Особенности реализации нелинейных процессов в системах с хаотической динамикой

Очень распространенным явлением, характерным для многих нелинейных систем является хаос. Его открытие стало одним из самых замечательных событий в науке 20 – го века. Изучение хаоса, его закономерностей, путей возникновения, возможных приложений в различных областях знания привлекает внимание множества исследователей – теоретиков и экспериментаторов. Это одно из самых интересных и быстро развивающихся в современной теории колебаний и нелинейной динамики.

Рассмотрим, например, поведение системы, состоящей из шарика и двух лунок. При отсутствии внешних воздействий в такой системе существует два устойчивых состояния. Но если на такую систему заставить совершать периодические колебания с достаточно большой амплитудой, то шарик начнет беспорядочно перепрыгивать из одной лунки в другую. Поведение шарика становится непредсказуемым, случайным, спектр частот его колебаний будет широким. Возбуждение такого непрерывного спектра частот, расположенного ниже частоты внешнего воздействия, является одной из замечательных особенностей хаотических колебаний.  

Инженеры давно знали о хаосе, называя его шумом, помехами, турбулентностью, причиной случайных погрешностей при измерениях и т.п. При этом фактор неопределенности используется для оценки влияния неизвестных воздействий.

В настоящее время существуют следующие суждения о хаосе:

· хаотические движения могут возникать даже в нелинейных детерминированных системах низкого порядка, что дает надежду понять источник неупорядоченного шума и научиться управлять им;

· исследования в области нелинейной динамики принесли новые идеи и методы регистрации хаотических колебаний в физических системах и количественного анализа «детерминированного шума» с помощью таких новых мер, как фрактальная размерность, показатели Ляпунова, показатели энтропийности хаотических процессов.

Хаотические колебания в простых системах возникают только при наличии сильной нелинейности. Например, для электрических, механических, акустических, химических, биологических и других систем можно получить хаотические колебания за счет наличия нелинейных упругих элементов конструкций, индуктивностей, емкостей, нелинейного затухания, наличия мертвого хода и зазоров, нелинейных обратных связей, диодов, транзисторов и т.п.

Главная особенность нелинейных колебательных систем связана с тем, что колебания разной амплитуды в ней происходят по-разному. В общем виде это свойство можно сформулировать так, что несовпадающие фазовые траектории отвечают разной по характеру динамике: они посещают разные области фазового пространства, а нелинейность и заключается в том, что в разных областях поток траекторий устроен по-разному.

В нелинейных системах с числом динамических переменных более трех в определенных случаях может встречаться такой тип динамического поведения, когда любые два движения, характеризуемые близкими начальными условиями, постепенно уходят друг от друга так, что через определенное время они становятся существенно различными. Система при этом демонстрирует динамический хаос. Это режим, характеризующийся нерегулярным, похожим на случайный процесс, изменением динамических переменных во времени, и, при том, обусловленный сложной динамикой системы, а не шумовым внешним воздействием на нее.

В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странных аттракторов – сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из бассейна аттракторов.  

Например, один из примеров хаотической динамики возникает в задаче о конвекции жидкости в кольцевой трубке, подогреваемой снизу и охлаждаемой сверху. Поскольку нагретая жидкость легче холодной, она будет стремиться подняться вверх, а холодная – опуститься вниз. Поэтому при достаточно большой интенсивности подогрева возможно возникновение конвективного течения.

Рисунок 14.1 Зависимости динамических переменных x,y,z от времени, полученные численным интегрированием уравнений Лоренца.

 

Рисунок 14.2 Задача о конвекции в замкнутой кольцевой трубке (а), зависимости динамических переменных (б) и странного аттрактора (в).

⇐ Предыдущая45464748495051525354Следующая ⇒

Поделиться: