопротивлений (рис. 1.5)

, откуда

Для параллельного соединения сопротивлений (рис. 1.6)

или

Рис 1.5 Рис 1.6

В частном случае для двух соединений .

Эквивалентная проводимость для парралельного участка .

Отдельно можно выделить смешанное соединение (рис. 1.7).

Рис 1.7

Это такое соединение, при котором на одних участках электрической цепи сопротивления соединены последовательно, а на других параллельно.

Пример. В цепи, изображенной на рис. 1.7, , , , ,

Найти распределение токов в схеме.

Решение. Эквивалентное сопротивление между точками А и В

Сопротивление

Сопротивление параллельно сопротивлению

Общее сопротивление цепи

Общий ток

Напряжение между точками С и D

Токи в сопротивлениях и определяются позакону Ома

Напряжение между точками А и В

Токи в сопротивлениях и

; ;

Электрические цепи с несколькими источниками, методом анализа и расчета сложных цепей является непосредственное применение первого и второго законов Кирхгофа.

Расчет сложной цепи (рис. 1.8) проводят в такой последовательности:

1) упрощают схему;

2) по первому закону Кирхгофа составляют ( ) уравнений, где - число узлов в схеме;

3) по второму закону Кирхгофа составляют не достающие уравнения т -( п -I), где

т = 5 - число ветвей схемы.

Если в результате решения токи получатся отрицательными, это значит, что действительные направления токов противоположны выбранным.

Пример. Определить токи в цепи на рис. 1.8, применив законы Кирхгофа, если = 0, 3 Ом, R₂=R₆=0, 4 Oм, R₃=R₄=2 Oм, R₅=6 Oм, R₇=0, 6 Oм, E₁=140В, Е₂=85В, R₀₁=0, 1Ом, R₀₂=0, 2Ом

Рис 1.8

Решение. На основании первого закона Кирхгофа записываем два уравнения, т.е. (n-1), где n=3:

для узла А

для узла В

Направления обхода контуров выбираем произвольно. Число ветвей т = 5. Столько же неизвестных токов, поэтому уравнений согласно второму закону Кирхгофа три:

для контура I ;

для контура II ;

для контура III

Во втором контуре нет ЭДС, и левая часть уравнения равна 0.

Решение системы с пятью неизвестными дает: (знак минус означает, что действительное направление тока противоположно принятому на схеме),

На участке DC ток и направлен от точки D и С.

Рис. 3.24 Рис. 3.25

В нем - полное сопротивление цепи последовательно соединенных элементов; - угол сдвига по фазе между током и напряжением этой цепи, определяемый из сопротивлений:

Рис. 3.26

Угол на векторной диаграмме отсчитывается от вектора тока к вектору напряжения. При этом , если отсчет идет против часовой стрелки, и , если наоборот (рис. 3.26).

Закон Ома для цепи переменного тока:

Если стороны напряжении умножить на общий

ток I, получим треугольник мощностей (рис. 3.27)

в нем:

- активная мощность Вт;

Рис. 3.27

- полная мощность цепи, . Из мощностей . Полная мощность цепи (участка цепи) измеряется с помощью амперметра и вольтметра, активная мощность - с помощью ваттметра. Реактивная мощность правило, вычисляется через найденные и : . Схема для измерения полной мощности и активной мощности потребителя представлена на рис. 3.28.

Рис. 3.28

Пример 3.2. Определить активную, реактивною и полную мощность , для вышеуказанной цепи, а также эквивалентные пара метры потребители , если показание ваттметра 300 Вт, вольтметра 100 В, амперметра 5 А.

Решение. I) Ваттметр измеряет активную мощность потребителя, следовательно, Р = 300 Вт.

2) Вольтметр и амперметр фиксируют действующие значения напряжения U и тока I потребителя. Следовательно, полная мощность

3) Из мощностей потребителя (рис. 3.39) определяется реактивная мощность

Рис. 3.29 Рис. 3.30

4) Полное сопротивление потребителя

5) Активное сопротивление

6) Реактивное сопротивление из сопротивлений потребителя (рис. 3.30):

Примечание. и потребителя можно определить, используя выражения для мощностей и потребителя: и

Применение комплексных чисел в расчете допей переменного тока. Данный метод позволяет заменить геометрические операции с векторами алгебраическими операциями с комплексными числами, соответствующими этим векторам. Представим синусоидальный ток вращающимися векторами на декартовой плоскости, после чего формально совместим оси абсцисс и ординат соответственно с осями действительных и мнимых чисел комплексной плоскости (рис. 3.31). Тогда синусоидальный ток можно представить комплексным числом - точкой на комплексной плоскости, в которой лежит конец вектора I. Это комплексное число может быть выражено одной из следующих форм:

Рис. 3.31

а) алгебраической

б) тригонометрической

в) показательной , где . В этих выражениях

- начальная фаза тока, которая отсчитывается от положительного направления оси действительных чисел к вектору; , если отсчет против часовой стрелки и , если наоборот;

- действительная часть комплексного числа I;

- мнимая часть комплексного числа I (точнее );

- мнимая единица;

комплексное число, сопряженное с I;

- действительное число;

- мнимое число;

- квадрат модуля - действительное число.

Пример 3.3. Напряжение представить комплексным числом, записанным в формах а), б), в) и вектором на комплексной плоскости.

В показательной форме записи комплекс действующего значения напряжения , где действующее напряжения , d начальная фаза .

Ответ: алгебраическая ;

тригонометрическая ;

показательная форма записи .

Векторное изображение напряжения см. на рис. 3.32.

Примем без доказательства каждому линейному соотношению между векторами соответствует такое же соотношение между комплексными числами, соответствующими этим векторам. Так для I закона Кирхгофа в цепи переменного тока (рис. 3.33) будут справедливы следующие выражения:

Рис. 3.32 Рис. 3.33

(для мгновенных значении),

(для векторов действующих значений),

(для комплексов действующих значений).

Комплексное сопротивление и преобразование схем. Пусть для участка цепи (рис. 3.34) имеем

. На комплексной плоскости получим (рис. 3.33).

Рис. 3.34 Рис. 3.35

Образуем новое комплексное число

Из сопротивлений ;

Окончательно полное комплексное сопротивление участка

; здесь ; ;

полное сопротивление участка .

Пример 3.4. Записать полное комплексное сопротивление цепи на рис. 3.36. В соответствии с последней формулой получим

Пример 3.5. Определить для цепи на рис. 3.37.

, так как , а

Рис. 3.36 Рис. 3.37

Использование комплексных сопротивлений облегчает преобразование схем, так как в этом случае справедливы все формулы преобразования цепей постоянного тока.

Пример 3.6. Участок схемы на рис. 3.38 преобразовать в двухэлементный последовательный, если ;

, т. е. В результате преобразования получим схему, представленную на рис. 3.39.

Рис. 3.38 Рис. 3.39

Комплексная мощность.

Пусть на комплексной плоскости (рис. 3.40)

Полная комплексная мощность

Рис. 3.40 ,

т. е. Активная мощность , а реактивная мощность .

Пример 3.7. Определить активную, реактивную и полную мощность цепи, если известны и .

Решение:

;

Ответ: , Вт; .

Понятие о проводимостях. Для участка цепи справедлива векторная диаграмма (рис. 3.41), где и - активная и реактивная составляющие вектора тока; соответственно проекции вектора тока на направление вектора напряжения и на перпендикуляр к нему. Из диаграммы получим ,

где - активная проводимость;

, где

( - реактивная,

- индуктивная, - емкостная проводимости);

Рис. 3.41

Рис. 3.42

где - полная проводимость (обратная полное сопротивлений). Проводимости ветви связаны друг с другом треугольником проводимостей (рис. 3.42).

Резонансные режимы работы цепей возникают в цепях, содержащих индуктивные катушки и конденсаторы. Признак электрического резонанса - совпадение по фазе тока и напряжения цепи (участка цепи). Такая цепь ведет себя по отношению к источнику подобно резисторному элементу. Различают резонанс в последовательной и в параллельной цепи. Выявим условия, при которых возникают резонансы.

I. Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении индуктивных катушек и конденсаторов (рис. 3.45). По II закону Кирхгофа

. В соответствии с этим уравнением и с учетом признаке резонанса получим векторную диаграмму (рис. 3.44), из которой следует, что

- условие резонанса напряжений или

Рис. 3.43 Рис. 3.44

Следовательно, резонанс напряжений можно получить путем изменения значений любой из 3 величин: частоты , индуктивности , емкости С..

При резонансе напряжений ток в цепи достигает максимальных значений, так как полное сопротивление становится минимальным:

, , напряжения на индуктивном и емкостном элементах одинаковы , а ; реактивная мощность цепи , следовательно, при резонансе активная и полная мощность одинаковы: , резонансную частоту получим из условия резонанса напряжений ; ;

2. Резонанс токов возникает при параллельном соединении индуктивных катушек и конденсаторов (рис. 3.43). Для такой схемы . Строим векторную диаграмму (рис. 3.46): начинаем с вектора напряжений , являющегося общим для обеих ветвей, далее откладываем , отстающий от на и опережающий на ; далее находим

Очевидно, что признак резонанса - ток и напряжения должна бить в фазе - будет выполнен, если будут равны составляющие токов и , т. е. или , тогда условием резонанса токов будет равенство реактивных проводимостей:

или , где , , ;

как видно из формул, резонанс токов можно получить изменением любой из пяди величин:

Рис. 3.45 Рис. 3.46

При резонансе напряжений (признак резонанса) реактивная мощность Q = 0 (если умножить уравнение * - на общее напряжение , то , т. е. , ) и активная мощности цепи численно уравниваются: .

Пример 3.8. Определить показания ваттметра, если вольтметр и амперметр соответственно показали 100 В и 2 А. В цепи (рис. 3.47) резонансный режим.

Рис. 3.47

Решение. Ваттметр измеряет активную мощность (по схеме - на катушке); так как в данном случае других потребителей активной мощности, кроме , в схеме нет, то ваттметр измерит активную мощность всей цепи.

Рис. 3.48

но при резонансе

Ответ: показание ваттметра 200 Вт.

Пример 3.9. Определить ток источника , если (рис. 3.48).

Решение. Строим векторную диаграмму (рис. 3.49). Индуктивный и емкостный элементы включены на одно напряжение , токи в них по значению одинаковы: . Построение векторной диаграммы при смешенном соединении элементов удобно начинать с вектора напряжения на параллельном участке ( ), далее наносим и - они в противофазе, следовательно .

Ответ: ток источника

Такая цепь не пропускает ток данной частоты. Если частота изменится, то появится ток ( ).

Вопросы для самопроверки

1. Какой ток называется переменным?

2. Что такое период, частота, начальная фаза?

3. Как определить начальную фазу синусоидальной величины на временном графике, векторной диаграмме?

4. Каким образом может быть задана синусоидальная величина?

5. Каковы разовые соотношения между током и напряжением на резистивном, индуктивном и емкостном элементах?

6. Привести выражения для индуктивного, емкостного и полного сопротивления. Как изображается сопротивлений?

7. Чем отличается в записи закон Ома и законы Кирхгофа в цепи синусоидального тока от записи для цепи постоянного тока?

8. Привести выражения для реактивной, активной и полной мощностей в цепи синусоидального тока. Как изображается мощностей?

9. Как записать полное комплексное сопротивление ветви?

10. Как определить полную комплексную мощность цепи, а также активную и реактивную мощности по заданным комплексным напряжению и току цепи?

11. Что является признаком электрического резонанса?

12. Каковы условия резонанса напряжения и токов?

13. Изменением каких параметров можно добиться резонанса напряжений и резонанса токов?

14. Каковы характерные свойства цепей, настроенных в резонансе?

Рис. 4.12 Рис. 4.13

б) Несимметричная нагрузка: ; ; . Фазные токи по-прежнему определяются по формулам (4.1). Линейные токи получим либо из векторной диаграммы на рис. 4.13, либо по формулам.(4.4) и (4.2), где , , и .

Мощности в трехфазных цепях. Независимо от способа соединения потребителей (Y или ) при симметричной нагрузке мощность ее равна утроенной мощности одной фазы:

аналогично

При несимметричной нагрузке отдельно определяются активная и реактивная мощности каждой фазы» тогда мощность цепи

Измерение модности в трехфазной цели.

1. При симметричной нагрузке применяется метод одного ваттметра (рис. 4.14), т.е. измеряется активная мощность одной фазы и результат утраивается:

2. Метод двух ваттметров (схема Арона, рис. 4.15) позволяет определить мощность нагрузки (симметричной и несимметричной) при любом способе соединения фаз:

так как

Рис. 4.14

5. В четырехпроводной цепи применяется метод трех ваттметров (рис. 4.16):

Рис. 4.15 Рис. 4.16

Вопросы для самопроверки

1. Какие электрические цепи называются трехфазными?

2. Можно ли в трехфазные цепи включать однофазные потребители? Если можно, то как - между линейными проводами или одним из линейных проводов и нейтралью? От чего это зависит?

5. Что такое линейное и фазное напряжения, линейный и фазный токи? Показать на схемах их положительные направления при соединении потребителей звездой, треугольником.

4. Какая нагрузка в трехфазной цепи называется симметричной?

5. Каково соотношение между фазными и линейными напряжениями симметричного потребителя при соединении звездой?

6. Каково соотношение между фазными и линейными токами симметричного потребителя при соединении треугольником?

7. чем объяснить наличие четвертого (нейтрального) провода в трехфазных цепях?

8. Почему в нейтраль не включают предохранители?

9. Как определить ток в нейтрали?

10. Как определить полную мощность трехфазной цепи при заданном количестве потребителей, однофазных и трехфазных?

11. Сколько ваттметров и как нужно включить для измерения активной мощности симметричного трехфазного потребителя?

12. В чем сущность метода двух ваттметров? Можно ли использовать этот метод в четырехпроводных цепях?

15. Сколько ваттметров и как нужно включить, чтобы измерить активную мощность несимметричной нагрузки в четырехпроводной цепи?

14. Каков порядок построения векторной диаграммы при соединении симметричного потребителя звездой, треугольником?

Эквивалентная синусоида.

Если несинусоидальное напряжение и ток не слишком заметно отличаются от синусоид, то при приближенных расчетах несинусоидальные напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидальными, имеющими такие же действующие значения.

Синусоиду, заменяющую несинусоидальную кривую, называют эквивалентной.

Эквивалентный синусоидальный ток должен быть сдвинут по фазе относительно напряжения на такой угол , чтобы активная мощность при эквивалентном синусоидальном токе равнялась активной мощности при несинусоидальном токе:

2.3. Режим в цепи при приложенном к ней несинусоидальном напряжении.

Если напряжение на выводах линейной цепи не синусоидально, то его можно представить в виде ряда Фурье:

При этом напряжении ток в цепи:

То есть каждой гармонике напряжения соответствует своя гармоника тока. Расчет ведется для каждой гармоники напряжения отдельно любым методом (комплексным, векторным).

Результирующие токи и напряжения определяются как алгебраическая сумма мгновенных значений токов и напряжений отдельных гармоник.

Реактивное сопротивление определяется отдельно для каждой гармоники.

При несинусоидальном напряжении на выводах линейной цепи, содержащей L, C, в цепи могут возникать резонансные явления, как на основной, так и на высших гармониках.

Пример: Напряжение на зажимах цепи

Цепь состоит из последовательного соединения R и L. Следовательно:

– определяем сдвиги фаз.

Электрические фильтры

Электрические фильтры – четырехполюсники, содержащие реактивные элементы, которые либо задерживают, либо пропускают к приемнику токи одного или нескольких заданных диапазонов частот. Электрические фильтры широко применяются в радиотехнике, связи, электроэнергетике и т. д.

В основе принципа действия фильтра лежит зависимость его эквивалентного сопротивления Z_э от частоты. Комбинируя схемы соединения индуктивности и емкости, можно получить фильтры следующих типов:

Низкочастотные – пропускают токи в диапазоне частот 0 – ω ₀.

Z_э

L L

ω ₀ ω

Т-образная схема. Широко применяются в качестве сглаживающих выпрямительных устройств.

Высокочастотные.

Z_э

C C

Полосовые пропускают токи в заданном диапазоне частот ω ₁ – ω ₂.

L₁C₁ Z_э

L₂ C₂

ω ₁ ω ₂ ω

Заградительные имеют полосу пропускания тока от 0 до ω ₁ и от ω ₂ до ∞.

C C Z_э

L L L

ω ₁ ω ₂ ω

В маломощных электрических цепях (в радиоэлектронике, связи) полосовые и заградительные фильтры часто выполняют на основе резисторов и конденсаторов.

Низкочастотный RC-фильтр используется для сглаживания пульсаций тока в маломощных выпрямительных схемах.

Z_э

R C

Включение активного сопротивления необходимо для ограничения тока при подключении схемы к источнику питания. При отсутствии R в момент включения X_c очень мало и источник оказывается в режиме короткого замыкания. Введение R хотя и увеличивает потери мощности, но обеспечивает защиту источника от короткого замыкания.

Сглаживающие фильтры.

Для питания ряда узлов электронной аппаратуры обычно требуется постоянное напряжение. Напряжение на выходе выпрямительных схем является или пульсирующим (трехфазный выпрямитель), или импульсным (одно- и двухполупериодный выпрямитель). Для того, чтобы выпрямленное напряжение имело требуемую форму, применяют сглаживающие фильтры.

Количественно работа фильтра характеризуется коэффициентом сглаживания пульсаций q, который показывает, во сколько раз уменьшается пульсация при прохождении сигнала через данный фильтр:

, где – коэффициент пульсаций до прохождения фильтра,

– коэффициент пульсаций после прохождения фильтра.

Кроме того, в фильтре не должно быть значительных потерь постоянной составляющей выпрямленного напряжения.

Сглаживающие фильтры подразделяются на емкостные, индуктивные, индуктивно-емкостные и резисторно-емкостные.

Наиболее простой емкостной фильтр. Работа основана на способности конденсатора быстро запасать электроэнергию, а затем относительно медленно отдавать ее в нагрузку.

U_д

U C_ф R_н

U_н=U_c

Когда U_д=u-U_c> 0, диод открыт и С_ф заряжается (t₁÷ t₂). Так как сопротивление Д мало, то С_ф успевает зарядиться почти до u.

U_н, U_н

i_c i_c

t₁ t₂ t

Когда U-U_c< 0, диод закрыт и C_ф медленно разряжается через R_н до тех пор, пока напряжение источника u снова не станет больше U_c. Время зарядки зависит от постоянной времени τ =C_фR_н, которая показывает, в течение какого времени напряжение на C_ф уменьшится в 2, 72 раза.

Емкостные фильтры используются в выпрямителях малой мощности.

В выпрямителях с большими токами применяют индуктивные фильтры (дроссель с относительно большой индуктивностью).

Др R_н

U₁ U₂ b

u_ab,

i_н u_ab i_н

За счет явления самоиндукции ток i_н не падает до нуля при нулевом напряжении U_ab и коэффициент пульсации заметно меньше (в однополупериодном выпрямителе применение нецелесообразно).

На практике применяют комбинированные фильтры:

L_ф L_ф

C_фR_нC_ф C_ф R_н

Г-образный П-образный

Эти фильтры обеспечивают хорошее сглаживание тока в нагрузке. Напряжение на входе фильтра – сумма постоянной составляющей и целого ряда гармоник. На индуктивном сопротивлении выделяется большая часть переменной, а на емкостном – большая часть постоянной составляющей напряжения выпрямителя.

В маломощных схемах дроссель может быть заменен резистором. Уменьшается масса, габариты и стоимость, однако сглаживание ухудшается.

Пример. Конденсатор хорошо сглаживает пульсации, если выполняется условие

ω _н – частота пульсаций. Кроме того, R_н> > R_д.

τ _зар=R_внС, R_вн=R_д+R₂, т.к. R_н> > R_д, то τ _раз> > τ _зар. τ _раз=RC

f = 50 Гц

R_д E_m Д R_н= 4 кОм

R_нR_вн= 200 Ом

C = 40 мкФ

В этом случае период пульсаций

x_c < < R_н

80 Ом < < 4 кОм

Таблица 5.1

(рис.5.5)

Напряжение на индуктивном элементе в переходный период (рис. 5.3)

(5.9)

Характер изменения величин в цепях с одним накопителем энергии подчиняется экспоненциальному закону. Таким образом, задача сводится к определению конкретных значений начальных и остановившихся токов и напряжений.

Пример 5.1. По какому закону будут изменяться токи , , и напряжение цепи на рис. 5.4 при переходном процессе, вызванном замыканием рубильника?

Решение сводится к определению начальных и установившихся значений токов и напряжений. Так как ток в катушке индуктивности скачком изменяться не может (см. формулу (5.2)), схема для определения начальных значений величин примет вид, изображенный на рис. 5.5, где

Остальные токи, напряжения в схеме определяются как обычно для цепей постоянного тока: ; ; ;

Схема на рис. 5.6 для установившегося режима получена при , а и

Рис.5.4 Рис. 5.5 Рис. 5.6

Кривые изменения токов и напряжений изображены на рис. 5.7 и рис. 5.8.

Отключение цепи с и от источника постоянного напряжения. При отключении индуктивной катушки от источника (рис.5.9) ток в ней в первый момент времени остается неизменным, зато в резисторе ток меняется скачком от нудя до - (знак минус показывает, что он направлен против указанного на схеме положительного направления). Для уменьшения потерь в цепи при включенной катушке последовательно с разрядным сопротивление включен диод Д, благодаря чему ток до размыкания выключателя равен нулю.