Тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y )?

Решение:

1) заметим, что здесь два условия, которые объёдиняются с помощью логической операции «И»:

(x £ 9) ® (x × x £ A)

(y × y £ A) ® (y £ 9)

2) необходимо, чтобы оба условия были выполнены одновременно; к счастью, первое зависит только от переменной x, а второе – только от переменной y, поэтому их можно рассматривать отдельно: каждое из них задает некоторое ограничение на значение A

3) рассмотрим первое условие: (x £ 9) ® (x × x £ A). Для того чтобы импликация была истинной, нужно не допустить варианта 1 ® 0, то есть при истинной левой части правая часть тоже должна быть истинной.

4) это значит, что для всех 0 < x £ 9 мы должны обеспечить x × x £ A, то есть выбрать A ³ x × x для все допустимых значений x. Очевидно, что для этого необходимо и достаточно выбрать A ³ 9× 9 = 81. Таким образом, мы определили минимальное допустимое значение A = 81.

5) теперь рассмотрим второе условие: (y × y £ A) ® (y £ 9). Чтобы оно было истинно, нужно не допустить варианта 1 ® 0. Выбором A мы можем влиять на левую часть, но не на правую. «Угрозу» представляет вариант, когда правая часть ложна, то есть y > 9. В этом случае нам нужно сделать левую часть ложной, то есть обеспечить выполнение условия y × y > A.

6) для выбора максимального A возьмем минимальное значение y, для которого y > 9. Это даёт условие 10× 10 > A, откуда следует A < 100

7) таким образом, максимально допустимое значение A равно 99.

8) Ответ: 99.

Решение (через отрезки, А.Н. Евтеев, Тульская обл.):

1) Если заменить неравенства буквами, то формула в общем виде будет выглядеть так:

( P ®Q ) Ù (R ® S)=1

2) Перейдём от импликаций в скобках к логическому сложению, получим:

(P +Q ) Ù (R + S)=1

3) Поскольку между скобками мы имеем логическое умножение, истинное лишь при истинности обоих сомножителей, можем перейти к системе:

P +Q =1

R + S=1

4) Вернёмся от букв к исходным неравенствам, учитывая инверсию:

(x > 9) + (x × x £ A)=1  

(y × y > A) + (y £ 9) =1 

5)  Перейдём к числовой прямой. Чтобы формула была истинной, каждая записанная выше сумма должна закрывать всю ось. Для первого выражения это будет выглядеть так:

6) Интервал от 10 и далее закрывает неравенство x > 9, а интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство x × x £ A. И поскольку х на этом интервале не превышает 9, выражение x × x £ A будет истинным уже при А=81

7) Аналогично для второй суммы:

8) Интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство y £ 9, а интервал от 10 и далее закроет неравенство y × y > A. И поскольку значения у начнутся здесь с 10, а y× y =100, то выражение гарантированно будет истинным, если А будет меньше 100, то есть, не будет превышать 99.

9) Ответ: 99.

Решение (графическое, О.В. Алимова):

1) Перейдем к системе и избавимся от импликации

(x > 9) + (x × x £ A) = 1

(y × y > A) + (y £ 9) = 1

2) Так как уравнения независимы, то можно рассматривать их отдельно. Согласно условию нас будет интересовать только I четверть.

3) Построим множества, удовлетворяющие первому уравнению.

a. дизъюнкция – объединение множеств

b. от y в первом уравнении ничего не зависит, то есть, если для какого-то x неравенство выполнилось, то оно будет выполняться для этого x при любом y, следовательно можем рассматривать области плоскости, а не только отрезки/интервалы на оси OX

c. для точек правой границы левого прямоугольника условие x ² ≤ A выполняется

d. для точек левой границы правого прямоугольника условие x > 9 не выполняется

4) При увеличении значения А, ширина левого прямоугольника будет увеличиваться, и при А = 81, объединение прямоугольников закроет все значения х. Это наименьшее возможное значение А. При дальнейшем увеличении А, будет расти область пересечения прямоугольников, но все значения х, будут входить в объединение прямоугольников.

5) Рассмотрим второе уравнение. Множества удовлетворяющие этому уравнению будут выглядеть так:

6) Пока верхний и нижний прямоугольник пересекаются, можем увеличивать А.

7) Значение А можно увеличивать и дальше, пока в область объединения прямоугольников не перестанет попадать целое значение y. А это произойдет при А=100, для у=10 неравенство y² > A перестанет выполняться. Наибольшее значение А=99.

8) Ответ: 99.

9) Замечания. В зависимости от строгости(не строгости) неравенств в исходном уравнении, будут включатся или исключатся точки, лежащие на границе соответствующей области.
Так значение А для уравнения ( x < 9) ® ( x × x £ A ) = 1 будет 64,

для уравнения (x < 9) ® (x × x < A) = 1 будет 65,  

а для уравнения (x £ 9) ® (x × x < A) = 1 будет 82. Аналогично, во втором уравнении, могут получиться числа 100, 81, 80.

Решение (М.В. Кузнецова):

1) Заметим, что данная формула содержит конъюнкцию двух импликаций. Конъюнкция истинна только, если оба операнда равны 1, т.е. обе импликации должны быть равны 1, для этого надо исключить ситуации 1 ® 0, переведя их к истинным импликациям 1® 1 или 0 ® 0.

2) Дальнейшие рассуждения оформим в таблице.

Формула*	( (x £ 9 ) ® ( A≥ x × x ) )  Ù  ( ( A≥ y × y ) ® ( y £ 9 ) )
Изменяемое выражение**	-	+	+	-
Нельзя допустить	1	0	1	0
Надо обеспечить	1	1	0	0
Новые выражения	x £ 9, x ϵ [0; 9]	A ≥ x∙ x	A < y∙ y	y > 9, y ϵ [10; ∞ )
Выводы	A ≥ 9∙ 9, Amin = 81		A< 10∙ 10, A max= 99

Пояснения

^* При переписывании формулы в неравенствах с «А» меняем местами левую и правую часть, т.е. «А» пишем слева.

^** Помечаем символом «+» элементы формулы, содержащие « A », изменяя значения которых должны исключить неблагоприятные ситуации.

3) Ответ: 99.

Ещё пример задания:

Р-25. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число a, такое что выражение

( x & 125 ¹  1) Ú ((x & 34 = 2) ® (x & a = 0))

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: