ПЕЩЕРА ОСВЕЩАЕТСЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВОМ АВТОМАТИЧЕСКИ,

если вы правильно ответите на следующий вопрос.

Напишите два десятизначных числа, из которых каждое содержит все десять цифр. Одно из них должно быть наибольшим из возможных, а второе — наименьшим.

 

Сущие пустяки! Я тут же написал наибольшее десятизначное число, состоящее из всех десяти цифр, — сперва цифру 9, а за ней все подряд в обратном порядке: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 и 0. Так я получил наибольшее число: девять миллиардов восемьсот семьдесят шесть миллионов пятьсот сорок три тысячи двести десять. Большего числа из десяти цифр не составить. Ну, а с наименьшим дело обстояло ещё проще. Надо было только написать те же цифры в обратном порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Я так и поступил, но… лампочка в пещере почему-то не зажглась.

— А это потому, — вмешалась неугомонная Единичка, — что у вас получилось не десяти-, а девятизначное число. Ведь цифра нуль перед числом ровно ничего не значит!

Что ж, на этот раз она оказалась права. Я немедленно переставил нуль на конец числа: 1234567890. Да будет свет! Но света не было. Очевидно, авария на электростанции. Так мы в пещеру и не попали. Я расстроился, а тут ещё Единичка (хорош Пятница!) стала приставать со своими вопросами. Ей, видите ли, понадобилось узнать, сколько вообще можно написать десятизначных чисел из всех десяти цифр!

Этот вопрос требует длительного вычисления. Думаю, что на него может ответить только быстродействующая вычислительная машина. А так как я забыл её захватить, придётся Единичке подождать, пока я вычислю сам.

 

 

Шестое заседание КРМ

 

должно было состояться за городом. Рано утром члены клуба собрались у пригородных касс Казанского вокзала. Отправиться решили на 42-й километр, где, по сведениям Севы, раскинулся большой сосновый бор.

— Отлично! Будет где заблудиться! — сразу же сообразил Нулик.

То же самое с ещё большим основанием мог бы сказать Пончик. Во время нашей прогулки он всё время куда-то исчезал, а потом неожиданно вылетал из-за какого-нибудь куста, держа в зубах то пустую консервную банку, то оторванную подмётку. Нулика эти находки раздражали: ему никак не удавалось почувствовать себя на необитаемом острове.

— И зачем только я перечитал вчера «Робинзона Крузо»! — сетовал президент. — Зачем переименовал Пончика в Пятницу!

В конце концов новоиспечённого Пятницу привязали к дереву, и мы занялись разбором главы, которую успели прочитать дорогой.

— По ошибкам Магистра огонь! — скомандовал Сева. — Слово предоставляется мне. Первая ошибка состоит в том, что, обратившись к астрономии, Магистр попал пальцем в небо. Ведь Зодиак вовсе не созвездие, а совокупность двенадцати созвездий. Они образуют небесный пояс, по которому Солнце путешествует в течение года. Вернее, нам кажется, что оно путешествует. И в каждом из двенадцати созвездий оно задерживается примерно один месяц. А «зодиак» по-гречески значит «звериный круг».

— Ой! — обрадовался Нулик. — Прямо небесный зоопарк!

— Ничего удивительного, — объяснил Сева. — В древности людям казалось, что некоторые созвездия напоминают то льва, то рыбу, то скорпиона… Отсюда и названия: Овен (то есть баран), Телец, Рак, Лев, Скорпион, Рыбы…

— А в каком из созвездий Зодиака находится звезда Проксима? — спросила Таня.

— В том-то и дело, что ни в каком, — усмехнулся Сева. — Проксима входит в созвездие Центавра, которое не имеет к Зодиаку никакого отношения.

— А Центавр — тоже зверь? — спросил Нулик.

— Как тебе сказать… — замялся Сева, — наполовину. Были такие существа в древнегреческой мифологии: центавры — иначе кентавры. Торс у кентавра человеческий, а всё остальное — лошадиное.

 

— Гибрид, — сказал Нулик.

— Вот в созвездии этого гибрида и находится маленькая, еле заметная звёздочка Проксима. Вероятно, поэтому Магистр сказал, что она самая далёкая. На самом деле Проксима среди звёзд — наша ближайшая соседка. Недаром «проксима» по-гречески и значит «ближайшая». И свет от неё идёт к нам не миллиарды лет, как утверждал Магистр, а всего примерно четыре с четвертью года.

Нулик только свистнул.

— Вот так «ближайшая»! Сколько же до неё километров?

— А ты сосчитай, — поддразнила Таня. — Как известно, свет за одну секунду пробегает 300000 километров. Сколько же километров проделает он за четыре с четвертью года?

— Для сравнения не мешает тебе знать, — добавил Сева, — что от Солнца до нас всего каких-нибудь 150 миллионов километров, и свет пробегает этот путь за 8 минут.

— Вот именно, за 8 минут, — подхватила Таня, — а не за 8 секунд, как думает наш рассеянный математик…

— Не пора ли нам, однако, приземлиться и перейти к разбору Магистрова дома, — вмешался Олег.

— Не успел человек построить дом, а его уже разбирают, — сострил Нулик.

Таня засмеялась:

— Кто ж виноват, что бедный строитель запутался в трех соснах?

— Что — в трех! Он даже в двух запутался, — добавил Сева, никогда не упускавший возможности скаламбурить. — Ведь Магистр утверждает, что можно построить не только трехстенный, но и двухстенный дом.

— К счастью, он отказался от своей мысли, — сказала Таня, — поэтому займёмся наконец трехстенным домом. Единичка, конечно, была права, когда говорила, что именно медиана, а не средняя линия, делит пополам площадь треугольника.

— Медиана! Средняя линия! — негодовал Нулик. — Нельзя ли выражаться яснее?

Таня подобрала несколько прутиков, выложила треугольник, а потом проложила прутик из одной вершины треугольника до середины противоположной стороны.

— Вот это и есть медиана треугольника, — сказала она.

— Ага, — сообразил Нулик, — выходит, таких медиан можно провести в треугольнике три, из каждой вершины по одной.

— Правильно, — подтвердила Таня и тем же прутиком соединила середины двух сторон треугольника.

— А это уж средняя линия! — догадался Нулик и тут же сам проложил две другие средние линии в треугольнике.

— Как видишь, ничего трудного, — сказала Таня. — Тогда продолжим. Магистр спутал равные треугольники с равновеликими. Ведь равные треугольники, если их наложить один на другой, обязательно совпадут, а для равновеликих это совсем не обязательно. Обязательно у них должны быть равны только площади. А теперь. Нулик, думаю, ты и сам докажешь, что не средняя линия, а именно медиана делит треугольник на два равновеликих.

 

Президент был польщён, но всё-таки отложил доказательство до другого раза. Он, видите ли, проголодался… Пончик, подтверждая тонкий намёк своего хозяина, жалобно заскулил…

Мы извлекли из рюкзаков свои припасы и принялись за еду.

Что может быть приятнее завтрака в лесу? Ты сидишь на земле, в неудобной позе, ешь холодные сосиски, запиваешь лимонадом прямо из бутылки, а над тобой качаются зелёные ветки и вовсю заливается птичья самодеятельность…

«Но лесенка кончается, ведь есть всему конец…» Так, кажется, поётся в известной детской песне? Перерыв кончился, заседание возобновилось.

Нам предстояло разобраться в самом запутанном вопросе — о наскальных надписях, которые Магистр читал так, а Единичка почему-то этак. Кто же из них был прав?

На этот раз объяснять пришлось мне.

— Вся штука в том, что Магистр и Единичка читали наскальные числа в разных системах счисления. Магистр — в десятичной, а Единичка — в двоичной, то есть так, как было нужно.

— И как только она догадалась? — удивился Сева.

— На то она и Единичка, — ответил я, не моргнув глазом.

— А что прикажете делать нам, простым смертным?

— Хорошо, — сжалился я. — Давайте разберёмся. По-моему, сами названия говорят о том, что в десятичной системе участвуют все десять цифр, а в двоичной — только две. Как мы записываем числа в десятичной системе? Мы разбиваем их на разряды. Разряд единиц, разряд десятков, сотен, тысяч и так далее. При этом каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего. Вот, например, число 425. Что это такое? Это сумма пяти единиц, двух десятков и четырех сотен. Значит, это число можно написать и так:

4·100 + 2·10 + 5 = 425.

А если вспомнить, что 100 равно десяти в квадрате, десять равно десяти в первой степени и, наконец, единица равна десяти в нулевой степени (ведь всякое число в нулевой степени равно единице), то число 425 может быть записано итак:

4·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ = 425.

Точно так же записываются числа в двоичной системе, только место десятков здесь занимают двойки в тех же степенях. Так, число, которое в десятичной системе читается как десять, в двоичной читается как два. Ведь в этой системе

10 = 1·2¹ + 0·2⁰, то есть двум.

А число 110 в десятичной системе не что иное, как 6 в двоичной системе:

110 = 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰, то есть шести.

Ну, а теперь вы и сами разберётесь в разночтениях Магистра и Единички.

— Забавная система, — сказал Сева.

— Не только забавная, но и полезная. Ты ведь уже знаешь, что двоичная система принята в большинстве быстродействующих счётных машин.

— Это и я знаю, — обрадовался Нулик. — Нуль означает «нет», а единица — «да»…

Впрочем, президент не стал вдаваться в подробности. Он решил записать число 29 в двоичной системе и добился-таки своего, написал: 11101.

В самом деле: 11101 = 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰, а это в сумме даёт 29.

Ребята наперебой стали переводить числа из одной системы в другую. Похоже, этому не было бы конца, если бы Олег не вернул чересчур увлекающихся клубменов к их основной деятельности.

— Оказывается, — сказал он, — Магистр не совсем безнадёжен. Он ещё не забыл признака делимости чисел на 11. Но и тот запомнил не до конца. Он отделил цифры, стоящие в числе на нечётных местах, от цифр, стоящих на чётных. При этом суммы их оказались разными. Из этого Магистр заключил, что число на 11 не делится. А ему надо было вычислить разность между этими двумя суммами. Ведь если эта разность делится на 11, то и все число непременно тоже разделится на 11.

— Проверим, — сказал Сева по примеру Нулика. — Число, которое Магистр прочитал на камне, — 6 111 116. Сумма цифр на нечётных местах 6+1+1+6 равна 14, а сумма цифр начётных местах 1+1+1 равна трём. Разность между 14 и 3 равна 11. Ну, а уж 11 на 11 обязательно разделится. Стало быть, и все число на 11 делится. 6 111 116: 11 = 555 556.

Заливисто залаял Пончик.

— Шесть часов, — глубокомысленно заметил Нулик. — Он всегда лает в это время.

— Не собака, а хронометр! — сказал Сева, взглянув на часы. — Пора возвращаться…

Ребята быстро прибрали лужайку (не оставлять же после себя мусор!), и мы двинулись к станции.

По дороге нам предстояло обсудить ещё один каверзный вопрос, который был задан Магистру при входе в пещеру: каковы наибольшее и наименьшее десятизначные числа, состоящие из всех 10 цифр?

— На этот вопрос отвечу я, — сказал президент.

Желание понятное: ведь камнем преткновения для Магистра на этот раз был нуль. Определяя наименьшее число, незадачливый математик подставлял нуль то в начало числа, то в конец, и все без толку. Нулик же поставил нуль тотчас же после единицы и получил искомое: 1023456789 — один миллиард двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять. Лихо!

— Могу не только наименьшее, но и наибольшее написать! — расхвастался президент. — Вот, пожалуйста: 9876543210…

— Стоит ли? — возразил Олег. — Ведь это число и сам Магистр записал правильно. Лучше уж подсчитай, сколько вообще можно составить десятизначных чисел из всех десяти цифр. Ведь на этот вопрос Единички Магистр так и не ответил.

— Вот ещё! — заартачился президент. — Он не ответил, а я — мучайся.

На его счастье, как раз в это время подошла электричка.

Всю дорогу Нулик распевал какие-то карликанские песни, всем своим видом демонстрируя полную независимость от Магистра и его диссертации. И только при выходе на вокзальную площадь малыш вдруг спохватился:

— Чуть не забыл спросить: что такое софизм?

— Опоздал, брат, — сказал я. — Заседание закрыто. Так что уж подожди до следующего раза.

 

В бочке — по океану!

 

Мы с Единичкой очень устали. Не столько от хождения по гористому острову, сколько от бесчисленных загадок, которые было не так легко разгадать. Даже мне. А ведь я умею рассуждать логически и, кроме того, великолепно знаю математику. Не то что Единичка. Впрочем, что с неё взять? Одно слово — Единичка! Пристала сегодня с вопросом: как побыстрее вычислить в уме разность квадратов двух чисел? И назвала два числа: 500 и 498. Найти разность их квадратов ничего не стоит! Беру сперва разность этих чисел: 500 минус 498 равно двум. А затем возвожу двойку в квадрат. Вот вам и ответ: четыре. Но Единичка, вместо того чтобы восхититься моей находчивостью, потянула меня в Музей самообслуживания — остров-то ведь необитаемый! И вот там мы увидели необыкновенный экспонат.

Представьте себе на маленьком зеркальце три крохотные чёрные точки. Когда мы посмотрели на них в лупу, то увидели, что это мухи, вернее, мушки — таких маленьких я никогда не видел! Но что произошло дальше… Единичка чихнула, и три мушки мгновенно поднялись в воздух. Первая полетела прямо на восток, вторая взмыла вверх по какой-то замысловатой спирали, а третья принялась кружиться вокруг острова — ни дать ни взять живой спутник! Но самое главное — они летели с различными скоростями. Я уже хотел наброситься на Единичку, ведь это по её милости мушки сорвались с места. Но, оказывается, Единичка тут ни причём: так было задумано. Рядом с зеркалом висела табличка с таким текстом: «Вычислите, через сколько минут после старта три мухи снова окажутся в одной плоскости, если скорость первой мухи вдвое больше скорости второй и втрое больше скорости третьей». Вот так вопрос! Как же я могу вычислить, через сколько времени мухи окажутся в одной плоскости, если скорости их неизвестны? Видимо, тут дирекция музея что-то напутала. Правда, Единичка пыталась ответить на этот вопрос, но сказала такую нелепость, что мне и повторять неловко.

Мы двинулись к выходу. Тут нас ожидал сюрприз. Каждому посетившему Музей самообслуживания разрешалось самому взять на память любую из медалей, развешенных тут же, на доске. На этих медалях были изображения учёных. На каждой стороне разные. Скажем, с одной стороны Эвклид, а на обороте Лобачевский. Или: Птолемей и Коперник, Исаак Ньютон и Альберт Эйнштейн. Но почему эти пары поместили на одну медаль, не понимаю! Что за идея — объединить Эвклида с Лобачевским, Птолемея с Коперником или Ньютона с Эйнштейном? Может, у дирекции не хватило материала и она решила использовать, так сказать, оборотную сторону медали?

Но хуже всего то, что снять эти медали с доски было совершенно невозможно: они висели на разноцветных ленточках, прикреплённых к доске. Чтобы снять медаль, ленточку надо было разрезать. Правда, тут же на столе лежали ножницы. Но какие-то странные: они легко раскрывались, а соединить их снова не было никакой возможности. К счастью, Единичка нашла инструкцию, где говорилось, что ножницы следовало раскрыть на определённый угол, притом с абсолютной точностью! Этот угол должен быть меньше развёрнутого угла ровно в «пи» раз.

Ну, Единичка, конечно, стала расспрашивать, что значит в «пи» раз? В школе она этого ещё не проходила. Я разъяснил, что «пи» — это греческая буква, вроде нашего русского «пэ». Буквой «пи» принято обозначать угол в 180 градусов. А так как развёрнутый угол тоже равен ста восьмидесяти градусам, то и выходит, что 180, делённое на «пи» (то есть на 180), равно единице! Значит, половинки ножниц нужно раздвинуть точно на 1 градус! Я так и поступил, но ножницы не сработали, вероятно, испортились! Пришлось уйти безо всяких сувениров. Жаль!

 

Я уже взялся за ручку двери, но дверь оказалась запертой. На ней висел замок. А в него была засунута свёрнутая трубочкой бумажка. Единичка немедленно (она все делает немедленно) прочитала: «Дверь ведёт на Апорийскую дорогу. И хоть длина дороги всего-навсего 1 километр, никто за 25 веков не смог пройти по ней до конца».

А на обороте было написано: «Ключ находится у сторожа, в городе Элее. Номер телефона: одна вторая. Вызвать Зенона. Просят зря не беспокоить».

Что значит «зря не беспокоить»? И что это за сторож, который живёт в другом городе? Пришлось позвонить этому Зенону. И вот какой разговор у меня с ним произошёл.

— Товарищ Зенон, — спросил я, — почему это никто не смог одолеть один несчастный километр вашей Апорийской… или как она там называется, дороги?

— Ясно почему, — ответил Зенон. — Надеюсь, Магистр (подумайте, он сразу узнал меня по голосу!), вы согласитесь, что тому, кто хочет дойти до конца пути, никак не миновать его середины?

— Что за вопрос! — возмутился я. — Как же можно дойти до конца, не пройдя середины?!

— В том-то и беда, — вздохнул Зенон. — Ведь когда вы дойдёте до середины пути, у вас останется ещё полпути. А у этого полпути тоже есть своя середина. И только вы дойдёте и до этой середины, как перед вами появится новая середина — середина оставшейся четверти пути. И так всё время! Сколько бы вы ни шли, перед вами всегда будет оставаться отрезок пути, а у него своя середина. Но вы же сами согласились, что, не одолев середины, нельзя дойти до конца. Вот и выходит, что одолеть Апорий скую дорогу невозможно!

Я так разволновался от этих рассуждений Зенона, что не сумел их опровергнуть. А тут ещё нас разъединили. Ох уж эти автоматические телефонные станции!

Но что было дальше!.. Единичка вытащила из своего кармана гвоздь (прямо как Том Сойер!), поковыряла гвоздём в замке, и… замок открылся! Я ахнуть не успел, как она выбежала на «непроходимую» Апорийскую дорогу и через несколько минут закричала издалека: «Я здесь! На самом конце!»

Молодец девчонка! Пристыдила-таки этого заумника Зенона.

Нет, что ни говорите, а странный остров ОАЗИС! Загадок на нём действительно много, а вот софизмов… что-то я ни одного не приметил. Может быть, эти самые софизмы перекочевали на другой остров?

Единичка стала укладывать вещи, а я поспешил на берег океана, чтобы найти какой-нибудь подходящий транспорт.

О радость! В нескольких метрах от меня, выстроившись в шеренгу вдоль берега, покачивались на воде двенадцать пустых бочек. Выбирай любую и плыви по воле волн! Авось куда-нибудь да выплывешь! Больше всего мне понравилась ярко-красная бочка — она была четвёртой слева.

Прибежавшая на мой крик Единичка запрыгала от восторга.

— Поплывём в этой, восьмой, красной бочке! — закричала она.

— Не в восьмой, а в четвёртой, — поправил я. — Это четвёртая бочка красная.

— Четвёртая слева, но зато восьмая справа, — возразила Единичка.

Выходит, из двенадцати бочек мы с Единичкой выбрали одну и ту же. Через минуту вещи наши были на судне и… Но об этом уж в следующий раз.

 

 

Седьмое заседание КРМ

 

началось без Пончика. Он вернулся к своим почтальонским обязанностям и отправился в Карликанию с письмом к Нуликовой маме-Восьмёрке.

— Конечно, волноваться обо мне маме не с чего, — сказал Нулик, — ведь я среди друзей! Но всё-таки не мешает написать ей, — она, наверное, так соскучилась…

На этом лирическая часть закончилась, и мы перешли к деловой.

— Как ты думаешь, Нулик, — спросила Таня, — если в фразе переставить слова, смысл её от этого изменится?

— Не думаю, — сказал Нулик. — «Я люблю мороженое» или «мороженое я люблю» — какая разница?

— Смысл, конечно, остался тот же, — согласилась Таня, — правда, несколько изменилась интонация. А если сказать «я не совсем понял правила деления» или «я совсем не понял правил деления» — это одно и то же?

— Что за экзамен? — возмутился Нулик.

— Не экзамен, а наглядный пример. Магистр спутал разность квадратов с квадратом разности двух чисел. В первом случае нужно сначала возвести каждое число в квадрат, а уж затем вычислить разность этих квадратов. Во втором — наоборот: надо сперва взять разность чисел, а уж потом возводить её в квадрат. А это совсем не одно и то же. Вот и Магистр, вместо того чтобы вычислить разность квадратов двух чисел — 500 и 498, вычислил квадрат их разности. Он вычел из первого числа второе, получил 2 и возвёл эту двойку в квадрат. Так у него в ответе и получилось 4.

— Понял! — закричал Нулик. — Надо было сперва возвести в квадрат 500, потом 498, а затем из одного квадрата вычесть другой. Только… не так это легко возвести в квадрат 498.

— А этого и не требуется, — сказала Таня. — Задача решается гораздо проще. Сперва сложим оба числа. Получим 998. Затем вычтем из одного числа другое. Получится 2. А теперь перемножим оба результата. Ответ — 1996. Просто и красиво.

 

— А главное, никакой затраты умственного труда! — восхитился Нулик и тут же принялся проверять Танино правило.

В общем, Нулик способный ребёнок, только очень уж самоуверенный…

— Ну и неуч этот Магистр! — негодовал он. — Не знать такого простого правила! А Единичка — молодец: сумела поддеть его на крючок! Я думаю, в музее она чихнула нарочно, чтобы мухи разлетелись.

— Вот мы сейчас к этим мухам и перейдём, — сказала Таня.

— Ну; здесь уж вам никакие правила не помогут! — позлорадствовал Нулик. — Раз три мухи разлетелись кто куда горазд, да ещё с разными скоростями, тут даже академик не скажет, когда они снова окажутся в одной плоскости.

— Хотя я и не совсем академик, — прищурился Сева, — но знаю всё-таки, что куда бы три мухи ни улетели, они всегда, каждое мгновение будут оставаться в одной общей плоскости. Это же основа геометрии!

— Интересно! — хихикнул президент. — Выходит, геометрия — наука о мухах.

— Уж ты скажешь! Не о мухах, а о точках, линиях, плоскостях. Просто муху можно условно принять за точку.

— Смотря какую муху! — не унимался Нулик.

— Прошу прекратить прения, — сказал Олег. — Переходим к вопросу о волшебных ножницах.

Сева поднял руку:

— Ножницы не сработали потому, что Магистр не знал, что такое «пи». По его мнению, греческой буквой «пи» обозначают 180 градусов, а на самом деле…

— На самом деле буквой «пи» обозначают отвлечённое число, — перебил Нулик. — Это и я знаю. Оно равно… равно…

— Президент хочет сказать, что число «пи» равно отношению длины любой окружности к её диаметру, — подсказал Олег.

Нулик важно кивнул:

— Вот именно.

— А ещё он хочет сказать, что отношение это равно приближённо трём целым и четырнадцати сотым, — насмешливо сказала Таня.

— Нечего подшучивать, — обиделся Нулик. — Я и вправду это хотел сказать.

Олег примирительно погладил его по плечу:

— Хитрюга! А знаешь ли ты, что ещё Архимед нашёл, что длина окружности относится к своему диаметру, как ²²/₇? И отношение это точнее, чем 3,14… Ладно, ладно, не дуйся. Скажи-ка лучше, на сколько же градусов должен был Магистр раскрыть ножницы, чтобы они сработали?

— Надо было 180 разделить на 3,14, — сказал президент, ничуть не растерявшись. — Получится примерно 57 градусов 17 минут 45 секунд. А вовсе не 1 градус, как это думал Магистр.

 

— Умница, — похвалила Таня. — Добавь ещё, что угол этот называется радианом.

— Да, да, — подтвердил Нулик, — градианом.

Никак не пойму, чего больше в этом ребёнке — остроумия или невежества?

После небольшого перерыва мы перешли к тому вопросу, который задал себе наш рассеянный учёный в Музее самообслуживания: почему на медалях с каждой стороны изображены разные учёные? Но если Магистра это озадачило, то меня нисколько.

Я начал свой рассказ с медали, на которой изображены Эвклид и Лобачевский.

Великий древнегреческий математик Эвклид жил в Александрии в годы царствования Птолемея I, в начале III века до нашей эры. В тринадцати томах своего знаменитого труда «Начала» Эвклид изложил основы геометрии, той самой науки, которую изучают в школе. Школьники хорошо знают, как порой сложны бывают доказательства теорем. Вот и царь Птолемей тоже спрашивал Эвклида, не может ли он упростить свои рассуждения и пойти по более лёгкому пути? Говорят, будто Эвклид ответил на это, что в геометрии нет царских дорог.

В основу геометрии Эвклид положил несколько постулатов, иначе говоря, аксиом. А аксиома, как известно, — это то, что принимается без доказательства. Так вот, с помощью эвклидовых аксиом можно доказать любую геометрическую теорему.

Но есть среди этих аксиом одна, пятая по счёту, которая не столь уж бесспорна, чтобы принимать её без доказательства. С другой стороны, доказать её не смог пока никто. Так же, впрочем, как и опровергнуть. Но самое главное, что многие теоремы геометрии Эвклида могут быть доказаны и без этой аксиомы.

Что же утверждает Эвклид в своём пятом постулате? Он утверждает, что через какую-либо точку можно провести только одну прямую, которая не пересекалась бы с другой прямой, то есть была бы ей параллельна. И с первого взгляда действительно кажется, что иначе и быть не может.

Но вот в XIX веке другой великий математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, дерзнул выдвинуть другой постулат, прямо противоположный эвклидовому: через любую точку можно провести не одну, а сколько угодно прямых, которые не пересекались бы с другой прямой. Все эти прямые он тоже назвал параллельными.

Невероятно? Противоречит здравому смыслу? Но всегда ли следует этому здравому смыслу доверять? Бывает, что он нас и подводит. Многие открытия были сделаны только потому, что учёные сумели пойти против привычных, общеизвестных, общепринятых истин, которые вовсе не всегда так уж безупречны и неуязвимы.

Так вышло и с постулатом Лобачевского: он положил начало новой геометрии, которую, в отличие от эвклидовой, стали называть неэвклидовой. И хотя сам Лобачевский называл свою геометрию воображаемой, его «воображаемая» геометрия нашла огромное практическое применение в современной физике.

— Надеюсь, теперь вам ясно, — заключил я, — почему Эвклид и Лобачевский оказались на двух сторонах одной медали?

Ребята молча кивнули.

— Прекрасно. Тогда обратимся к другой паре: Птолемей — Коперник.

Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (не смешивайте его, пожалуйста, с царём Птолемеем) жил во II веке нашей эры. Астрономия того времени считала, что Земля неподвижна, а все планеты, Луна и Солнце обращаются вокруг неё.

Птолемей тоже разделял эту неверную точку зрения и всё же умудрился с помощью сложнейших геометрических построений достаточно точно рассчитать движение планет по небу. Его вычислениями и таблицами пользовались астрономы в течение многих столетий. И только в середине XVI века великий польский астроном Николай Коперник создал новую систему мироздания, поместив в центре её не Землю, а Солнце.

Коперник буквально перевернул систему Птолемея, поставил её с головы на ноги. Он утверждал, что не Солнце обращается вокруг Земли, а Земля и все другие планеты обращаются вокруг Солнца. К сожалению, Коперник не до конца разобрался в строении Вселенной (да и можно ли вообще разобраться в этом до конца?). Он считал, что Солнце — не только центр нашей Солнечной системы, но и центр всей Вселенной, а звезды прикреплены к небесному куполу и вместе с ним обращаются вокруг Солнца.

С тех пор геоцентрическая система Птолемея уступила место гелиоцентрической системе Коперника — системе, где в центре не Земля (по-гречески «гео»), а Солнце («гелиос»). Но на самом деле Солнце — не центр Вселенной, а всего лишь маленькая звёздочка среди миллиардов других звёзд. Звезды эти объединяются в одно общее семейство, которое называется Галактикой. А таких галактик тоже великое множество. И все они составляют новое, ещё более обширное семейство — Метагалактику. Но и это ещё не конец…

Ясно, что всего этого Коперник в то далёкое время знать не мог. Так что не будем предъявлять к нему непосильных требований. Вполне достаточно и того, что он сделал. И хотя его представление о Вселенной прямо противоположно Птолемееву, нельзя отрицать, что учения Птолемея и Коперника — две стороны одной медали. Кто знает: не было бы Птолемея, может быть, не было бы и Коперника!

— Э, нет! — не согласился со мной Сева. — Была бы Вселенная, а Коперник найдётся!

— Перейдём к третьей медали, — продолжал я, — Ньютон — Эйнштейн.

Если в XVI веке Коперник установил, что Земля и планеты движутся вокруг Солнца, а в XVII веке немецкий астроном Иоганн Кеплер открыл законы этого движения, то в конце того же XVII века гениальный английский учёный Исаак Ньютон завершил их труды. Ньютон объяснил, почему планеты движутся именно так, а не иначе. Он открыл закон всемирного тяготения, то есть доказал, что все тела взаимно притягиваются. И ещё он установил, что притягиваются они тем сильнее, чем массивнее, и тем меньше, чем дальше друг от друга. Если, например, расстояние между двумя телами увеличить вдвое, то сила их взаимного притяжения уменьшится, только не вдвое, а вчетверо, то есть в два в квадрате раза. Иначе говоря, сила притяжения зависит от квадрата расстояния между телами.

Ньютон открыл и много других законов. Он создал новую небесную механику. Он доказал, что все тела движутся по одним и тем же законам: и падающее яблоко, и хвостатая комета.

Открытие Ньютона было величайшим научным достижением. При этом законы Ньютона так точно подтверждались на опыте, что сомневаться в них никому и в голову не приходило.

Но вот в начале нашего столетия появились труды другого гениального физика — Альберта Эйнштейна.

— И он опроверг Ньютона?! — с надеждой в голосе перебил меня Нулик. (Очевидно, ему очень нравилось, когда кто-то кого-то опровергает.)

Пришлось огорчить его: Эйнштейн не опроверг ньютоновых законов. Но он их уточнил. Эйнштейн доказал, что законы движения, открытые Ньютоном, справедливы только в тех случаях, когда скорость движущегося тела мала по сравнению со скоростью света. А скорость света, как известно, составляет 300 тысяч километров в секунду. Так вот, если тело движется со скоростью, близкой к скорости света, законы Ньютона требуют существенных поправок. Вот Эйнштейн и поправил Ньютона. Но кого бы он поправлял, если бы Ньютона не было? Так что и эта пара не случайно помещена на одной медали.

Я с облегчением откинулся на спинку стула, намереваясь насладиться заслуженным отдыхом. Но отдохнуть мне не пришлось.

— А что это за поправку внёс Эйнштейн в ньютоновы законы? — спросил Олег.

Я задумался. Ответить на такой вопрос было нелегко, то есть я хочу сказать, ответить так, чтобы дошло до всех, даже до Нулика. Ведь для этого мне пришлось бы рассказать о трудах Эйнштейна! Впрочем…

— Что вы знаете о теории относительности? — спросил я.

— Ничего, — честно сознался Сева. — Очевидно, Эйнштейн утверждал, что все в мире относительно?

— В том-то и дело, что не все. Эйнштейн как раз доказал, что в мире имеется одна величина, которая всегда остаётся постоянной. Это скорость света. И вот из постоянства скорости света и вытекает относительность всего остального.

— Ну, це ще треба розжуваты!

(Не пойму, с чего это Нулик заговорил вдруг по-украински?)

— Разжевать, говоришь? Ладно, попробуем. Давайте пофантазируем. Вообразите, что мы едем в машине по шоссе. Не по обычному, а по небесному. И не куда-нибудь, а на Марс. Да-да, вообразить можно всё что угодно! А чтобы межпланетный инспектор ОРУДа не отнял у нас прав, мы едем с дозволенной скоростью — 60 километров в час. Вот мы уже отъехали на солидное расстояние от Земли, примерно на 5 миллионов километров. И тут на шоссе появляются две другие машины. Одна догоняет нас, другая мчится навстречу. У обеих машин спидометры показывают скорость 80 километров в час. Но на что нам чужие спидометры? Мы хотим измерить скорости обеих машин сами. У нас для этого есть длинная, во всю длину машины, линейка и секундомер. Когда машины проносятся мимо нас, мы делаем нужные отметки и производим вычисления. Как вы думаете, с какой скоростью промчалась мимо догонявшая нас машина?

— Со скоростью 20 километров в час, — не задумываясь, ответила Таня. — Ведь эта машина шла со скоростью 80, а наша — 60 километров в час. Причём в ту же сторону. А 80–60=20.

— А какова скорость машины, мчавшейся нам навстречу?

— 140 километров в час, — ответил Сева. — 60+80=140.

— Интересная сказка! — вздохнул Нулик.

— Не сказка, а присказка, — возразил я. — Сказка ещё только начинается. Включаю недозволенную скорость. Теперь мы делаем 200 тысяч километров в секунду. Берегите ваши головные уборы! Нас догоняет луч света, пущенный с Земли, а навстречу нам несётся другой луч — с Марса. Приготовьте измерительные инструменты. Сейчас мы измерим скорость обоих лучей. Внимание! Замер! Ну что же вы молчите? Каковы скорости световых лучей?

— У того, который нас догонял, скорость пустяковая, — сказал Сева, — всего-навсего 100 тысяч километров в секунду! 300 000–200 000.

— А у второго — 500 тысяч километров в секунду, — подсчитала Таня. — 300 000+200 000.

Я хотел возразить, но это сделал за меня Олег.

— По моим измерениям, скорость каждого луча — 300 тысяч километров в секунду. Это вытекает из основного положения Эйнштейна: скорость света постоянна.

— Но это же противоречит здравому смыслу! — заволновался Нулик.

— Вот видите, — подхватил я, — рассудительному Нулику здравый смысл мешает. Хорошо, что не помешал Эйнштейну… Разумеется, Эйнштейн основывался не на воображаемых прогулках по небесному шоссе, а на очень тонких физических экспериментах. Результаты их убедили его в том, что никакие приборы никогда, ни при каких обстоятельствах не в состоянии обнаружить изменение скорости света. Она всегда остаётся неизменной. В чём же тут дело? Что же тогда меняется?

— Вот именно. Это-то я и хочу выяснить! — съязвил Нулик.

— Меняются сами приборы. Часы начинают идти медленнее. Сокращаются размеры предметов.

— Отчего же нельзя измерить, на сколько они сократились? — спросил Сева.

— А чем, позволь спросить, ты собираешься измерять? Уж не линейкой ли? Так ведь её длина тоже изменилась. Может быть, секундомером? Так и его ход изменился. И чем ближе скорость движущегося тела к скорости света, тем эти изменения больше. Вот почему при таких больших скоростях пользоваться законами движения Ньютона без существенных поправок нельзя.

Нулик покачал головой:

— Уж эти мне великие люди! Эйнштейн додумался, а ты сиди и мучайся, как его проверить…

— Освобождаю тебя от мучений, — милостиво изрёк я. — Теория относительности Эйнштейна не один раз проверена на опыте. Никто из учёных уже не сомневается в её правильности.

Через некоторое время (надо было всё-таки хоть немного отдохнуть после серьёзного разговора) мы наконец вышли на непреодолимую Апорийскую дорогу. Впрочем, преодолевать её пришлось опять-таки мне одному.

— В прошлый раз, — начал я, — Нулик спросил, что такое софизм? Сейчас я ему отвечу. Софизмом в наше время принято называть нелепое, ложное, но хитро придуманное умозаключение, основанное на заведомой несуразице.

— Какой же чудак станет выдумывать заведомую чушь?

— И опять ты торопишься! — пристыдил я Нулика. — В намеренно ошибочных, заумных рассуждениях древних учёных из школы софистов (иначе мудрецов) таились подчас мысли глубокие, оригинальные, блестящие. Недаром софисты оказали большое влияние на развитие многих наук, особенно математики и философии! Самым известным софистом был Зенон из города Элеи. До нас дошли четыре его софизма, или апории, что по-гречески значит «непреодолимое препятствие». Вот с одной из апорий Зенона и столкнулся Магистр на острове Оазис. Зенон утверждал, что для того, чтобы пройти какой-нибудь путь, нужно непременно миновать и его середину. Само по себе утверждение верное. Но далее Зенон рассуждает так: если мы дошли до середины пути, перед нами остаётся ещё полпути, у которого тоже есть своя середина. Итак без конца. Сколько бы мы ни шли, впереди всегда какая-то непройденная часть пути, у которой тоже есть своя середина. А в другой апории Зенон «доказывает», что движения в природе вообще не существует. Все это, конечно, нелепо, но попробуйте найти у Зенона логическую ошибку. Магистр, например, не сумел опровергнуть Зенона.

— А Единичка сумела, — сказала Таня, — взяла да и пробежала весь путь от начала до конца.

— Стало быть, Зенон ошибся? — спросил Нулик.

— Как тебе сказать… Зенон по-своему прав. Если делить путь на отрезки так, как это предлагает он, конца этому пути действительно никогда не будет. Если же идти просто, не обращая внимания на рассуждения Зенона, как это сделала Единичка, одолеть любую дорогу, в том числе и Апорийскую, вполне возможно.

— Не понимаю, какая всё-таки польза от Зеноновой мудрости? — проворчал Сева. — Кому она нужна?

— Апории Зенона заставили учёных задуматься над противоречивыми взаимоотношениями между пространством, движением и временем. Но самое, пожалуй, главное то, что Зенон один из первых представил себе бесконечно малую величину, то есть такую величину, которая постоянно стремится к нулю, но никогда его не достигает. А учение о бесконечно малых и бесконечно больших величинах играет огромную роль в современной математике. Впрочем, — спохватился я, — об этом вам пока ещё рановато…

— Выходит, Магистр ошибался, когда утверждал, что не обнаружил на острове ни одного софизма, — сказал Сева.

— Разумеется, — подтвердила Таня. — А под конец он попросту сбился со счёта. Ему померещились 12 бочек вместо 11.

— Бочек было 11 в том случае, если четвёртая слева и восьмая справа — одна и та же, — поправил её Олег.

Сева удивлённо поднял брови:

— По-твоему, Магистр и Единичка сели в разные бочки?

Олег загадочно улыбнулся:

— Ну, об этом мы узнаем, когда познакомимся со следующей главой диссертации…

 

В подводной лодке

 

Плыть по океану в бочке очень неудобно. Можете мне поверить! Единичке хорошо — она маленькая, свернулась калачиком на дне и мигом уснула. А я всё время стоял на вахте и держал курс. Правда, куда нас несут волны, я, естественно, не знал. Ночь была тёмная, безлунная. К счастью, не беззвёздная. И я вспомнил, что по звёздам моряки легко определяют, где находится их корабль. Были бы только часы да карта звёздного неба! Ну, я-то могу обойтись и без карты — слава богу, в астрономии разбираюсь. А часы всегда при мне. Знайте: часы у меня совершенно особенные, они такие точные, что мне иногда даже звонят из обсерватории, чтобы проверить по ним время. Кстати, секундная стрелка у часов во весь циферблат, и все три стрелки светятся в темноте. Я вынул часы из кармана, и, надо же случиться такой неприятности: часы, которые за пятнадцать лет не отстали ни на одну секунду, остановились! Очевидно, впопыхах я забыл их завести. Но тут я обратил внимание на одно любопытное обстоятельство. Часы показывали второй час ночи. При этом минутная и часовая стрелки оказались точно на одной прямой — одна стрелка как бы служила продолжением другой. А вот секундная стрелка остановилась точно под прямым углом к ним, то есть перпендикулярно. Я даже хотел записать, сколько секунд и минут показывали часы, когда остановились, но у меня не было под рукой карандаша — Единичка спала на моём рюкзаке. Но я думаю, что вычислить это время никого не затруднит.

Я снова завёл часы и стал думать, чем бы заняться. Не могу сидеть без дела, мне всё время хочется что-нибудь вычислять, решать или придумывать. Только теперь я понял, как скучно было бедному принцу Салтану, когда он по воле злого царя Гвидона плыл в одиночестве по океану.

Я решил вычислить расстояние до какой-нибудь звезды — скажем, до Сириуса, а затем проверить, правильно ли это расстояние указано в справочниках. Знаете, как вычисляют расстояние до звёзд? Очень просто! Возьмите лист бумаги и поставьте на нём точку (пусть это будет звезда). Где-нибудь пониже (пусть это будет на Земле) проведите прямой отрезок длиною, скажем, в 10 сантиметров, а концы его соедините с вашей звездой двумя лучами. Чем меньше будет угол между лучами, тем, значит, дальше от Земли находится звезда. Угол этот называется параллаксом, что по-русски означает «уклон». Параллакс далёких звёзд очень мал.

Прибор для измерения уклонов звёздных лучей, так называемый секстант, был со мной. Оставалось только выбрать на Земле, лучше сказать — на воде, отрезок, да подлиннее, чтобы измерение было поточнее. Я решил, что ста морских миль хватит за глаза. Сделав нужное измерение секстантом, я пустил бочку плыть по прямой, чтобы ровно через сто миль измерение повторить. Теперь уже угол должен был получиться другой. Но тут Сириус скрылся, и начался тропический ливень.

Я быстро накрыл полами плаща нашу бочку и таким образом спас её от потопления. Затем, оторвавшись от звёзд, взглянул на океан и замер… Вокруг нашей бочки кружилась огромная акула! Вот она уже совсем рядом со мной и приготовилась ударить по бочке хвостом. Но не тут-то было — ей помешали. Кто? Ни за что не угадаете! Кит. Да-да, гренландский кит! Это ведь он пустил такой мощный фонтан, что я принял его за тропический ливень. И началась схватка!..

Две огромнейшие рыбы — кит и акула — вступили в бой. Победил, разумеется, кит. Когда акула повернулась к нему хвостом, он проглотил её. Видно было, как она бьётся у кита в животе, пытаясь вырваться наружу. Но с китом шутки плохи! Тропический ливень сам собой прекратился, кит уплыл восвояси, а Единичка… Единичка все ещё спала. Только было я ей позавидовал, как она проснулась и закричала:

— Папа! — Потом увидела меня и засмеялась: — Ой, это вы! А мне снилось, что мы догоняем моего папу, а он всё время от нас убегает. Но ведь мы его догоним? Правда?

— Непременно догоним, — успокоил я бедную девочку. К этому времени звезды погасли, и прямо перед нами из воды показалось солнце. Значит, я всё время держал курс на восток! Впереди обозначился скалистый остров. Я быстро изменил курс, но Единичка потребовала, чтобы мы обошли вокруг острова — нет ли на нём чего-нибудь интересного? Но ничего такого там не было. А остров оказался таким маленьким, что его и островом не назовёшь. Так, полуостров какой-то…

Вскоре Единичка закричала:

— Лево по борту неизвестный предмет!

 

В самом деле, недалеко от нас из воды торчала труба. Единичка захотела сделать остановку, тогда я зацепил трубу якорем и пришвартовался к ней. Но труба стала вылезать изводы. И тогда я понял, что это не труба, а стетоскоп подводной лодки.

Вскоре из воды появилась и сама лодка. Капитан в парадной форме стоял на палубе и размахивал бескозыркой. Он пригласил нас подняться на борт и спустил трап. Вернее, не трап, а лестницу с широкими ступеньками.

Чтобы подняться на палубу, надо было одолеть пятнадцать таких ступеней. Когда бочка подплыла к лестнице, я заметил, что все ступеньки перенумерованы, — бочка находилась прямо против ступеньки с номером один.

Мы с Единичкой одновременно встали на первую ступеньку и начали было подниматься вверх, как вдруг лестница… поехала вниз, прямо в море, словно эскалатор в метро! И всё время, пока мы поднимались вверх, лестница двигалась вниз. Однако бега на месте не получилось, потому что я поднимался быстрее, чем лестница опускалась, при этом и я, и Единичка, и лестница — все мы двигались очень равномерно.

Пока я успевал подняться на три ступеньки, лестница опускалась в море на две ступеньки. Мне показалось, что лестница бесконечна. Ведь вместо пятнадцати ступенек мне пришлось одолеть… Я даже не запомнил, сколько ступенек я пересчитал своими ногами. А когда наконец достиг палубы, подо мной была ступенька с таким огромным номером, что я ахнул и немедленно забыл это число.

А Единичка давно уже была наверху. До чего все же проворная девочка! Пока я преодолевал три ступеньки, она пробегала вдвое больше — шесть. Ясно, что на её последней ступеньке было написано число, ровно в два раза меньшее, чем на моей.

Единичка успела уже рассказать капитану обо всех наших приключениях, так что мне нечего было добавить. Капитан любезно приветствовал нас, обещал завтра же доставить в любую часть света, а затем повёл в салон.

То была огромная круглая комната, куда выходило девять дверей — одна входная, а восемь других вели в каюты. На корабле было как раз восемь человек команды, включая капитана. Капитан пригласил нас сесть и сказал:

— Через несколько минут, ровно в 7 часов, все члены экипажа выйдут из своих кают, и начнётся обычная церемония — приветствия и рукопожатия. Вот почему салон называется Салоном рукопожатий.

Часы пробили семь, и семь дверей раскрылись одновременно. Из кают вышли семь членов экипажа, и церемония началась. Все здоровались друг с другом, с капитаном и с нами, конечно, тоже. Я хотел было сосчитать число рукопожатий, но сбился со счёта. Впрочем, постараюсь сделать это на досуге. Покончив с рукопожатиями, все разошлись, а я решил выйти на палубу — подышать воздухом. Но оказалось, что лодка уже спустилась в воду. Пришлось прогулку отложить до другого раза. Мы с Единичкой занялись очень интересной настольной игрой. Такой интересной, что лучше я расскажу о ней в следующей главе.

 

 

Восьмое заседание КРМ

 

решили совместить с походом в Планетарий, — ведь в восьмой главе диссертации речь снова шла о звёздах. Чтение, правда, состоялось накануне, и потому каждый из нас имел возможность подготовиться к обсуждению более тщательно.

В Планетарий пришли загодя, чтобы успеть до лекции обсудить ошибки, не касающиеся астрономии. А уж о звёздах поговорим потом, после соответствующей теоретической подготовки. Мы устроились на скамейке в садике и приготовились заседать. Но Нулик неожиданно попросил всех встать, отойти на несколько шагов от скамейки, а уж потом по его команде собраться вновь. При этом мы должны были сделать вид, что только что встретились, и поздороваться друг с другом. А Нулик, будьте спокойны, сумеет сосчитать число рукопожатий.

Рукопожатий оказалось 10.

— Всё ясно, — заключил Нулик. — Нас пятеро, а рукопожатий десять, то есть вдвое больше. Значит, если в салоне подводной лодки встретились 10 человек, то рукопожатий было 20.

Таня посмотрела на него укоризненно:

— Эх, ты! По-твоему, если встретились двое — скажем, ты да я, — то мы пожмём друг другу руки четыре раза?

— А почему же сейчас получилось рукопожатий вдвое больше? — недоумевал Нулик.

— Ещё одно случайное совпадение, — объяснил Сева. — Так сказать, частный случай, действительный только для пяти человек. Ведь каждый из пяти должен поздороваться с четырьмя, а четырежды пять — двадцать. Но каждая пара здоровается по одному разу. Значит, 20 надо разделить ещё на 2, вот и получается 10 рукопожатий.

— А так как в салоне было 10 человек, — продолжал Нулик, — то всем ясно, что число 10 надо умножить на 9, а затем разделить на 2. И получится 45 рукопожатий. Ай да я!

— В общем, верно, — согласился Олег. — Но рукопожатий было всё-таки меньше. Ты забыл, что Магистр и Единичка уже раньше здоровались с капитаном, ну и, конечно, друг с другом. Поэтому из 45 рукопожатий надо вычесть 3. Значит, ответ — 42.

Нулик постучал ладошкой по спинке скамейки.

— Продолжаем заседание. Слово предоставляется будущему академику Севе.

Будущий академик поклонился:

— Магистр так же сведущ в литературе, как и в математике. Иначе он не спутал бы царя Салтана с принцем Гвидоном, который, кстати, не принц, а царевич.

— Один — ноль в твою пользу! — сказал Нулик. — А теперь ты, Таня.

— Магистр и с зоологией довольно плохо знаком, — сказала Таня. — Он утверждает, что кит — это рыба, а она, то есть он, — млекопитающее. Кроме того, кит не проглотит не только акулы, но и карася. У него для этого слишком узкая глотка.

— Не лучше Магистр знает и географию, — продолжал Олег. — Если часть суши со всех сторон окружена океаном, то как бы она ни была мала, это все равно остров, а не полуостров. Потому что полуостров обязательно соединён с материком.

— Это что! — сказал я. — Между островом и полуостровом всё-таки больше общего, чем между стетоскопом и перископом подводной лодки. Стетоскопом врач выслушивает лёгкие, сердце больного, а перископ — прибор, который даёт возможность видеть под водой то, что происходит на поверхности…

— А теперь слово президенту, — объявил Нулик. — Дамы и господа! С прискорбием должен сообщить, что Магистр — самый неточный человек на свете. Во-первых, капитаны не носят бескозырок. Во-вторых, ни один капитан подводной лодки не может находиться на палубе, когда лодка всплывает на поверхность.

Президент победоносно оглядел высокое собрание и перешёл к вопросу о точных часах Магистра.

— По-моему, задача о часах очень интересная, — сказал Сева, — поэтому стоит разобраться в ней подробно. Магистр обнаружил, что часы его остановились во втором часу ночи, в то самое мгновение, когда часовая и минутная стрелки очутились на одной прямой, как бы продолжая одна другую. Он уверяет, что при этом секундная стрелка находилась перпендикулярно к часовой и минутной, образуя с каждой из них угол в 90 градусов. (Не забудьте, что у всех стрелок общий центр вращения.) Кроме того, Магистр утверждал, что часы его идеально точны. Но так ли это?

Сева обвёл нас загадочным взглядом, потом начертил на песке палочкой окружность, разделил её на 12 равных частей и пронумеровал деления. Наверху поставил 12, внизу — 6, — словом, как на всех часах. После этого он прочертил две стрелки так, как их увидел Магистр: часовую — чуть дальше отметки 1, а минутную — на столько же дальше отметки 7. Все это он проделал весьма аккуратно, так что обе стрелки в самом деле оказались на одной прямой линии.

— Секундную стрелку пока что чертить воздержусь, — продолжал Сева. — Теперь вспомним, что минутная стрелка делает полный оборот за один час, а часовой стрелке на это понадобится…

— 12 часов, — ввернул Нулик.

— Совершенно верно. Итак, угол, который отмеряет часовая стрелка, в 12 раз меньше угла, который за то же время отмеряет минутная. А теперь вернёмся к нашему чертежу.

 

Сева провёл диаметр круга через отметки 1 и 7, и сразу стало видно, что и часовая и минутная стрелки отклонились от этого диаметра на один и тот же угол.

— Внимание! — Сева высоко поднял указательный палец. — Перейдём от геометрии к алгебре. Обозначим число минут, прошедших с начала часа до остановки минутной стрелки, через x. А эта стрелка показывает, что прошло больше 35 минут, но меньше 40. Поэтому можно записать, что минутная стрелка отклонилась от проведённого диаметра на угол, равный x -35. При этом часовая стрелка отклонилась от того же диаметра на угол, в 12 раз меньший, чем x, то есть на ^x /₁₂. Но мы уже знаем, что углы эти между собой равны: x− 35=^x /₁₂. Таким образом, у нас получилось уравнение с одним неизвестным, которое мы и будем решать по всем правилам. Предоставляю каждому сделать это самостоятельно. Скажу только одно: часы Магистра остановились в 1 час 38 ²/₁₁ минуты, а ²/₁₁ минуты — это примерно 11 секунд.

Сева наконец вычертил и третью, секундную стрелку, и все убедились, что она совсем не перпендикулярна двум другим.

— Согласитесь, что либо у Магистра очень плохое зрение, либо часы его далеки от идеальной точности, — закончил своё исследование Сева. — А скорее всего, и то и другое вместе.

Обстоятельное научное сообщение будущего академика было принято весьма благосклонно. Но Олег все же сделал одно дополнение: исследуя эту задачу, он убедился, что такое расположение стрелок, какое заметил Магистр на своих часах, невозможно не только во втором часу, но и ни в какое другое время.

— А из чего это следует? — полюбопытствовал Нулик.

— А ты подумай!

Подумать было предложено также и всем остальным, после чего пришло время подняться вместе с Магистром и Единичкой по эскалатору на подводную лодку.

Как вы помните, расстояние от бочки до палубы равнялось пятнадцати ступенькам. Когда Магистр и Единичка стали на ступеньку номер 1 и начали подниматься на палубу, эскалатор поехал вниз. Пока Магистр одолевал три ступеньки вверх, лестница опускалась на две. Стало быть, вместо трех ступенек Магистр поднимался вверх только на одну. Значит, вместо 15 ступенек, ему пришлось преодолеть 45, то есть в три раза больше.

— Выходит, поравнявшись с палубой, Магистр стоял на ступеньке, обозначенной номером 45, — подсчитала Таня.

— А вот и нет, — возразил Олег. — Ведь ступенька номер 1 в счёт не идёт. Так что номер последней ступеньки был не 45, а 46.

— Поправка принимается, — вздохнула Таня. — Перейдём к Единичке. Она, как известно, двигалась быстрее Магистра. Пока эскалатор опускался на две ступеньки, Единичка успела пробежать шесть, то есть передвинуться вверх на высоту четырех ступенек (ведь 6–2=4). Поэтому, чтобы очутиться на палубе, ей вместо 15 пришлось пересчитать во столько раз больше ступенек, во сколько шесть больше четырех, то есть в полтора раза. А это — 22,5 ступеньки. Но по полступенькам никто шагать не умеет, — улыбнулась Таня, — значит, Единичка преодолела 23 ступеньки, и на её последней ступеньке стоял номер 24.

…Прозвенел звонок, и мы заторопились в зал Планетария. Перед входом Нулик зажмурился, чтобы открыть глаза уже в зале и сразу увидеть звёздное небо. Но никакого звёздного неба не оказалось. Вместо этого был чистейший белый потолок, похожий на сильно вытянутый купол цирка.

Но вот в зале стало постепенно темнеть, и на белом потолке зажглись тысячи светил. Лектор стал называть их по именам, и у каждого из названных появлялась светящаяся стрелка.

Потом все звезды разом поехали по небосводу. Одни исчезали за горизонтом, с другой стороны неба возникали новые. Это лектор решил ускорить время и уложить в одну минуту целые сутки. Затем на небе появились совсем неизвестные нам, москвичам, светила: то были звезды Южного полушария неба. И тогда светящаяся стрелка остановилась на самой яркой из них — на Сириусе.

Как же нам повезло! Ведь мы услышали рассказ о том, что собирались сегодня обсудить: как астрономы вычисляют расстояние от Земли до звёзд!

Для того чтобы измерить расстояние до какой-нибудь звезды, учёные строят огромный воображаемый треугольник. В одной из его вершин они помещают интересующую их звезду, а за основание треугольника принимают поперечник орбиты, по которой Земля движется вокруг Солнца. Поперечник этот ни много ни мало равен 300 миллионам километров!

— Чуть побольше, чем Магистровы 100 морских миль, — шепнул мне на ухо Сева.

— Чтобы измерить расстояние до звезды, — продолжал лектор, — надо прежде всего измерить углы этого гигантского треугольника, что чрезвычайно сложно. Угол наклона звёздного луча к поперечнику земной орбиты измеряют дважды с промежутком в полгода, то есть тогда, когда Земля находится в двух прямо противоположных точках своей орбиты. Трудность измерения заключается в том, что оно должно быть чрезвычайно точным, так как из-за дальности звезды разность между этими двумя углами очень мала. И чем дальше звезда, тем труднее точное измерение. Но зато когда углы при основании измерены, вычислить угол при вершине треугольника — сущие пустяки.

 

— Ясно! Ведь сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, — снова зашипел над моим ухом Сева.

Далее лектор рассказал о том, что половину угла при далёкой вершине воображаемого треугольника учёные условились называть параллаксом звезды и что, зная параллакс звезды, нетрудно вычислить и расстояние до неё. Понятно, что чем меньше у звезды параллакс, тем она дальше от нас.

За единицу звёздного расстояния приняли расстояние до такой звезды, у которой параллакс равен одной угловой секунде. Это невероятно малый угол. Достаточно сказать, что секундная стрелка часов за одну секунду пробегает угол, в 21 600 раз больший, чем угловая секунда.

Как и всякая единица измерения, единица звёздного расстояния получила имя. Её окрестили парсеком. Нетрудно догадаться, что в этом названии соединены начала двух слов: «параллакс» и «секунда». Пар-сек!

Так вот, расстояние от Земли до Сириуса равно 2,67 парсека.

Как известно, свет пробегает расстояние в один парсек за 3,26 года. Стало быть, свет от Сириуса идёт к нам 8,7 года. Оттого-то и говорят, что расстояние от нас до Сириуса равно 8,7 светового года.

— Как видите, звёздные расстояния можно измерять и в световых годах, и в парсеках, и просто в километрах, — пояснил лектор. — Да-да, и в километрах. Только это не очень-то удобно. Ведь в одном парсеке 30,8 триллиона километров. А триллион, к вашему сведению, это миллион миллионов!

— Ого! — засмеялись в зале.

— Да, величина не малая, — согласился лектор: — Казалось бы, куда больше? Но астрономы столкнулись с такими расстояниями, что и парсек оказался мал. Тогда ввели новую единицу — килопарсек, или тысячу парсеков. Теперь-то уж должно хватить? Так нет же! Расстояние до некоторых вновь обнаруженных небесных объектов приходится измерять в мегапарсеках, то есть в миллионах парсеков.

— От таких расстояний не то что у Магистра, у кого хочешь голова кругом пойдёт! — шепнул Нулик.

После этого мы увидели ещё много интересного: поток метеоритов, затмение Луны, полет наших космических, кораблей. Но вот небо стало постепенно светлеть, заалела заря…

Лекция кончилась, а вместе с ней и наше заседание. Только на сей раз ошибки Магистра разобрал за нас лектор. Нам оставалось лишь с ним согласиться.

 

?!ВДЖМ!?

 

Да, да, игра была в самом деле любопытная. Представьте себе квадратную доску, в которой одинаковыми рядами выдолблено множество маленьких лунок. В каждой лунке лежит бусинка. Бусинки четырех цветов: красные, белые, синие и жёлтые. Красных вдвое больше, чем белых; белых втрое больше, чем синих; а синих вчетверо больше, чем жёлтых. Надо узнать, не подсчитывая бусинок, во сколько раз число бусинок каждого цвета меньше всех бусинок, вместе взятых. Выигрывает тот, кто решит задачу быстрее.

Единичка выбрала красные бусинки, а мне предложила заняться синими. Я запустил секундомер, и мы начали.

Милая Единичка! Где ей тягаться со мной! Конечно, я решил задачу мгновенно. В самом деле, если красных бусинок в два раза больше, чем белых, а белых в три раза больше, чем синих, — значит, число красных больше числа синих уже в шесть раз (ведь дважды три — шесть). Ну, а синих вчетверо больше, чем жёлтых. Вот и выходит, что красных бусинок больше, чем жёлтых, уже в 24 раза (шестью четыре — двадцать четыре). Примем число красных бусинок за единицу и сложим в уме: 1+2+6+24, получим 33. Остальное я выяснил незамедлительно.

Когда Единичка услышала мой ответ, её, как всегда некстати, одолел приступ глупого смеха. Я обиделся и даже не поинтересовался, что там у неё получилось с красными бусинками, наверное, какая-нибудь чепуха. Тогда Единичка чмокнула меня в ухо и сказала, что смеялась вовсе не надомной, а по совершенно другому поводу. Вот подлиза! Мы помирились и вышли на палубу.

Лодка снова всплыла на поверхность океана, и команда занялась ремонтом снаряжения. На носу столяр чинил табуретку. Он отодрал ветхое круглое сиденье и задумался. Оказалось, капитан приказал приладить вместо круглого сиденья квадратное, с тем, однако, условием, что площадь нового сиденья должна быть равна площади прежнего. Но как это сделать? Кроме стального метра, пилы да огромного циркуля, у столяра ничего под рукой не было.

Надо вам сказать, что чинить табуретки — моя страсть. Так я отдыхаю от математических размышлений. В общем, столяру удивительно повезло. Я измерил циркулем диаметр круглого сиденья, отложил на линейке длину окружности и разделил отрезок на четыре части — вот вам и сторона квадратного сиденья. Всё остальное сделает пила. И площадь квадрата окажется тютелька в тютельку равной прежней площади круга. Столяр поблагодарил меня, однако за работу почему-то не принялся. Вероятно, решил сделать перекур.

Вся остальная команда трудилась на корме. Она ремонтировала огромный десятиугольный ковёр. Я измерил его периметр в самом широком месте — оказалось 15 метров. Красивый ковёр — белый, а по всем диагоналям прострочен красными нитками. Но так как нитки поистерлись, их теперь заменяли новыми. Ну и работёнка! Если бы ковёр был ещё треугольный, тогда провести диагонали — пара пустяков. А попробуйте провести диагонали в правильном десятиугольнике! Ведь из каждой вершины можно провести девять диагоналей — всего девяносто. С этим и за сутки не управишься.

На горизонте показалась земля. Я попросил капитана высадить нас с Единичкой на берег. Он сказал, что подводная лодка не сможет подойти к пристани, и предложил спустить на воду плот, а мы уж как-нибудь доберёмся до берега сами.

Плот находился на палубе. Он был треугольный, из самой лучшей пробки и очень красивый. Сам Тур Хейердал — знаменитый датский мореплаватель — с удовольствием поплыл бы на таком в свою Полиномию.

Матросы уже ухватились было за углы пробкового треугольника, чтобы швырнуть его в воду, но я вовремя остановил их. Ведь плот может упасть в океан ребром и затонуть! Его надо положить на воду плашмя. Для этого следует найти центр тяжести, ввинтить туда крюк, подцепить плот за этот крюк и только тогда опустить на воду.

Я дал Единичке кончик верёвки, велел прикрепить его к вершине треугольника, а сам натянул верёвку так, что она разделила угол пополам. Точно так же я поступил и с двумя другими углами треугольника и получил таким образом три биссектрисы. Ну, они, естественно, пересеклись в одной точке.

Так я нашёл центр тяжести треугольника. Ввинтил в этот центр крюк, матрос подцепил его краном. «Майна, вира!» — скомандовал я. Плот взлетел в воздух, затем перевернулся и ударил меня по голове тупым углом. Хорошо, что не острым!

Когда меня привели в чувство, плот спокойно покачивался на воде. Мы с Единичкой уселись на нём поудобнее и поплыли. Однако пристать к берегу не было никакой возможности. Ветер всё время менял направление: то гнал нас к земле, то относил обратно. Такие ветры называют не то муссонами, не то саваннами. Впрочем, как бы их ни называли, нам от этого было не легче.

И всё же мы высадились на берег. И сразу — с корабля на бал — попали на весёлое празднество. Над разукрашенной цветами аркой светились буквы ВДЖМ, что-то вроде нашего ВДНХ — Выставки достижений народного хозяйства. Да, это и впрямь походило на выставку, только не народного хозяйства, а архитектуры разных стилей и эпох. Рядом с древнегреческими зданиями можно было увидеть и старинную усадьбу, и домик с черепичной крышей. Но самое удивительное, что кругом были одни только женщины. Это меня несколько огорчило. Я ведь математик, а кто же не знает, что математика и женщины — вещи несовместные!

Представьте себе моё изумление, когда я узнал, что буквы ВДЖМ — это не что иное, как Выставка достижений женщин-математиков. Что ж, поглядим на эти достижения!

Сперва мы с Единичкой зашли в древнегреческое здание. Там красивая, стройная девушка в лёгкой тунике украшала жертвенник. Она дружелюбно поздоровалась с нами и представилась: Ипатия, дочь Теона. Приветствуя нас, Ипатия произнесла красивую речь, в которой всячески превозносила поэзию и философию. Математикой здесь не пахло, и мы, попрощавшись, двинулись дальше.

Следующий домик, куда мы заглянули, был очень оригинален. Его построили из тонких пластин самой разной формы. Хозяйку дома звали Софи Жермен. Судя по имени, она была француженка, но приветствовала нас по-латыни. Все это прекрасно, но при чём здесь математика? Сие оставалось тайной.

Покинув домик из пластин, мы очутились в загородной усадьбе. Здесь нас не встретил никто, и мы долго бродили по пустым залам, пока не попали в небольшую комнату. О радость! Стены её были оклеены страницами из какого-то математического труда. Я с жадностью принялся читать их. Наконец-то математика!

За одной радостью последовала другая: в комнату вошла хозяйка усадьбы и обратилась к нам на чистейшем русском языке. Это привело нас в восторг. Особенно понравилось нам то, что Софья Васильевна (так звали нашу новую знакомую), несмотря на вполне зрелый возраст, сохранила чисто детскую непосредственность. Она с увлечением крутила над головой бечёвку с привязанным на конце шариком.

К сожалению, нам не удалось поговорить с нашей соотечественницей: снопы разноцветных ракет за окном возвестили начало карнавала. На прощание Софья Васильевна подарила мне книгу своего сочинения с очень любезной надписью. Откровенно говоря, я сильно надеялся, что книга о математике, но, увы, то был обыкновенный роман…

Мы пришли на площадь как раз в то время, когда на ней появилась триумфальная колесница, запряжённая шестёркой лошадей. В колеснице стояла девушка. На голове у неё (очевидно, вместо шляпы) раскачивался огромный светящийся шар, за которым тянулся опять-таки светящийся хвост из лёгкой прозрачной ткани — скорее всего, газа. Хвост был длинный-предлинный. Колесница уже достигла середины площади, а конец хвоста все ещё не показывался. Но вот колесница остановилась, и к ней подбежали дети с огромными голубыми и красными цветами.

— Да здравствует Гортензия! — раздалось в толпе. Всё ясно, решил я, это праздник цветов. Но оказалось, что приветствовали вовсе не цветок гортензию, а девушку в колеснице, которую тоже звали Гортензией. Вероятно, мать этой юной девицы была весьма романтическая особа, если ей вздумалось дать своей дочери имя цветка.

Тут стали оглашать приветствия в честь Гортензии. Их было много, но мне запомнилось почему-то одно — от некоего Галлея. Впрочем, мне думается, имя было названо неправильно. Скорее всего, это был не Гал-лей, а Га-ли-лей.

Стемнело, и в небе запылали огромные цифры: 1, 9, 8 и 6. 1986! К сожалению, что означало это число, я не понял.

 

 

И тут произошло нечто невероятное. В небе появились два огненных шара с такими же хвостами, как на шляпе Гортензии. Шары с бешеной скоростью понеслись навстречу друг другу, раздался взрыв, и… все исчезло в клубах пыли. А когда пыль рассеялась, я обнаружил, что Единичка исчезла. Сами понимаете, я так разволновался, что мне было не до размышлений. Поэтому я так и не понял: кто такая Ипатия, почему у одной Софи домик построен из пластин, а у другой комната оклеена страницами из учебника? И что это за нелепый головной убор у Гортензии? И при чём здесь вообще математика?!

Во всём этом разберусь когда-нибудь позже, а сейчас надо искать Единичку. Единичка, ау!..

 

 

Девятое заседание КРМ

 

было последним (предыдущая глава диссертации обрывалась) и оттого несколько грустным. Сами того не замечая, все привязались к незадачливому Магистру. Конечно, он и фантазёр, и рассеянный, а в чём-то и просто недоучка. Но человек всё-таки добрый и симпатичный… Неужели мы никогда не узнаем, нашёл ли он Единичку и догнали ли они наконец неуловимого папу Минуса?

Олег довольно сурово призвал нас к порядку, а заодно и к разбору первой задачи о бусинках, которая, по его мнению, так проста, что её может решить даже Нулик. Это «даже» задело Нулика за живое, и он справился с задачей очень быстро.

— Если принять число жёлтых бусинок за единицу, — рассуждал Нулик, — то синих было в четыре раза больше, белых — в двенадцать раз, а красных в двадцать четыре раза больше, чем жёлтых. 1+4+12+24=41. Значит, всего частей 41: жёлтых бусинок ¹/₄₁ часть, синих — ⁴/₄₁, белых — ¹²/₄₁ и, наконец, красных — ²⁴/₄₁.

— Умница! — Таня погладила Нулика по голове. — Что бы Магистру и тут посоветоваться с тобой! Тогда бы он не принял за единицу число красных шариков, и всё было бы в порядке.

Президенту не терпелось перейти к следующему вопросу, но оказалось, что мы ещё не покончили с этим.

— Можно предположить, сколько всего бусинок было на доске, — сказал Олег. — Ведь доска квадратная, и лунки на ней расположены правильными рядами.

— Значит, число бусинок должно быть кратно 41 в квадрате, — догадалась Таня. — Иначе говоря, бусинок на доске было не менее 1681.

— Вот именно не менее, — согласился Нулик, — зато могло быть и более… Умножим 1681 на 4, потом на 9 и так далее…

— Ну, насчёт «и так далее» сомневаюсь, — возразил Олег. — Такая огромная доска едва ли уместилась бы в салоне подводной лодки… Но оставим это. Попробуем лучше решить сходную задачу, но чуточку посложней. Представьте себе, что бусинки были не четырех, а двадцати или даже ста цветов. При этом нам заранее известно, во сколько раз число бусинок любого цвета меньше (или больше) числа ну хотя бы красных. Как теперь вычислить, во сколько раз число красных бусинок меньше всех бусинок, вместе взятых? Побеждает тот, кто решит эту задачу самым коротким путём. Даю пять минут. Начали!

— Зачем так много? Хватит и двух, — сказала Таня. — Нам нужно узнать, во сколько раз число красных бусинок меньше общего числа всех бусинок. Запишем искомое так:

 

При этом в числителе у нас будет число красных бусинок, обозначенное буквой к, а в знаменателе — сумма всех бусинок: красных, белых, синих, жёлтых и так далее. Теперь разделим числитель и знаменатель на одно и то же число к, то есть на число красных бусинок. Величина дроби от этого не изменится, а вид у неё станет такой:

 

Но ведь теперь у нас в знаменателе оказались известные уже нам числовые отношения бусинок разных цветов к красным бусинкам! Остаётся только подставить вместо буквенных отношений заданные числа, ну хотя бы те, которые были в задаче Магистра, — и ответ готов.

— Проверим! — сказал Нулик.

— Пожалуйста, — разрешил я. — Только дома…

Таню приветствовали дружными аплодисментами, после чего под предводительством Севы мы покинули салон подводной лодки и вышли на палубу.

— Уверен, — сказал Сева, — что капитан не требовал, чтобы площадь квадратного сечения табуретки была тютелька в тютельку равна площади прежнего, круглого. Я читал в одной книжке, что такую задачу с помощью циркуля и линейки (пусть даже в придачу даётся пила) решить невозможно.

— Раз так, — сказал я, — значит, ты должен знать и то, что задача эта называется квадратурой круга. А квадратура круга — одна из знаменитых загадок древности. Учёные заинтересовались ею свыше 4000 лет назад. Но довести задачу до конца никто так и не смог. Квадратура круга в древние времена была настолько популярна, что тех, кто ею занимался, даже высмеивали в комедиях. Древнегреческий поэт и драматург Аристофан вывел такого горе-учёного в комедии «Птицы». Однако полное и окончательное доказательство невозможности квадратуры круга было найдено сравнительно недавно, в конце XIX века, немецким математиком Фердинандом Линдеманом. И доказательство это заключается в том… Однако, — спохватился я, взглянув на озабоченную физиономию Нулика, — всякому овощу своё время. А нам пора перейти на корму…

Вырвавшись из квадратуры круга, президент облегчённо вздохнул, но тут же запутался в диагоналях десятиугольного ковра.

 

— Чем ты лучше Магистра? — пристыдила его Таня. — Он тоже утверждал, что в десятиугольнике 90 диагоналей. Но ведь из каждой вершины десятиугольника можно провести не 9, а только 7 диагоналей — на три меньше, чем вершин. Кстати, из этого следует, что в треугольнике диагоналей нет совсем. Ведь 3–3=0!

Президент почесал в затылке:

— Выходит, в десятиугольнике 70 диагоналей?

— Ну и торопыга ты! — укоризненно сказала Таня. — Ведь через две вершины можно провести только одну диагональ. Стало быть, диагоналей не 70, а 35…

Разговор о диагоналях закончился, и мы двинулись дальше — туда, где покачивался на волнах треугольный пробковый плот. И вдруг раздался звонок. Я пошёл открывать, обдумывая по дороге, как бы поделикатнее спровадить незваного гостя, но, открыв дверь, так и ахнул:

— Магистр! Вы? Какими судьбами?

Да, передо мной стоял Магистр Рассеянных Наук собственной персоной. Все в том же свитере и коротких штанишках, на ногах гольфы и бутсы. Синий берет лихо сдвинут набок, рыжая борода от уха до уха, зато усов — никаких. И в руках плетёная корзина, покрытая клеёнкой. Все, как год назад.

Я провёл дорогого гостя в комнату, — где он был тотчас же узнан и встречен бурным ликованием.

Магистр очень смутился.

— Простите, — сказал он, — я, кажется, не туда попал… Со мной это бывает. Впрочем, лицо ваше мне знакомо…

— Ещё бы! — воскликнул я. — Ведь вы у меня уже были. В то утро, когда отправились в путешествие.

— Помню, помню! — обрадовался Магистр и крепко пожал мою руку. — Простите, я, вероятно, не вовремя. Вы о чём-то беседуете…

— Мы обсуждаем последнюю главу вашей диссертации, — сказал я торжественно.

— Моей диссертации?! Но у меня нет никакой диссертации. Я ещё только собираюсь её писать. Об этом я уже сообщил в один научный институт. Но моё письмо почему-то вернулось ко мне обратно.

— Любопытно! — улыбнулся я. — Вы не писали никакой диссертации, между тем вот она, на столе. Видите?

Магистр изумлённо перелистал рукопись:

— Послушайте, как это к вам попало?

— ЭТО мне прислали из института на отзыв.

— Странно. — Магистр потёр лоб. — Я, помнится, отправил рукопись на свой домашний адрес. Как же она попала в институт? Наверное, на почте все перепутали! К тому же это вовсе не диссертация, а путевой дневник. И то лишь первая часть…

— Ура! — закричал Сева. — Значит, есть и вторая!

Магистр тяжело вздохнул:

— Если есть первая, то должна быть и вторая, но… она утонула вместе с моим рюкзаком, когда мы пересекали пустыню Гоби.

— Утонула в пустыне? — засмеялся Нулик. — Это ужасно!

— Ничего смешного, — строго сказал Магистр. — Рюкзак уронила в воду Единичка.

— Единичка?! — Ребята даже в ладоши захлопали от радости. — Значит, вы всё-таки её нашли?

— А она никуда не пропадала, — ответил Магистр. — Просто во время карнавала произошёл взрыв, и пыль попала мне в глаза. Вот я ничего и не видел. А Единичка была рядом…

— А нашли вы наконец её папу Минуса? — поинтересовалась Таня.

— Что за вопрос! Кто ищет, тот всегда найдёт. Оказывается, мы с этим папой всё время гонялись друг за другом, но двигались в прямо противоположные стороны: я на запад, а он на восток. Но, как известно, Земля круглая, и в один прекрасный день мы неожиданно стукнулись лбами. Потрогайте, какая у меня на лбу шишка… Нет-нет, не эта. Сюда меня ударил плот, а чуть повыше — папа Минус… Он очень благодарил меня за заботу о Единичке. Ведь если бы не я… Но не будем об этом. Скажите лучше, что заинтересовало вас и ваших друзей в моей рукописи?

— Прежде всего ваши обширные познания во всех областях, — сказал я, — особенно в математике. Магистр так и вспыхнул от удовольствия:

— Ах, не смущайте меня… Я это и сам знаю.

— И всё же, — продолжал я, — у нас есть к вам ряд серьёзных вопросов. Может быть, вы на них ответите?

— Разъяснять и уточнять — моя специальность! — поклонился Магистр. — Я вас слушаю.

— Вот вы написали, что Тур Хейердал — знаменитый датский путешественник, — запинаясь, сказала Таня.

— Я? Я так написал? Не может быть! Всем известно, что Хейердал — швед.

— А может быть, норвежец? — мягко поправил Олег.

— Вот именно. Вы меня поняли с полуслова.

— Но дальше… дальше вы написали, что знаменитый мореплаватель отправился на своём плоту в Полиномию. Не лучше ли было сказать — в Полинезию? — улыбнулся Сева.

— Ну, это уж мелочь! — поморщился Магистр. — Какая разница: …номия… незия… Главное — поли. Кстати, Полиномия мне больше по душе. Ведь полином в математике означает многочлен. Почти архипелаг.

— Ну что ж, — вежливо согласилась Таня, — называйте Полинезию Полиномией. В конце концов, о вкусах не спорят. Меня интересует другой вопрос: где же всё-таки находится центр тяжести треугольника? Вы утверждаете, что он в точке пересечения биссектрис, а мы-то думали, что центр тяжести треугольника в точке пересечения его медиан.

— Вы так думали? — переспросил Магистр. — Ну, тогда я не возражаю. И вообще дело не в названии, а в существе.

 

— Но от этого «существа» вы существенно пострадали, — хихикнул Нулик. — Треугольный плот ударил вас по голове.

— К счастью, тупым углом, — успокоил его Магистр. — Впрочем, когда ударяешься головой об угол, тут уж некогда вычислять, сколько в этом угле градусов.

— Конечно, конечно, — согласился Сева. — При этом и муссоны с саваннами не трудно спутать.

Магистр возмущённо замахал руками:

— Ну нет! Этого я ни при каких обстоятельствах не забуду! Муссоны — это лесостепи… в тропических странах…

— Лесостепи — это как раз саванны, — возразил Сева.

— А я что говорю? — удивился Магистр. — Саванны — это лесостепи, а муссоны — ветры, которые всё время меняют направление.

— Не всё время, а только два раза в год, — уточнил Олег. — Летом муссоны дуют с океана, зимою — с суши.

Магистр посмотрел на меня озадаченно:

— Не кажется ли вам, что это несколько неудобно? Школьники поправляют Магистра!

— Не только школьники, — сказал я, многозначительно улыбаясь, — но и школьницы. Я это к тому говорю, что вы, помнится, весьма недоверчиво относитесь к женщинам-математикам.

— Ах, не вспоминайте об этом, — смутился Магистр. — То было какое-то непонятное заблуждение.

— От имени женщин охотно прощаю вас, — сказала Таня. — Ведь вы так мило признаете свои ошибки!

— Ах так? Вы меня прощаете? В таком случае, я признаюсь вам ещё кое в чём. — Магистр понизил голос. — Только пусть это останется между нами. Видите ли, я так до сих пори не понял, кто были те женщины, с которыми я познакомился на карнавале.

Мы не оставили Магистра в неведении, и очень скоро, благодаря нашим объединённым усилиям, он узнал, что первой в истории женщиной-математиком была Ипатия, дочь весьма известного математика Теона. Жила Ипатия в Александрии в IV–V веках нашей эры. То была очень красивая, обаятельная и широко образованная женщина. В школе неоплатоников (последователей философа Платона) Ипатия преподавала математику, астрономию и философию. Она была прекраснымлектором и славилась красноречием. Кроме того, Ипатия была талантливой писательницей и к тому же деятельно участвовала в общественной жизни своего государства. В обществе учёных мужей она держалась как равная, с большим достоинством. Удивительная женщина! И кто бы мог подумать, что её ожидал такой ужасный конец! Дело в том, что Ипатия была язычницей, и это навлекло на неё гнев христиан. Однажды, когда она возвращалась домой, разъярённая толпа по наущению епископа Кирилла напала на неё. Ипатию вытащили из повозки и растерзали…

При этом известии Магистр ужасно расстроился. У него даже слезы выступили на глазах, и я поспешно перевёл разговор с Ипатии на Софи Жермен.

Софи жила на четырнадцать веков позже Ипатии, во Франции. Уже в юные годы она заинтересовалась математикой. Чтобы изучить труды великого Ньютона, написанные на латинском языке, Софи в совершенстве изучила этот древний язык.

— Ага! — воскликнул Магистр. — Так вот почему она приветствовала меня по-латыни!

Наставниками Софи Жермен в математике были многие известные учёные того времени и в первую очередь — великий французский математик Жозеф Луи Лагранж.

Софи Жермен интересовали самые разные вопросы, касающиеся и математики и механики. А прославилась она главным образом тем, что разработала теорию изгиба пластинок.

— Надеюсь, не патефонных? — озабоченно спросил Магистр.

Все расхохотались.

— Что вы, Магистр! — воскликнул я. — Ведь при Софи Жермен о патефонах и речи не было! Однако и патефонные пластинки можно рассчитывать на прочность по формулам Софи Жермен. И всякий, познакомившись с этими формулами, сразу поймёт, что садиться на пластинки очень рискованно… Кстати, за труд о пластинках Софи Жермен получила премию Французской Академии наук.

— Замечательная женщина! — умилился Магистр.

— Совершенно с вами согласен, — поклонился я. — Учтите, что она была не только талантливым учёным, но и превосходным, отзывчивым человеком. Когда друг её, знаменитый немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, очутился в затруднительном материальном положении, Софи Жермен собрала нужную сумму денег и спасла его от разорения.

— А я даже не поблагодарил её за это! — огорчился Магистр. — Ведь великий Гаусс — мой коллега… Однако что же было дальше?

— Дальше? Дальше вы очутились в гостях у нашей прославленной соотечественницы Софьи Васильевны Ковалевской. Как известно, Софья Васильевна родилась в Москве, но детство провела в имении отца, генерала Корвина-Круковского, в селе Палибино, Витебской губернии.

— Несчастный генерал, — вздохнул Магистр. — Нуждался, вероятно, бедняга!

— Почему вы так думаете? — удивился я.

— Как «почему»? Ведь у него даже не было денег, чтобы оклеить детскую комнату обоями! Иначе, зачем бы он пустил вход учебник математики?

— Уверяю вас, бедность здесь ни при чём, — возразила Таня. — А математические обои сыграли огромную роль в жизни маленькой Софьи.

— Читая ежедневно свою «стенгазету», она изучила высшую математику, — добавил Олег. — Ведь это были лекции крупнейшего русского математика профессора Остроградского.

— Скажите какая одарённая девочка! Сама разобралась в лекциях Остроградского! — сказал Магистр, растроганно покачивая головой.

— И всё же, несмотря на всю свою одарённость, поступить в университет Ковалевская не смогла, — продолжал я. — Ведь в царской России женщины туда не допускались. И вот девятнадцатилетняя девушка покидает родину. Она едет учиться за границу, к замечательному математику Карлу Теодору Вильгельму Вейерштрассу.

Вейерштрасс принял её недоверчиво. (При этих словах Магистр смущённо заёрзал на стуле. «Что делать, — успокоил я его, — ведь и великим людям свойственно ошибаться!») Желая отделаться от Ковалевской, знаменитый учёный предложил ей решить несколько труднейших математических задач, которые и законченным-то математикам не всегда под силу.

— И она с ними справилась? — спросил с надеждой Магистр.

— Блестяще справилась! Тогда Вейерштрасс согласился стать её учителем, и ему не пришлось в этом раскаиваться. Софья Васильевна стала известным профессором математики. Правда, не в России, а на чужбине — в столице Швеции, Стокгольме.

— Ковалевская, как и Софи Жермен, тоже была удостоена премии Французской Академии наук, — напомнил мне Олег.

— Да, да, и, ввиду большой ценности представленной ею работы, премия даже была увеличена. А через год Ковалевская получила ещё одну премию, на этот раз Шведской Академии наук… А вы говорите, женщины и математика — две вещи несовместные…

— Конечно, это было безответственное утверждение! — признался Магистр. — Но согласитесь сами, разве не странно, когда солидная женщина всё время вертит над головой какой-то шарик на ниточке?

— Но в этом шарике все дело! — воскликнул я. — Софья Васильевна как раз за то и получила обе премии, что исследовала вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки! Магистр задумался.

— Так, так, так… Допустим… Ну, а роман? Роман, который она мне подарила с такой трогательной надписью? Разве солидный математик станет писать романы?

— Но что же в этом плохого? — спросил Сева. — Ковалевская была разносторонним человеком. Помимо математических трактатов она писала повести, романы, пьесы…

— Хорошо, хорошо! — замахал руками Магистр. — Вы меня убедили: я познакомился с тремя замечательными женщинами-математиками. Но четвёртая… как её… Гортензия. Она-то уж наверняка никакого отношения к математике не имеет!

Вынужден вам возразить, — сказал я. — Гортензия Леппо была первоклассным вычислителем. Её имя навсегда связано с кометой Галлея.

Магистр расхохотался:

— А я-то думал, что в приветствие вкралась опечатка и что телеграмма не от Галлея, а от Галилея.

— Никакой опечатки! — заверил я. — Эдмунд Галлей, близкий друг Ньютона, вычислил орбиту кометы, которая появилась в 1682 году. И комета эта справедливо названа его именем. Оказалось, что это та самая комета, которую астрономы наблюдали ещё в 240 году до нашей эры. Вскоре после Галлея французскому астроному и математику Алексису Клоду Клеро удалось вычислить период обращения этой кометы. Оказалось, что она должна возвращаться к нам через каждые 76 лет…

— Все это очень интересно, но при чём здесь Гортензия? — упорствовал Магистр.

— Она-то и принимала самое горячее участие в этих вычислениях. И труды её не пропали даром. В 1759 году, как и было вычислено, комета Галлея снова появилась на небе, таща за собой огромный газовый хвост. А в 1910 году я видел комету Галлея сам. Теперь её следует ожидать в 1986 году.

Магистр всплеснул руками:

— Так вот что означали огненные цифры 1986! Благодарю, тысячу девятьсот восемьдесят шесть раз благодарю вас! Теперь мне всё ясно.

— Простите, Магистр, — вмешалась Таня, — но ясно вам ещё не все. Вы решили, что Гортензии дали имя цветка, а было наоборот. Через некоторое время после того как на небе появилась комета Галлея, из Японии в Париж привезли невиданной красоты безымянный цветок. И учёные Парижа решили назвать его гортензией в честь вычислительницы.

— Вот теперь действительно все, — закончил я.

— Спасибо, спасибо вам, дорогой коллега, за исчерпывающие разъяснения.

Магистр низко поклонился. Я протестующе поднял руку и указал на ребят:

— В первую очередь поблагодарите ваших юных оппонентов.

— Само собой разумеется! — поспешно согласился Магистр. — Дорогие друзья, приношу вам мою самую глубокую признательность. Я знаю, как дорога школьникам каждая минута, а вы всё же нашли время для изучения моей рукописи… — Тут он взглянул на часы и заторопился: — Боже мой! Мои часы снова остановились. И я, вероятно, опаздываю.

— Куда, если не секрет? — спросила Таня (как всякая девочка, она любопытна).

— От друзей у меня секретов нет. Видите ли, мы отправляемся в новое необыкновенное путешествие. Не буду сейчас уточнять маршрут, но обещаю присылать с дороги самые подробные письма.

— Постойте, постойте! — закричал Нулик. — Вы сказали «мы отправляемся». Значит, вы едете не один?

— Ну конечно же, с Единичкой! Мы так привязались друг к другу! И папа Минус тоже очень рад, что его дочь будет под моим присмотром. Да! Чуть не забыл. Надеюсь, на этот раз вы не откажетесь взять на себя временные заботы о моём котёнке? Чудный котёнок! Подумайте, он уже говорит «мяу». Вот, прошу вас, Мяу в этой корзине.

Нулик приподнял клеёнку, покрывавшую корзину, и засмеялся:

 

— Но это же щенок!

— Не может быть! Тогда я мигом сбегаю за котёнком. Впрочем, какая вам разница? Возьмите щенка! Берете?

— Берём, берём! — закричали ребята хором и тотчас же завладели корзиной и её содержимым.

Магистр просиял:

— Ну и отлично! А сейчас я должен спешить. Счастливого пути! То есть, я хочу сказать, счастливо оставаться! Ждите моих писем. Даю вам слово Магистра, что теперь я буду чрезвычайно внимателен. С добрым утром, друзья! То есть спокойной ночи!

Мы проводили Магистра до двери, помахали ему на прощание платками. А потом возвратились в комнату и долго молчали…

— Ничего не поделаешь, — сказал наконец президент. — Последнее заседание КРМ объявляю закрытым.

— Не последнее, а очередное, — поправил Олег. А он редко ошибается…

Москва, 1967

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: