Имитационное моделирование для

Решения инженерно-вычислительных задач (методом Монте-Карло)

Подготовительная часть.

Для выполнения лабораторной работы необходимо повторить следующие вопросы:

1. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми.

2. Понятие и расчет доверительного интервала.

 

Теоретическая часть.

Пример 1. Пусть требуется определить площадь круга известного диаметра с помощью выборок из значений случайной величины. Впишем круг в квадрат; таким образом, стороны квадрата будут равны диаметру круга.

Пусть круг имеет радиус г=5 см и его центр в точке (0, 0).

Уравнение окружности будет иметь вид

x²+y²=25

Описанный квадрат определяется его вершинами (—5, 5), (5, 5), (5, -5) и (-5, -5), которые получаются непосредственно из геометрических свойств фигуры. Любая точка (х, у) внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам —5≤ х≤ 5 и —5≤ у≤ 5

Применение выборок при использовании метода Монте-Карло основано на предположении, что все точки в квадрате —5≤ х≤ 5 и —5≤ у≤ 5 могут появляться с одинаковой вероятностью, т. е. х и у распределены равномерно с плотностями вероятности

1/10, —5≤ х≤ 5

f(x)=

0 в противном случае

1/10, —5≤ y≤ 5

f(y)=

0 в противном случае

 

 

Определим теперь точку (х, у) в соответствии с распределениями f(x) и f(у). Продолжая этот процесс, подсчитаем число точек, попавших внутрь круга или на окружность. Предположим, что вы­борка состоит из п наблюдений и т из п точек попали внутрь круга или на окружность. Тогда

 

оценка площади круга = m/n(площадь квадрата)=(m/n)*(10*10)

 

Подобный способ оценивания площади круга можно обосновать тем, что в процессе получения выборки любая точка (х, у) может с одинаковой вероятностью попасть в любое место квадрата. Поэтому отношение m/n представляет оценку площади круга относительно площади квадрата.

 

Использование Matlab для постановки эксперимента.

 

Для решения данной задачи в системе Matlab можно воспользоваться следующей М-функцией:

 

function[s]=sum(n)

m=0;

for i=1: n

x=Random('unif', -5, 5);

y=Random('unif', -5, 5);

if x*x+y*y< =25

m=m+1;

end;

end;

s=(m/n)*100;

 

Здесь параметр ‘unif’ функции Random позволяет получить равномерно распределенное случайное число.

 

1. Обработка результатов

Для изучения влияния статистической ошибки при моделирова­нии задача решалась для различных значений п, равных 150, 200, 500, 1000, 2000, 5000 и 10 000. Кроме того, при каждом п было про­ведено 10 прогонов, в каждом из которых использовались различные последовательности случайных чисел из интервала [-5, 5].

 

Номер прогона	Оценки площади круга при данном числе испытаний n
		80, 5		78, 6	79, 55	78, 32
		79, 5	79, 6	78, 8	78, 85	79, 26
		81, 5	76, 6	77, 6	79, 1	77, 22
			78, 8		79, 55	79, 34
			76, 2	79, 8	79, 4	79, 22
		77, 5	76, 6	77, 6	77, 4	77, 44
		81, 5	80, 4	78, 5	78, 1	79, 28
		76, 5	81, 8	79, 7	77, 2	78, 82
		80, 5	76, 6	76, 4	77, 76	78, 74
			81, 2		78, 4	77, 74
Среднее	78, 1	78, 35	78, 38	78, 5	78, 531	78, 538
Дисперсия	23, 65556	14, 28056	5, 035111	1, 306667	0, 789499	0, 658618
	Расчетное значение	78, 54

 

В таблице приведены результаты эксперимента, исходя из которых можно сделать следующие заключения.

1. С ростом числа генерируемых точек (т. е. продолжительности прогона модели) оценки площади круга приближаются к точному значению (78, 54 см²). На рис. 2 показаны оценки площади прогонов 1 и 2 в зависимости от продолжительности прогона п. Мы видим, что сначала оценки колеблются около точного значения, а затем стабилизируются. Это условие обычно достигается после по­вторения эксперимента достаточное количество раз. Наблюдаемое явление типично для результатов любой имитационной модели. Обычно в большинстве имитационных моделей нас интересуют результаты, полученные в стационарных условиях.

Рис. 2

 

2. Влияние переходных условий уменьшается, если усреднить результаты 10 серий. Это иллюстрирует рис. 3, на котором показана зависимость среднего от п. Кроме того, на рисунках видно, что для каждого п при достижении стацио­нарных условий дисперсия убывает. При возрастании п от 150 до 200 дисперсия резко уменьшается с 23, 66 до 14, 25. За исключением этого интервала, столь резкого уменьшения дисперсии нигде больше не наблюдается. Последнее замечание указывает на то, что сущест­вует предел, за которым увеличение продолжительности прогона модели уже не дает существенного повышения точности результа­та, измеряемой дисперсией. Это замечание представляется чрезвы­чайно важным, поскольку затраты на эксплуатацию имитационной модели прямо пропорциональны продолжительности прогонов. Поэтому желательно найти компромисс между большой точностью (т. е. малой дисперсией) и небольшими затратами на процедуру получения результатов.

 

 

 

Рис.3.

 

3. Ввиду того что оценки площади имеют разброс, важно, чтобы результаты эксперимента, связанного с моделированием, были вы­ражены в виде доверительных интервалов, показывающих величину отклонения от точного значений. В рассматриваемом примере, если А представляет собой точное значение площади, а и s² — среднее и дисперсию N наблюдений, то 100 (1—α )%-ный доверительный ин­тервал для А задается как

 

 

 

Задание (по вариантам)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=sin(x)+2

y=

y=0

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

x=0

y=4

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=0

x=3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

 

Тема. Моделирование временных характеристик

динамической системы с прямыми связями (2 часа)

 

Вопросы текущего контроля знаний

1. Дайте определение передаточной функции.

2. Поясните назначение элементов структурных схем: функционального блока; узла; сумматора.

Исходные данные

Замкнутая линейная динамическая система, состоящая из двух параллельных колебательных звеньев, описывается следующей системой уравнений:

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

 

Тема. Моделирование временных характеристик

динамической системы с обратной связью (2 часа)

 

Вопросы текущего контроля знаний

3. Раскройте понятие обратной связи.

4. Дайте определение передаточной функции системы по рассогласованию.

 

Исходные данные

Замкнутая линейная динамическая система с отрицательной обратной связью, состоящая из двух параллельных колебательных звеньев, описывается следующей системой уравнений:

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

 

Тема. Моделирование временных характеристик динамической системы с перекрестными обратными связями (2 часа)

 

Вопросы текущего контроля знаний

1. Поясните принципиальные отличия классического и системного подходов.

2. Раскройте понятие перекрестной связи.

 

Исходные данные

 

Замкнутая линейная динамическая система с перекрестными обратными связями, состоящая из двух параллельных колебательных звеньев, описывается следующей системой уравнений:

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

 

Тема. Комплексное моделирование характеристик

динамической системы с прямыми связями (2 часа)

 

Вопросы текущего контроля знаний

1. Раскройте понятие «математическое моделирование».

2. Поясните сущности вещественной и мнимой частотных характеристик системы.

 

Исходные данные

Математическая модель замкнутой линейной динамической системы, состоящей из двух параллельных колебательных звеньев, представленная в типовой форме записи через передаточные функции, имеет вид:

 

 

Цель работы

Целью лабораторной работы является изучение устройства, принципа работы и математических моделей электрических, гидравлических и пневматических рулевых приводов, а также анализ статической и динамических характеристик типового рулевого привода с помощью математической модели привода, составленной в системе программирования Матлаб.

Задание

При выполнение работы необходимо:

1. Изучить устройство, принцип работы и математические модели электрических, гидравлических и пневматических рулевых приводов (РП).

2. Для заданного варианта типового РП рассчитать и построить статическую характеристику привода при линейной и нелинейной моделях РП. Сравнить решения для линейной и нелинейной моделей.

3. Используя линейную модель РП, рассчитать экспериментально три значения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ) замкнутого РП при трех заданных значениях частоты гармонического входного сигнала.

4. С помощью блока LTI view Matlab рассчитать и построить графики ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутого РП.

5. Нанести значения ЛАЧХ и ЛФЧХ, рассчитанные в п.4. Сравнить экспериментальное и теоретическое решения.

6. Используя модели, рассчитать и построить переходные процессы на выходе линейной и нелинейной моделей РП при подаче на вход моделей ступенчатого воздействия. Сравнить решения для линейной и нелинейной моделей РП.

Порядок выполнения работы

Лабораторная работа выполняется бригадами на компьютерах.

Бригада выполняет вариант задания, выдаваемый преподавателем. Варианты различаются исходными данными для проведения расчетов.

Все расчеты проводятся в системе программирования Matlab с использованием пакета визуального программирования Simulink.

Предполагается, что начальные навыки работы в Matlab и Simulink были получены студентами при выполнении первой лабораторной работы по данной дисциплине.

Требуется:

1. Рассчитать и построить статические характеристики рулевого привода при линейной и нелинейной моделях привода. Сравнить и объяснить полученные решения.

2. Определить экспериментально путем проведения компьютерного эксперимента с моделью привода значения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик замкнутого рулевого привода при трех значениях частоты гармонического входного сигнала рад/сек.

3. Рассчитать и построить логарифмические характеристики привода , град. С помощью блока LTI view. Сравнить значения характеристик, полученные в п.2 экспериментально полученные значения.

4. Рассчитать и построить переходные процессы в приводе при нелинейной и линейной моделях привода.

Методика выполнения работы

Создание модели привода

Предварительно должны быть выполнены следующие действия:

1. Запустить MATLAB

2. Открыть приложение Simulink.

3. Создать программу моделирования линейного и нелинейного РП, показанную на рисунке.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: