Устойчивость центрально сжатого гибкого стержня.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине «Сопротивление материалов»

по выполнению расчетно-графической работы

«РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ»

 

(для подготовки бакалавров всех технических направлений)

 

 

Ростов-на-Дону 

2013

 

 

УДК 620.178.32 (076.5)

Методические указания по дисциплине «Сопротивление материалов»

по выполнению расчетно-графической работы  «Расчет на устойчивость сжатых стержней». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2013. – 14с.

 

    Содержатся основные теоретические положения, примеры и порядок выполнения студентами расчетно-графической работы по сопротивлению материалов.

 

УДК 620.178.32 (076.5)

 

                                Составители: канд. техн. наук, доц. В.П. Бондаренко

                                                       канд. физ.-мат. наук, доц. Г.П. Стрельников

                                          

 

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2013г., поз.111

Подписано в печать 10.04.13. Формат 60х84/16.

Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 0, 5.

Тираж 200 экз. Заказ

 

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета.

344022, Ростов-на-Дону, Социалистическая, 162.

                                                                          

                                                                      © Ростовский государственный

                                                                         строительный университет, 2013

Устойчивость центрально сжатого гибкого стержня.

Основные понятия и формулы

Идеально прямой гибкий стержень из упругого материала, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой, при постепенной возрастании этой силы может находиться в нескольких состояниях.

Величина сжимающей силы F меньше некоторого значения F _кр, называемой критической силой. Если стержень отклонить от прямолинейного состояния равновесия какой-либо поперечной нагрузкой (рис. 1, а ), то после прекращения действия поперечной нагрузки, стержень под действием сил упругости вернется в исходное состояние равновесия, то есть прямолинейная форма равновесия в этом случае является устойчивой.

Величина сжимающей силы F равна критической силе F _кр. В идеальном случае стержень может оставаться прямолинейным, но при отклонении его дополнительной поперечной нагрузкой, он остается в изогнутом положении после прекращения действия этой нагрузки. Таким образом, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и стержень легко может перейти в другую, криволинейную форму равновесия (рис. 1, б ).

Величина сжимающей силы F больше F _кр. Стержень искривляется без какого-либо дополнительного воздействия на него. Прямолинейная форма устойчивого равновесия сменяется криволинейной, то есть стержень теряет устойчивость исходной (первоначально заданной) формы равновесия (рис. 1, в ). При этом происходит резкое нарастание прогибов и возникают значительные дополнительные деформации и напряжения изгиба.

 

                     

                 Рис.1

 

Величина критической силы в стержнях, материал которых работает в пределах пропорциональности, то есть подчиняется закону Гука, определяется по формуле Эйлера:

                                           ,                              (1)

где E − модуль продольной упругости; − минимальный момент инерции;        l ₀ = µ l называется приведенной длиной стержня, а µ - коэффициентом приведения длины, величина которого зависит от типа и расположения опор (рис. 2).

 

 

Рис. 2

При одинаковом способе закрепления концов стержня в главных плоскостях инерции и неодинаковых значениях моментов инерции относительно главных центральных осей, стержень теряет устойчивость в плоскости наименьшей жесткости.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы также называются критическими. Величина критического напряжения, материал которого работает в пределах упругости (подчиняется закону Гука), определяется по формуле:

,                                                       (2)

называемой формулой Эйлера для определения критического напряжения.

Здесь A − площадь поперечного сечения.

    Величина λ называется гибкостью стержня и для стержней, имеющих одинаковый способ закрепления концов в главных плоскостях инерции, определяется по формуле ,                                                                            (3)

где – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

    Формулы (1) и (2) называются формулами Эйлера для определения критической силы и критического напряжения. Они применимы при условии ,

(критическое напряжение не превышает предела пропорциональности, что эквивалентно условно , где - предельная гибкость материала).

    Если при потере устойчивости материал стержня работает за пределом упругости, т.е. , то величина критического напряжения и критической силы определяется по эмпирической формуле Ф.С. Ясинского:

                   ; ,                                           (4)

где a и b – коэффициенты Ясинского, значения которых для различных материалов определяются опытным путем. Так, для низкоуглеродистой стали с пределом    пропорциональности  200МПа, a = 310 МПа и b = 1, 14 МПа; а для дерева    a = 40 МПа и b = 0, 203 МПа.

    Расчет сжатых стержней на устойчивость по методу допускаемых напряжений ведется по условию устойчивости:

,                                           (5)

где - расчетное напряжение; φ - коэффициент продольного изгиба, величина которого определяется по таблицам СНиПа в зависимости от гибкости и материала стержня.

    Подбор сечения сжатого стержня ведется по формуле

                                                 (6)

методом последовательных приближений, задаваясь первоначально произвольным значением коэффициента φ (0 ≤ φ ≤ 1).

Допускаемая нагрузка ([ F ]) на стержень определяется из условия устойчивости (5)

     .                                                   (7)

Коэффициент запаса устойчивости стержня можно определить как отношение критической силы к допускаемой силе

                        

                                     (8)       

Примеры расчета сжатых стержней на устойчивость

Решение

Решение

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине «Сопротивление материалов»

по выполнению расчетно-графической работы

«РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ»

 

(для подготовки бакалавров всех технических направлений)

 

 

Ростов-на-Дону 

2013

 

 

УДК 620.178.32 (076.5)

Методические указания по дисциплине «Сопротивление материалов»

по выполнению расчетно-графической работы  «Расчет на устойчивость сжатых стержней». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2013. – 14с.

 

    Содержатся основные теоретические положения, примеры и порядок выполнения студентами расчетно-графической работы по сопротивлению материалов.

 

УДК 620.178.32 (076.5)

 

                                Составители: канд. техн. наук, доц. В.П. Бондаренко

                                                       канд. физ.-мат. наук, доц. Г.П. Стрельников

                                          

 

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2013г., поз.111

Подписано в печать 10.04.13. Формат 60х84/16.

Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 0, 5.

Тираж 200 экз. Заказ

 

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета.

344022, Ростов-на-Дону, Социалистическая, 162.

                                                                          

                                                                      © Ростовский государственный

                                                                         строительный университет, 2013

Устойчивость центрально сжатого гибкого стержня.

Основные понятия и формулы

Идеально прямой гибкий стержень из упругого материала, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой, при постепенной возрастании этой силы может находиться в нескольких состояниях.

Величина сжимающей силы F меньше некоторого значения F _кр, называемой критической силой. Если стержень отклонить от прямолинейного состояния равновесия какой-либо поперечной нагрузкой (рис. 1, а ), то после прекращения действия поперечной нагрузки, стержень под действием сил упругости вернется в исходное состояние равновесия, то есть прямолинейная форма равновесия в этом случае является устойчивой.

Величина сжимающей силы F равна критической силе F _кр. В идеальном случае стержень может оставаться прямолинейным, но при отклонении его дополнительной поперечной нагрузкой, он остается в изогнутом положении после прекращения действия этой нагрузки. Таким образом, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и стержень легко может перейти в другую, криволинейную форму равновесия (рис. 1, б ).

Величина сжимающей силы F больше F _кр. Стержень искривляется без какого-либо дополнительного воздействия на него. Прямолинейная форма устойчивого равновесия сменяется криволинейной, то есть стержень теряет устойчивость исходной (первоначально заданной) формы равновесия (рис. 1, в ). При этом происходит резкое нарастание прогибов и возникают значительные дополнительные деформации и напряжения изгиба.

 

                     

                 Рис.1

 

Величина критической силы в стержнях, материал которых работает в пределах пропорциональности, то есть подчиняется закону Гука, определяется по формуле Эйлера:

                                           ,                              (1)

где E − модуль продольной упругости; − минимальный момент инерции;        l ₀ = µ l называется приведенной длиной стержня, а µ - коэффициентом приведения длины, величина которого зависит от типа и расположения опор (рис. 2).

 

 

Рис. 2

При одинаковом способе закрепления концов стержня в главных плоскостях инерции и неодинаковых значениях моментов инерции относительно главных центральных осей, стержень теряет устойчивость в плоскости наименьшей жесткости.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы также называются критическими. Величина критического напряжения, материал которого работает в пределах упругости (подчиняется закону Гука), определяется по формуле:

,                                                       (2)

называемой формулой Эйлера для определения критического напряжения.

Здесь A − площадь поперечного сечения.

    Величина λ называется гибкостью стержня и для стержней, имеющих одинаковый способ закрепления концов в главных плоскостях инерции, определяется по формуле ,                                                                            (3)

где – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

    Формулы (1) и (2) называются формулами Эйлера для определения критической силы и критического напряжения. Они применимы при условии ,

(критическое напряжение не превышает предела пропорциональности, что эквивалентно условно , где - предельная гибкость материала).

    Если при потере устойчивости материал стержня работает за пределом упругости, т.е. , то величина критического напряжения и критической силы определяется по эмпирической формуле Ф.С. Ясинского:

                   ; ,                                           (4)

где a и b – коэффициенты Ясинского, значения которых для различных материалов определяются опытным путем. Так, для низкоуглеродистой стали с пределом    пропорциональности  200МПа, a = 310 МПа и b = 1, 14 МПа; а для дерева    a = 40 МПа и b = 0, 203 МПа.

    Расчет сжатых стержней на устойчивость по методу допускаемых напряжений ведется по условию устойчивости:

,                                           (5)

где - расчетное напряжение; φ - коэффициент продольного изгиба, величина которого определяется по таблицам СНиПа в зависимости от гибкости и материала стержня.

    Подбор сечения сжатого стержня ведется по формуле

                                                 (6)

методом последовательных приближений, задаваясь первоначально произвольным значением коэффициента φ (0 ≤ φ ≤ 1).

Допускаемая нагрузка ([ F ]) на стержень определяется из условия устойчивости (5)

     .                                                   (7)

Коэффициент запаса устойчивости стержня можно определить как отношение критической силы к допускаемой силе

                        

                                     (8)       

Примеры расчета сжатых стержней на устойчивость

123Следующая ⇒

Поделиться: