Векторы на плоскости и в пространстве.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Студент должен:

знать:

- определения вектора, действия над векторами;

- свойства действий над векторами;

- понятие прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве;

- правила действий над векторами, заданными координатами;

- формулы для вычисления длины вектора, угла между векторами, расстояния между двумя точками.

уметь:

- выполнять действия над векторами;

- разлагать вектор на составляющие;

- вычислять угол между векторами, длину вектора.

Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора на составляющие. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Действия над векторами, заданными координатами. Формулы для вычисления длины вектора, угла между векторами, расстояния между двумя точками.

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Начальные понятия стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Студент должен:

знать:

- основные понятия стереометрии; аксиомы стереометрии и следствия из них;

- основные теоремы о параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей;

- свойства параллельного проектирования и их применение для изображения фигур в стереометрии;

- понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью;

- основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости;

уметь:

- устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы о параллельности;

- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах для вычисления углов и расстояний в пространстве.

Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми. Параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур в стереометрии. Перпендикулярность прямой и плоскости. Связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей. Ортогональное проектирование. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

Двугранные углы.

Студент должен:

знать:

- понятие двугранного угла, угла между плоскостями;

- понятие линейного угла;

- признак перпендикулярности двух плоскостей;

уметь:

- вычислять углы между плоскостями.

Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ

Многогранники.

Студент должен:

знать:

- понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;

- определения призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;

уметь:

- вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид;

- строить простейшие сечения многогранников, указанных выше, вычислять площади этих сечений.

Понятие о геометрическом теле и его поверхности. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства. Пирамида. Свойства параллельных сечений в пирамиде. Понятие о правильных многогранниках.

Тела вращения.

Студент должен:

знать:

- понятие тела вращения и поверхности вращения.

- определения цилиндра, конуса, шара, сферы;

- свойства перечисленных выше геометрических тел;

уметь:

- вычислять и изображать основные элементы прямых круговых цилиндра, конуса и шара;

- строить простейшие сечения круглых тел, указанных выше, вычислять площади этих сечений

Поверхность вращения. Тело вращения. Цилиндр и конус. Сечения цилиндра и конуса плоскостью. Шар и сфера. Взаимное расположение плоскости и шара. Касательная плоскость к сфере.

Объёмы и площади поверхностей геометрических тел

Объемы геометрических тел.

Студент должен:

знать:

- понятия объема геометрического тела;

- формулы для вычисления объемов геометрических тел, перечисленных в содержании учебного материала;

уметь:

- находить объем прямой призмы, пирамиды, прямого кругового цилиндра и конуса, шара.

Объем геометрического тела. Объем призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

Тема 10.2 Площади поверхностей

Студент должен:

знать:

- площади поверхности геометрического тела;

- формулы для вычисления площадей поверхностей геометрических тел, перечисленных в содержании учебного материала;

уметь:

- находить площади поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.

Площадь поверхности геометрического тела. Площадь поверхности призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.

Контрольная работа №1

Примеры решения упражнений

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а) б)

Функция y = 2^tмонотонна, значит

в)

Область допустимых значений:

По свойству логарифма:

По определению логарифма:

x ₂ = -3 не удовлетворяет ОДЗ

Ответ.

г)

Область допустимых значений

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

Применим свойства логарифма

Пусть

t²= 2 + t

t²– t – 2 = 0

t₁= 2 t₂= -1

x₁= 3²x₂ = 3^-1

x₁= 9 x₂ =

Ответ: x₁= 9, x₂ = .

2) Решить неравенство:

а)

Т.к. , то функция убывает:

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ.

б)

функция

возрастает:

в)

Область допустимых значений:

Т.к. 3> 1, то функция y=loq₃t возрастает:

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ.

г)

Область допустимых значений:

Т.к. , то функция убывает:

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ.

3.Вычислить , если sin sin ,

Дано:

sin =

sin ,

Найти:

Решение: cos . Т.к.

4.Доказать тождество: а)

Что и требовалось доказать.

б)

Что и требовалось доказать.

5.Решить уравнение:

Решение:

t ₁= -

sin x = -

Корней нет, т.к.

t ₂= 1

sin x = 1

x = + 2

Ответ: x = + 2

б)

Решение:

Предположим, что cosx = 0. Тогда sinx = 0. Это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. Значит,

Разделим обе части исходного уравнения на cosx.

6.Решите задачу.

Прямоугольный треугольник с катетами 12см и 16см. Найдите расстояние от точки, до плоскости треугольника, если расстояния от этой точки до каждой вершины треугольника равны 26 см.

Дано:

АВС-прямоугольный, |AC|=16см, |BC|=12см. |SA|=|SB|=|SC|=26см Построение:

Т.к. |SA|=|SB|=|SC|, то

(по двум катетам). Значит, |AO|=|OB|=|OC|, т.е О-центр описанной окружности около

ABC, а т.к.

ABC-прямоугольный, то точка О-середина отрезка АВ. Найти: |SO|

Решение:

Рассмотрим АВС. По теореме Пифагора |AB|=

Рассмотрим SOA-прямоугольный, т.к. SO (ABC), по теореме Пифагора

|SO|=

Ответ: |SO|=24 см.

Вариант 1

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить sin( ), если sin =- , и sin = , .

5.Доказать тождество:

a) =tg3 ;

b) =0.

6.Решить уравнение:

a) 3cos²x – sin x – 1 =0;

b) cos x = sin x.

7.Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 м и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD=35 м. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

Вариант 2

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить cos( ), если cos = , и cos =- , .

5.Доказать тождество:

a) =tg5 ;

b) cos( tg ( - sin ( ) + ctg ( = tg

6.Решить уравнение:

a) 2 + cos²x – 2sin x =0;

b) sin²x – sin x cos x – 2 cos²x = 0.

7.Стороны треугольника 10 см, 17 см и 21 см. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Определить расстояние от его концов до большей стороны.

Вариант 3

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить sin( ), если sin =- , и cos =- , .

5.Доказать тождество:

a) =cos - sin ;

b) =2cos .

6.Решить уравнение:

a) sin²x – 3sin x cos x + 2 cos²x = 0;

b) ccsx + cos3x = 4cos2x.

7.Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 2 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45⁰, а между собой угол в 60⁰. Найти расстояние между концами наклонных.

Вариант 4

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить cos 630⁰– sin 1470⁰– ctg 1125⁰.

5.Доказать тождество:

a) tg = 1;

b) =tg3 .

6.Решить уравнение:

c) 2sinx + sin2x = 0;

d) 3sin ²x - 5sinx -2 = 0.

7.Стороны треугольника равны 17, 15 и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая АМ, перпендикулярная к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если длина отрезка АМ равна 20 см.

Вариант 5

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить sin2 , если cos =- , .

5.Доказать тождество:

a) 1 + cos 2 + 2 sin² = 2;

b) =ctg3 .

6.Решить уравнение:

a) 2sin²x + 3cos x = 0;

b) 2sin x + cos x = 0.

7.Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 3 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45⁰и 30⁰, а между собой прямой угол. Найти расстояние между концами наклонных.

Вариант 6

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить sin( + ), если cos =- , и sin = - , .

5.Доказать тождество:

a) 1 - cos( - sin( ) = 1;

b) sin( ) + sin( ) = cos .

6.Решить уравнение:

a) 1 + cosx + cos2x = 0;

b) sin²x + -3sin2x + 8cos²x = 0.

7.Из точки K, удаленной от плоскости на 9 см, проведены к плоскости две наклонные KL и KM, образующие с плоскостью углы в 45⁰и 30⁰соответственно, а между собой прямой угол. Найти длину отрезка LM.

Вариант 7

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить cos( ), если sin = , и sin =- , .

5.Доказать тождество:

a) =tg3 ;

b) tg(- )ctg ( + cos²( ) + sin² = 2.

6.Решить уравнениие:

a) cos( ) + 2sin( ) = 1;

b) 2sin x cos x – cos5x sin2x = 0.

7.Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 20 см проведен перпендикуляр длиной 16 см к плоскости треугольника. Найти расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

Вариант 8

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить tg585⁰– cos1080⁰+ cos1500⁰.

5.Доказать тождество:

a) = ctg2 ;

b) =tg2 .

6.Решить уравнение:

a) cos ²x – sin²x – sin4xcos2x = 0;

b) sin(270⁰- x) + sin(180⁰- x) = 0.

7.Стороны треугольника равны 15, 37 и 44 см. Из вершины большего угла треугольника восстановлен к его плоскости перпендикуляр, равный 16 см. Найти расстояние от его концов до большей стороны.

Вариант 9

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить cos870⁰– sin1200⁰– 3tg510⁰.

5.Доказать тождество:

a) = tg3x;

b) =ctg .

6.Решить уравнение:

a) cos5x + cos3x = cos4x;

b) sin²( ) + sin( ) + 1 = 0.

7.Стороны треугольника равны 51, 30 и 27 см. Из вершины меньшего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр, равный 10 см. Найти расстояние от его концов до противоположной стороны треугольника.

Вариант 10

1) Вычислить:

а)

б)

2) Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

4.Вычислить cos( ), если sin = , и cos =- , .

5.Доказать тождество:

a) =tg ;

b) =sin ;

6.Решить уравнениие:

a) 1 - cosx + sin = 0;

b) sin²x + sin2x = 3cos²x;

7.В треугольнике АВС длина отрезка АВ равна 13 см, длина отрезка ВС равна 14 см, длина отрезка АС равна 15 см. Из вершины А восстановлен к плоскости треугольника перпендикуляр AD, равный 5 см. Найти расстояние от точки D до стороны ВС.

Контрольная работа №2

Примеры решения упражнений