Абстрактная теория цифровых автоматов

Простейшим типом дискретных автоматов являются комбинационные схемы, выход которых в каждый момент времени определяется исключительно состояниями входов и не зависит от предыстории. В реальных системах поведение систем часто зависит не только от текущего состояния входов, но и от некоторой предыстории, т.е. от значений сигналов, поступавших на вход системы ранее. Такие системы называют " системами с памятью". Математической моделью систем с памятью является абстрактный автомат, определяемый как кортеж S=(A, Z, W, d, l, a₀), у которого

· A={a₀, a₁, …, a_m, …, a_M} - множество состояний (алфавит состояний), содержащее не менее двух элементов;

· Z={z₁, z₂, …, z_F} - множество входных сигналов (входной алфавит);

· W={w₁, w₂, …, w_G} - множество выходных сигналов (выходной алфавит);

· d: A´ Z ®A - функция переходов, реализующая отображение пары " состояние - входной сигнал" в некоторое состояние автомата, т.е. d(a_m, z_f) = a_s, a_m, a_s Î A;

· l: A´ Z ® W - функция выходов для автомата Мили, она ставит в соответствие паре " состояние автомата - входной сигнал" некоторый выходной сигнал, т.е. l(a_m, z_f) = w_g;

· l: A®W функция выходов для автомата Мура, т.е. l(a_m)=w_f,  w_f Î W;

· а₀ - начальное состояние автомата.

Рисунок 2 Абстрактный автомат

Абстрактный автомат, рис. 1, имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t=0, 1, 2, … В каждый момент t дискретного времени автомат находится в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата А, причем в начальный момент он всегда находится в состоянии а₀. В момент времени t автомат воспринимает на входе букву входного алфавита z(t)Î Z, находясь в состоянии a(t). В соответствии с функцией переходов автомат переходит в момент времени (t+1) в состояние a(t+1)= d(a(t), z(t)) и вырабатывает выходной сигнал z(t) в соответствии с функцией выходов: z(t)=l(a(t), z(t)) в случае автомата Мили, и z(t)=l(a(t)) в случае автомата Мура. Таким образом, автомат S отображает множество слов входного алфавита Z в множество слов выходного алфавита W. 

В абстрактном автомате мы отвлекаемся от его структуры, рассматривая его как " черный ящик" (принятый в кибернетике подход, когда основное внимание уделяется поведению системы относительно внешней среды). 

Автомат называется конечным, если конечны множества A, Z, W. Далее мы будем рассматривать только конечные автоматы. Автомат называется полностью определенным, если он определен всюду на множестве A´ Z. В противном случае автомат называется частичным.

Чтобы задать автомат, необходимо описать все компоненты вектора S=(A, Z, W, d, l, a₀), т.е. входной и выходной алфавиты, алфавит состояний, функции переходов и выходов. Для описания автомата наиболее часто используются табличный и графический способы задания. Наиболее удобны  отмеченные таблицы переходов-выходов, Таблицы 17, 18.

 

Таблица 17 Отмеченная таблица переходов-выходов для автомата Мили     A Z a0 a1 a2 z1 a1/w1 a0/w3 a2/w2 z2 a2/w2 a1/w1 a0/w1 Таблица 18 Таблица переходов-выходов для автомата Мура     A Z a0 a1 a2 z1 a2 a0 a1 z2 a1 a2 a0 W w1 w2 w3

 

Для частичных автоматов функции переходов и выходов определены не для всех пар (a_m, z_f). В клетке неопределенности ставится прочерк.

Автомат называется детерминированным, если выполнено условие однозначности переходов. Автомат, заданный таблицей переходов, всегда детерминированный. В графе детерминированного автомата из одной вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же выходным сигналом.

Выделение в множестве состояний начального состояния объясняется чисто практическими соображениями, связанными с необходимостью фиксировать условия начала работы дискретного устройства. Автомат с выделенным начальным состоянием называется инициальным.

Если автомат задан таблицей или графом, задано входное слово из букв входного алфавита, то выходное слово однозначно определено, если существует последовательность состояний переходов автомата, обусловленная последовательностью входных сигналов. Последнее состояние в этом ряду, обусловленное приходом на вход последней буквы входного слова, называется заключительным состоянием автомата.

Выходной сигнал в автомате Мили зависит как от входного сигнала, так и от текущего состояния автомата. Поэтому, если заключительное состояние автомата определено, то выходной сигнал на последнюю букву входного слова появляется в момент появления этой буквы.

Выходной сигнал автомата Мура зависит только от текущего состояния автомата. Поэтому в начальный момент времени выход автомата не связан со значением входного сигнала, так как начальное состояние автомата никак не связано со значением входного сигнала. Выходной сигнал автомата в ответ на последнее входное слово появляется в следующем такте автоматного времени после прихода последнего входного слова, если определено заключительное состояние, соответствующее входному слову.

Абстрактный автомат может быть также задан матрицей соединений. Матрица соединений абстрактного автомата является квадратной и содержит столько столбцов (строк), сколько различных состояний имеет рассматриваемый автомат. Каждый столбец (строка) матрицы соединений помечается буквой состояния автомата. Если автомат инициальный, то первый слева столбец и первая сверху строка матрицы помечаются буквой его начального состояния. На пересечении i-й строки и j-го столбца записывается входной сигнал или дизъюнкция входных сигналов, инициирующих переход из состояния a_i в состояние a_j. Если матрицей соединений задается автомат Мили, то рядом с буквой входного сигнала в скобках указывается имя выходного сигнала. В случае автомата Мура выходными сигналами помечаются состояния автомата, идентифицирующие строки матрицы соединений.

При графическом способе задания автомат представляется орграфом. Состояниям автомата соответствует множество вершин графа, а дугами обозначаются переходы в автомате. Входные сигналы, инициирующие переход, и выходные сигналы, вырабатываемые на этом переходе (для автомата Мили), помечают дугу соответствующего перехода. В графе автомата Мура входные сигналы помечают дуги, а выходной сигнал записывается непосредственно у вершины, обозначающей состояние автомата. Это отражает тот факт, что в автомате Мура входной сигнал определяется только текущим состоянием автомата и вырабатывается в течение всего времени, пока автомат находится в этом состоянии.

Разработка реальных автоматов требует их задания вначале на абстрактном уровне с последующим переходом на структурный уровень, учитывающий используемые в автомате логические элементы и связи между ними.

В заключение определим синхронные и асинхронные автоматы.

Состояние автомата называется устойчивым, если для любого входа z_fÎ Z такого, что d(a_i, z_f) = a_s, имеет место d(a_s, z_f) = a_s. Это означает, что если автомат пришел в некоторое состояние под воздействием входного сигнала z_f, то выйти их этого состояния он может только при поступлении на вход другого сигнала. Автомат называется асинхронным, если каждое его состояние устойчиво. В противном случае автомат называется синхронным.

Все построенные на практике автоматы - асинхронные, устойчивость их состояний достигаются каким-либо способом, например, введением сигналов синхронизации.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: