MATLAB в режиме прямых вычислений

MATLAB - это высокопроизводительный инструмент для выполнения технических расчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной сре­де, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической. Ти­пичное использование MATLAB - это:

§ математические вычисления

§ создание алгоритмов

§ моделирование

§ анализ данных, исследования и визуализация

§ научная и инженерная графика

§ разработка приложений, включая создание графического интерфейса

Рабочая среда MATLAB содержит следующие элементы:

§ меню;

§ панель инструментов с кнопками и раскрывающимся списком;

§ окно с вкладками Launch Pad и Workspace, из которого можно получить простой доступ к различным дополнительным модулям Toolbox и к содержимому рабочей среды;

§ окно с вкладками Command History и Current Directory, предназначенное для просмотра и повторного вызова ранее введенных команд, а также для установки текущего каталога;

§ командное окно Command Window;

§ строку состояния.

Настройка окон рабочей среды производится с помощью меню View и View -> Desktop Layout

Дополнительные возможности MATLAB

В MATLAB важная роль отводится специализированным группам программ, называемым toolboxes. Toolboxes – это всесторонняя коллекция функций MATLAB, которые позволяют решать частные технические задачи. Toolboxes применяются для обработки сигналов, анализа изображений, моделирования систем управления и т.д.

Для удобства работы в состав MATLAB входит программа Simulink, которая позволяет выполнять моделирование систем в графическом виде. Simulink содержит библиотеку элементов (blocksets) для построения систем из отдельных блоков и позволяет соединять эти блоки друг с другом с помощью мыши.

MATLAB в режиме прямых вычислений

Работа с системой в режиме прямых вычислений носит диалоговый характер и происходит по правилу «задал вопрос – получил ответ». Пользователь набирает на клавиатуре вычисляемое выражение, редактирует его (если нужно) в командном окне и завершает ввод нажатием клавиши ENTER.

Примеры: [1]

> > 1+2

ans=3

> > ans/10

ans=0.08415

> > 4*5; %(для блокировки вывода результата вычислений добавьте символ "; " (без кавычек) %в конец выражения)

> > sin(1)

ans=0.8415

Замечание:

ü Когда выходная переменная не определена, MATLAB использует переменную ans, коротко от answer - ответ, для хранения результатов вычисления.

ü Если вводимое математическое выражение окажется настолько длинным, что на него не хватит одной строки, то часть выражения можно перенести на новую строку с помощью знака многоточия «…» (3 или более точек).

ü Текстовый комментарий к выполняемым действиям в MATLAB можно ввести после знака %.

Понятие о математическом выражении

Центральным понятием всех математических систем является математическое выражение. Оно задает то, что должно быть вычислено в численном (реже символьном) виде. Но в отличие от других систем, эти выражения в MATLAB включают матрицы. Математические выражения строятся на основе чисел, констант, переменных, операторов, функций и разных спецзнаков.

Вот примеры простых математических выражений:

2.301*sin(x)

4+exp(3)/5

sqrt(y)/2

sin(pi/2)

1.2.4 Действительные и комплексные числа

Число – простейший объект языка MATLAB, представляющий количественные данные. Числа можно считать константами, имена которых совпадают с их значениями:

-3

Возможно представление чисел в научном формате с указанием мантиссы и порядка чисел:

2.301

123.456e-24

-234.456e10

В мантиссе чисел целая часть отделяется от дробной не запятой, а точкой. Для отделения порядка чисел от мантиссы используется символ e. Пробелы между символами в числах не допускаются.

Числа могут быть комплексными: z=Re(x) + Im(x)*i.

3i

2j

2+3i

-3.14i

-123.456-3i

Операторы

Простейшие алгебраические:

+ сложение

- вычитание

* умножение

/, \ деление

^ степень

' комплексно сопряженное транспонирование

() определение порядка вычисления

Отношения:

< - меньше

> - больше

< = - меньше или равно

> = - больше или равно

== - равно

~= - не равно

Функции

MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или лога­рифма отрицательного числа не является ошибкой: в этом случае результатом является соответствующее комплексное число. MATLAB также предоставляет и более сложные функции, включая Гамма функцию и функции Бесселя. Боль­шинство из этих функций имеют комплексные аргументы. Чтобы вывести спи­сок всех элементарных математических функций, наберите:

help elfun

Для вывода более сложных математических и матричных функций, наберите

help specfun

help elmat

Некоторые функции, такие как sqrt и sin, - встроенные. Они являются частью MATLAB, поэтому они очень эффективны, но их вычислительные детали труд­но доступны. В то время как другие функции, такие как gamma и sink, реализо­ваны в виде программного кода в М-файлах. Поэтому вы можете легко увидеть их код и, в случае необхо­димости, даже модифицировать его.

Задание векторов и матриц

Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:

а) вводить полный список элементов

> > V=[1 2 3] – задает вектор, имеющий три элемента;

> > M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; - задает матрицу 3х3;

> > V=[2+2/(3+4) exp(5) sqrt(10)]; - задает значение выражения в качестве элементов матрицы.

б) генерировать матрицы, используя встроенные функции

Имеется ряд специальных функций для задания векторов и матриц. Например, функция magic(n) задает магическую матрицу размера nxn, у которой сумма всех столбцов, всех строк и даже диагоналей равна одному и тому же числу:

> > M=magic(4), а также:

zeros все нули

ones все единицы

rand равномерное распределение случайных элементов

randn нормальное распределение случайных элементов

eye единичная матрица (в диагонали единицы)

> > Z = zeros(2, 4)

> > F = 5*ones(3, 3)

> > N = 10*rand(1, 10)

в) загружать матрицы из внешних файлов

Команда load считывает двоичные файлы, содержащие матрицы, созданные в MATLAB ранее, или текстовые файлы, содержащие численные данные. Тексто­вые файлы должны быть сформированы в виде прямоугольной таблицы чисел, отделенных пробелами, с равным количеством элементов в каждой строке.

На­пример, создадим вне MATLAB текстовой файл, содержащий 4 строки:

Сохраним этот файл под именем magik.dat. Тогда команда load magik.dat прочитает этот файл и создаст переменную magik, содержащую нашу матрицу.

г) загружать матрицы из М-файлов

Вы можете создавать свои собственные матрицы, используя М-файлы, которые представляют собой текстовые файлы, содержащие код MATLAB. Просто соз­дайте файл с выражением, которое вы хотите написать в командной строке MATLAB. Сохраните его в файле с расширением.m.[2]

Например, создадим файл, содержащий строку:

A=[16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1];

Сохраним его под именем magik.m. Тогда выражение magik прочитает файл и создаст переменную А, содержащую исходную матрицу.

Замечание: Очень часто необходимо произвести формирование упорядоченных числовых последовательностей (числовых массивов - векторов ). Первоначальное создание таких массивов производится с помощью оператора ": " (без кавычек)

{Начальное_значение}: {Шаг}: {Конечное_значение}

Пример:

> > 1: 5

> > i=0: 2: 10

> > x=1: -.2: 0

> > x=0: 5

Построение графиков функций

MATLAB позволяет строить графики функций в линейном, логарифмическом и полулогарифмическом масштабах. Общий порядок построения графиков функций:

• Задать аргумент в формате x={нач. значение}: {шаг}: {кон. значение}.

• Вычислить функцию, например, y=f(x).

• Построить график функции при помощи функции plot(x, y, s)

Построение графиков функций одной переменной в линейном масштабе осуществляется при помощи функции plot. В зависимости от входных аргументов функция plot позволяет строить один или несколько графиков, изменять цвет и стиль линий и добавлять маркеры на каждый график.

Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, на­пример plot(y) создает график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вектора в качестве аргументов, plot(x, y) создаст график зависимости у от х. Например, для построения графика значений функции sin от нуля до 2 , сдела­ем следующее

t = 0: pi/100: 2*pi;

у = sin(t);

plot(t, у)

Рис. 1.1. График функции y=sin(x)

Возможно задание цвета, стиля линий и маркеров графиков при создании графика, с помощью параметра команды plot:

plot(x, у, 's'),

где s – строковая константа, задающая параметры линии графика:

Таблица 1.1

Если на одном графике нужно отобразить несколько функций, например, y1=f(x) и y2=f(x), то они вначале вычисляются, а затем выводятся процедурой plot(x, y1, 's1', x, y2, 's2'...), в которой в качестве параметров для каждой функции следуют группы < аргумент, функция, тип линии>.

у2 = sin(t-.25);

уЗ = sin(t-.5);

plot(t, y, 'b', t, y2, 'g', t, уЗ, 'r')

Рис. 1.2. Изображение нескольких функций на одном графике y=sin(x)

Удобство использования графиков во многом зависит от дополнительных элементов оформления: координатной сетки, подписей к осям, заголовка и легенды.

Управление осями

Производится с помощью функции axis. Она имеет несколько возможностей для настройки масштаба, ориента­ции и коэффициента сжатия.

axis({xmin xmax ymin ymax})

Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значение и выбирает соответствующий масштаб осей. Функция axis заменяет зна­чения по умолчанию предельными значения, вводимыми пользователем. Также можно использовать ключевые слова для управления внешним видом осей. Например:

axis square – создает х и у оси равной длины,

axis equal – создает отдельные отметки приращений для х и у осей одинаковой длины.

Тогда, функция: plot(exp(i*t)), следующая либо за axis square, либо за axis equal превращает овал в правильный круг.

axis auto – возвращает значения по умолчанию и переходит в автоматический режим;

axis on – включает обозначения осей и метки промежуточных делений;

axis off – выключает обозначения осей и метки промежуточных делений;

Замечание: Иногда требуется сравнить поведение двух функций, значения которых сильно отличаются друг от друга. График функции с небольшими значениями практически сливаются с осью абсцисс, и установить его вид не удается. В этой ситуации помогает функция plotyy, которая выводит графики в окно с двумя вертикальными осями, имеющими подходящий масштаб.

Сетка наносится командой grid on, подписи к осям размещаются при помощи xlabel, ylabel, заголовок задается командой title. Наличие нескольких графиков на одних осях требует помещения легенды командой legend с информацией о линиях.

Пример: Следующие команды выводят графики изменения суточной температуры.

> > time = [0 4 7 9 10 11 12 13 13.5 14 14.5 15 16 17 18 20 22];

> > temp1 = [14 15 14 16 18 17 20 22 24 28 25 20 16 13 13 14 13];

> > temp2 = [12 13 13 14 16 18 20 20 23 25 25 20 16 12 12 11 10];

> > plot(time, temp1, ‘ro-‘, time, temp2, ‘go-’)

> > grid on

> > title(‘Суточные температуры’)

> > xlabel(‘Время (час.)’)

> > ylabel(‘Температура (С)’)

> > legend(’10 мая’, ’11 мая’)

Замечание: Дополнительным аргументом legend может быть положение легенды в графическом окне:

-1 – вне графика в правом верхнем углу графического окна;

0 – выбирается лучшее положение в пределах графика так, чтобы как можно меньше перекрывать сами графики;

1 – в верхнем правом углу графика (по умолчанию)

2 – в верхнем левом углу графика

3 – в нижнем левом углу графика

4 – в нижнем левом углу графика.

Использование ТЕХ-представления позволяет применять греческие буквы, математические символы и различные шрифты. Следующий пример демонстрирует эту возможность:

t = -pi: pi/100: pi;

у = sin(t);

plot(t, у)

axis([-pi pi -1 1])

xlabel( ' -\pi \leq \itt \leq \pi ' )

ylabel( ' sin(t) ' )

title( ' График функции sin ' )

text(-l, -1/3, ' \it{Oтмeтьте нечетную симметрию} ' )

Рис. 1.3. График функции y=sin(x)

1.4.4 Окна изображений

Функция plot автоматически открывает новое окно изображения (далее окно), если до этого его не было на экране. Если же оно существует, то plot использует его очищая его содержимое.

Для открытия нового окна и выбора его по умолчанию, на­берите:

figure

Для того, чтобы сделать существующее окно текущим –

figure(n),

где n - это номер в заголовке окна. В этом случае результаты всех последующих команд будут выводиться в это окно.

Замечание: Чтобы добавить кривые на существующий график, следует воспользоваться командой hold on. Команда clf очищает все текущее окно. Команда cla – убирает только график, а оси, заголовок и названия осей оставляет

Подграфики

Функция subplot позволяет выводить множество графиков в одном окне или распечатывать их на одном листе бумаги.

subplot({m}, {n}, {p}) -

Разбивает окно изображений на матрицу m на n подграфиков и выбирает р-ый подграфик текущим. Графики нумеруются вдоль первого в верхней строке, по­том во второй и т.д. Например, для того, чтобы представить графические дан­ные в четырех разных подобластях окна необходимо выполнить следующее:

t = -pi: pi/100: pi;

x = cos(t);

у = sin(t);

z = 1/sin(t);

k = 1/cos(t);

subplot(2, 2, 1); plot(t, x)

subplot(2, 2, 2); plot(t, у)

subplot(2, 2, 3); plot(t, z)

subplot(2, 2, 4); plot(t, k)

Выполните задание к разделу 4: (задание 2 на стр. 25).

Основы трехмерной графики

MATLAB предоставляет различные способы визуализации функций двух переменных – построение трехмерных графиков и линий уровня, параметрически заданных линий и поверхностей.

Для формирования трехмерных графиков необходимо:

- Сгенерировать матрицы с координатами узлов сетки на прямоугольной области определения функции.

- Вычислить функцию в узлах сетки и записать полученные значения в матрицу.

- Использовать одну из графических функций MATLAB.

Генерация сетки

Сетка генерируется при помощи команды meshgrid, вызываемой с двумя аргументами, векторами, элементы которых соответствуют сетке прямоугольной области построения функции. Можно использовать один аргумент, если область построения функции – квадрат.

[X, Y] = meshgrid(x, y) – преобразует область, заданную векторами x, y в массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления функции двух переменных и построения трехмерных графиков.

Пример:

> > [X, Y] = meshgrid(-1: 0.5: 1, 0: 0.5: 1)

> > [X, Y] = meshgrid(-1: 0.05: 1, 0: 0.05: 1);

[X, Y] = meshgrid(x) – аналогична [X, Y] = meshgrid(x, x)

Рис. 1.4. Трехмерный график с аксонометрией

Задание свойств линий и маркеров для plot3() производится также как и для plot()

plot3(X, Y, Z, S)

> > plot3(X, Y, Z, ’-o’)

plot3(x1, y1, z1, s1, x2, y2, z2, s2, …)

> > plot3(X, Y, Z, ’-k’, Y, X, Z, ’-k’)

Наиболее представительными и наглядными являются сетчатые графики поверхностей с заданной или функциональной окраской. В названии их команд присутствует слово mesh. Имеется три группы таких команд:

Рис. 1.5. Сетчатый 3D-график с функциональной окраской

Цвет линий соответствует значениям функции. MATLAB рисует только видимую часть поверхности. При помощи команды hidden off можно сделать каркасную модель «прозрачной», добавив скрытую часть. MATLAB имеет несколько функций, возвращающих матричный образ поверхностей. Например, функция peaks(N) возвращает матричный образ поверхности с рядом пиков и впадин. Такие функции удобно использовать для проверки команд трехмерной графики.

Пример:

> > z = peaks(25);

> > mesh(z)

1.5.4 Сетчатый 3D-график с функциональной окраской и проекцией

Иногда график поверхности полезно объединить с контурным графиком ее проекции на плоскость, расположенным под поверхностью.