тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x )?

Решение:

1) Введём обозначения:

Z₂₈ = (x & 28 = 0), Z₄₅ = (x & 45 = 0), Z₄₈ = (x & 48 = 0), A = (x & a = 0)

2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации:

3) перейдем к импликации, используя закон де Моргана:

4) преобразуем выражение в правой части по формуле , выполнив поразрядную дизъюнкцию (операцию ИЛИ):

  28 = 011100

  45 = 101101

28 or 45 = 111101 = 61

получаем

5) для того, чтобы выражение  было истинно для всех x, нужно, чтобы двоичная запись числа 48 or a содержала все единичные биты числа 61. Таким образом, с помощью числа a нужно добавить те единичные биты числа 61, которых «не хватает» в числе 48:

48 = 110000

a = **11*1

61 = 111101

биты, обозначенные звездочками, могут быть любыми.

6) поскольку нас интересует минимальное значение a, все биты, обозначенные звездочкой, можно принять равными нулю.

7) получается A = 2³ + 2² + 2⁰ = 13

8) Ответ: 13.

Ещё пример задания (М.В. Кузнецова):

Р-23. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число a, такое что выражение
(( (x & a ¹  0) Ù (x & 12 = 0)) ® ((x & a = 0) Ù (x & 21 ¹ 0))) Ú ((x & 21 = 0) Ù (x & 12 = 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Решение:

1) Введём обозначения:

Z₁₂ = (X & 12 = 0),        Z₂₁ = (X & 21 = 0), A = (X & a = 0)

2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации:

Выражение в первой скобке упрощаем, используя следствие из распределительного закона

Полученное выражение также можно упростить, используя ещё одно следствие из распределительного закона

3) перейдем к импликации, избавившись от инверсии:

 

4) поскольку множество единичных битов числа 21 = 10101­₂ не входит во множество единичных битов числа 12 = 1100­₂, импликация  ложна для некоторых x; поэтому нужно обеспечить истинность выражения  

5) выражение  истинно при условии, что множество единичных битов числа a входит во множество единичных битов числа 12, поэтому в двоичной записи числа a ненулевыми могут быть только биты в разрядах 2 и 3

6) поэтому a_max = 2³ + 2² = 12.

7) Ответ: 12.

Ещё пример задания:

Р-22. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число a, такое что выражение

(x & 49 ¹ 0) ® ((x & 33 = 0) ® (x & a ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Решение (1 способ):

1) введём обозначения:

Z₄₉ = (x & 49 = 0), Z₃₃ = (x & 33 = 0), A = (x & a = 0)

2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации  и закон де Моргана :

3) переходим к импликации, избавляясь от инверсий:

4) чтобы это выражение было истинным, нужно, чтобы множество единичных битов числа 33 or a перекрывало множество единичных битов числа 49; с помощью a можно добавить недостающие биты:

33 = 100001

a = *1****

49 = 110001

5) чтобы выбрать минимальное a, биты, обозначенные звездочками, примем равными нулю; получаем число 10000₂ = 16 = 2⁴.

6) Ответ: 16.

Решение (2 способ, Н.Г. Неуймина, г. Екатеринбург):

1) введём обозначения:

P = (X & 49 ¹ 0), Q = (X & 33 = 0),    A = (X & A ¹ 0)

2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации :

P ® (Q ® A) = + (Q ® A) =

3) чтобы формула была тождественно истинной для любых Х необходимо, чтобы при  было А=1

4) имеем  тогда и только тогда, когда ;

5) посмотрим, какими свойствами должен обладать X для того, чтобы было

6) если , то есть, (X & 33 = 0), имеем

номер бита 5 4 3 2 1 0

  X = 0 bcde 0

33 = 100001

X & 33 = 000000

это значит, что биты {5, 0} – нулевые

7) если одновременно , то есть, (X & 49 ¹ 0), имеем

номер бита 5 4 3 2 1 0

  X = 0 b cde 0

49 = 110001

X & 49 = 0 b 0000

это значит, что бит 4 в X – обязательно ненулевой

8) из 6 и 7 делаем вывод, что для выполнения условия A = (X & A ¹ 0) = 1 необходимо, чтобы, по крайней мере, бит 4 числа A был ненулевым (так как биты {3, 2, 1} в X могут быть нулевые! )

9) поскольку нужно найти наименьшее подходящее A, получаем ответ 2⁴ = 16

10) Ответ: 16.

Решение (3 способ, А.В. Лаздин, НИУ ИТМО):

1) если X & 49 = 0, то исходное выражение истинно, независимо от значения числа А; значит, значение числа А влияет на решение задачи только при выполнении условия:

1. X & 49 ¹ 0.

2) тогда исходное выражение может быть представлено в виде:

1 ® ((X & 33 = 0) ® (X & A ¹ 0))                    (2)

3) Для того чтобы это выражение было истинным, необходимо, чтобы выражение

(X & 33 = 0) ® (X & A ¹ 0)

было истинным, при этом, если X & 33 ¹ 0, то это выражение истинно независимо от значения числа А (импликация из 0 в 1).

4) следовательно, значение числа А влияет на принимаемое исходным выражением значение только при одновременном соблюдении двух условий:

1. X & 49 ¹ 0

2. X & 33 = 0

5) исходное выражение принимает следующий вид:

1 ® (1 ® (X & A ¹ 0))                                                  (3)

6) для того чтобы это выражение приняло значение 1, необходимо, чтобы выполнилось третье условие:

3. X & A ¹ 0.

49₁₀ = 110001₂

33₁₀ = 100001₂

X 010000

7) условия 1 и 2 выполняются, если пятый бит числа Х равен 1.

8) значит условие № 3 выполняется, если пятый бит числа А равен 1

9) число А минимально, если младшие разряды этого числа равны 0

10) Ответ: 16.

Решение (4 способ, М.В. Кузнецова ):

1) Введём обозначения:

P = (X & 49 ¹ 0), Q = (X & 33 ¹ 0), A = (X & A ¹ 0)

2) Перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации :

 

3) Чтобы формула была тождественно истинной для любых Х необходимо, чтобы при  было А=1, т.е  .

4) Значит, A =1 тогда и только тогда, когда .

5) Запишем двоичное представление чисел 49 и 33, на их основе составим маски возможных значений числа х, таких, что . В маске «1» - соответствует возможному положению 1, «0» - обязательному положению 0 в двоичной записи числа х.

 

Номер бита	5	4	3	2	1	0
Вес разряда	32	16	8	4	2	1
Двоичная запись 49	1	1	0	0	0	1
Двоичная запись 33	1	0	0	0	0	1
Маска мин. х, для P=1 (x & 49 ≠ 0)	1	1	0	0	0	1
Маска мин. х, для =1 (x & 33 = 0)	0	1	1	1	1	0
A = (x & 49 ≠ 0) and (x & 33 = 0)	0	1	0	0	0	0

6) Ответ: 16.

Ещё пример задания:

Р-21. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число a, такое что выражение

(x & a ¹ 0 ) ® ((x & 20 = 0) ® (x & 5 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Решение:

1) введём обозначения:

Z₂₀ = (x & 20 = 0), Z₅ = (x & 5 = 0), A = (x & a = 0)

2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации  и закон де Моргана :

3) преобразуем это выражение в импликацию, избавившись от инверсии:

4) заменим  на :

  20 = 10100

  5 = 00101

20 or 5 = 10101 = 21

5) таким образом, нужно обеспечить истинность выражения  при всех x

6) это возможно только тогда, когда множество единичных битов числа a входит во множество единичных битов числа 21

7) поэтому максимальное a_max = 10101₂ = 21

8) Ответ: 21.

Решение (2 способ, Н.Г. Неуймина, г. Екатеринбург):

1) введём обозначения:

P = (X & 20 = 0), Q = (X & 5 = 0), A = (X & A = 0)

2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации :

3) чтобы формула была тождественно истинной для любых Х необходимо, чтобы при  было А=1

4) имеем  тогда и только тогда, когда ;

5) посмотрим, какими свойствами должен обладать X для того, чтобы было

6) если , то есть, (X & 5 = 0), имеем

номер бита 4 3 2 1 0

  X = a b0 d 0

  5 = 00101

X & 5 = 00000

это значит, что биты {2, 0} – нулевые

7) если одновременно , то есть, (X & 20 = 0), имеем

номер бита 4 3 2 1 0

  X = 0 b 0 d 0

20 = 10100

X & 20 = 00000

это значит, что бит 4 в X – обязательно нулевой

8) так как биты {3, 1} числа X могут быть ненулевыми, в этих разрядах числа A должны стоять нули, а вот биты {4, 2, 0} в X – нулевые, поэтому в числе A эти биты могут быть равны 1

9) поскольку нужно найти наибольшее подходящее A, получаем ответ 2⁴ + 2² + 2⁰ = 21

10) Ответ: 21.

Ещё пример задания:

Р-20 (М.В. Кузнецова). Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, А) ® (ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение:

1) введём обозначения A = ДЕЛ( x, А ), D ₂₁ = ДЕЛ( x, 21 ), D ₃₅ = ДЕЛ( x, 35 )

2) введём множества:

A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

D₂₁ –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D ₂₁

D₃₅ –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D ₃₅

…

3) Запишем формулу из условия в наших обозначениях

4) Раскроем импликацию по правилу :

5) Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы  (т.е. ), когда . Тогда наибольшее множество А определяется как  

6) Множество , точно соответствующее выражению с помощью функции ДЕЛ получить невозможно.

7) Выполним анализ исходной формулы с помощью кругов Эйлера.

Чтобы в множество  входили все числа, не попавшие в объединение , достаточно, чтобы множество А находилось внутри этого объединения, например, совпадая с одним из множеств D ₃₅ или D ₂₁, или располагаясь внутри любого из них, что возможно, если использовать делители, кратные 21 или 35.

8) В задании требуется найти НАИМЕНЬШЕЕ значение, этому условию соответствует 21.

9) Ответ: 21

 Ещё пример задания:

Р-19 (М.В. Кузнецова). Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, А) ® ( ДЕЛ(x, 21) Ù ДЕЛ(x, 35))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение:

1) введём обозначения A = ДЕЛ( x, А ), D ₂₁ = ДЕЛ( x, 21 ), D ₃₅ = ДЕЛ( x, 35 ) и D_N = ДЕЛ( x, N)

2) введём множества:

A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

D ₂₁ –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D ₂₁

D ₃₅ –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D ₃₅

…

3) Запишем формулу из условия в наших обозначениях

4) Раскроем импликацию по правилу :

5) Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы А = 1, когда . Тогда множество А определяется так:  

6) Множество , точно соответствующее выражению с помощью функции ДЕЛ получить невозможно.

7) Выполним анализ исходной формулы с помощью кругов Эйлера.

в множество А должны входить все числа, попавшие в объединение . Нужно найти множество, в которое входят оба эти множества. Для этого рассмотрим делители чисел 21 и 35.

8) Число 35 делится на 5 и 7, поэтому: , 21 делится на 3 и 7, поэтому:

9) Перепишем и упростим формулу для А:

10) Таким образом, каждое из множеств D₃₅ и D₂₁ входит в множество D₇. Объединение D₃₅ + D₂₁ тоже входит в D₇. Поскольку 7 – наибольший общий делитель чисел 21 и 35, то найдено максимальное значение соответствующее условию задачи.

11) Ответ: 7.

Ещё пример задания:

Р-18. Пусть P – множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 1,  Q – множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 000, а A – некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение

(x Î A) ® ((x Î P) Ú (x Î Q))

Решение:

1) введём обозначения

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

1) перейдем к более простым обозначениям

2) раскрываем импликацию по формуле :

3) для выполнения условия  при любом x необходимо, чтобы  для всех x, для которых , то есть

4) множество  – это все 8-битовые цепочки, которые начинаются с 1 и оканчиваются НЕ на 000

5) поскольку всего битов 8, структура всех таких цепочек имеет вид 1****??? , где * обозначает любой из двух символов (0 или 1), а ??? – трёхбитное окончание, не совпадающее с 000

6) всего может быть 2³ = 8 комбинаций из трёх битов, одно из них, 000, запрещено для окончания, поэтому остаётся еще 7 разрешённых вариантов

7) общее количество подходящих цепочек находим по правилам комбинаторики, перемножив количество вариантов для каждой части цепочки (1 для первого бита, по 2 для следующих четырёх и 7 для трёхбитного окончания) 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 7 = 112

8) Ответ: 112.

 

Решение (А.Н. Носкин):

1) упростим исходное выражение и получим: А Ú Р Ú Q = 1

2) всё множество всех 8-битовых цепочек расположено на отрезке от 0 до 255

3) минимальное число множества Р начинающегося с 10000000₂ = 128, следовательно, все множество Р занимает часть отрезка от 128 до 255; длина этой части отрезка равна 255 – 128 + 1 = 128.

4) Q – множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 000, которые имеют вид  ****000, где * обозначает любой из двух символов (0 или 1); количество таких чисел в множестве равно 2⁴ = 16, где 4 – число звездочек в числе Q

5) из выражения видно, что множество Р закрывает интервал от 0 до 127, следовательно, множество A должно перекрыть все числа во множестве Р (таких чисел 128), которые не перекрывают числа из множества Q

6) минимальное множество A содержит 128 – 16 = 112 элементов.

7) Ответ: 112.

Ещё пример задания:

Р-17. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, А) ® (ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение:

1) введём обозначения A = ДЕЛ( x, А ), P = ДЕЛ( x, 21 ) и Q = ДЕЛ( x, 35 )

2) введём множества:

A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

P –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P

Q –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q

3) истинным для всех X должно быть выражение

4) упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу :

5) из этой формулы видно, что  может быть равно 0 (и соответственно, A может быть равно 1) только там, где ; таким образом, наибольшее возможное множество A определяется как  – множество всех чисел, которые делятся на 35 плюс множество чисел, которые не делятся на 21;

6) заметим, что в точности такое множество  нельзя получить с помощью функции ДЕЛ никаким выбором A;

7) итак, нам нужно множеством A перекрыть все числа, которые делятся на 35, это можно сделать, например, выбрав в качестве A любой делитель числа 35 = 5 · 7

8) в то же время нам нельзя перекрывать числа, которые не делятся на 35, но делятся на 21 = 3 · 7 (в этих точках , и если будет A = 1, то )

9) предположим, что мы выбрали некоторое значение A; тогда выражение  ложно в точках A·k, где k – натуральное число;

10) если число A·k делится на 21, то есть A·k = 21·m  при некотором натуральном числе m, то такое число должно (для выполнения условия ) делиться на 35;

11) раскладываем 21 на простые сомножители: 21 = 3 · 7; для того, чтобы число

A·k = 3 · 7 · m

делилось на 35, в правой части нужно добавить сомножитель 5, это и есть искомое минимальное значение A (вообще говоря, А может быть любым числом, кратным 5)

12) Ответ: 5.

Решение (М.В. Кузнецова):

1) Введём обозначения A = ДЕЛ( x, А ), D ₂₁ = ДЕЛ( x, 21 ), D ₃₅ = ДЕЛ( x, 35 ) и D_N = ДЕЛ( x, N)

2) Введём множества:

A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

D₂₁ –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D ₂₁

D₃₅ –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D ₃₅

…

3) Запишем формулу из условия в наших обозначениях

4) Раскроем импликацию по правилу :

5) Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы  (т.е. А=0), когда . Тогда наибольшее множество  определяется как  

6) Множество , точно соответствующее выражению с помощью функции ДЕЛ получить невозможно. Очевидно, что А _min = D ₃₅, т.е. 35 – наибольшее из чисел, соответствующих условию задачи. Меньшим может быть делитель 35, не являющийся делителем 21.

7) Чтобы делитель 35 был решением необходимо, чтобы ни для одного из чисел, кратных ему не выполнилось условие: .

8) Разложим 35 и 21 на простые множители: 35= 5 ∙ 7, 21=3 ∙ 7.

9) 7 – общий делитель, не может быть решением.

10) Проверим 5. Вычислим «опасное» число, принадлежащее множеству , это 5∙ 21=105, но 105: 35 =3 (остаток 0), т.е. и для него , значит 5 соответствует условию задачи.

11) Ответ: 5

Ещё пример задания:

Р-16. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, А) ® (ДЕЛ(x, 6) ® ДЕЛ(x, 4))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение:

1) введём обозначения A = ДЕЛ( x, А ), P = ДЕЛ( x, 6) и Q = ДЕЛ( x, 4 )

2) введём множества:

A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

P –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P

Q –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q

3) истинным для всех X должно быть выражение

4) упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу :

5) из этой формулы видно, что множество A должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством , то есть перекрыть множество

6) множество  – это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 4 и 6 (все числа, кратные 4 и 6), то есть, 12, 24, 36 и т.д. (заметим, что 12 – это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6)

7) для того, чтобы перекрыть эти числа, можно выбрать в качестве A любой делитель числа 12, то есть, 1, 2, 3, 4, 6 или 12; наибольшее из этих чисел – 12.

8) Ответ: 12.

Ещё пример задания:

Р-15. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5; 30] и Q = [14; 23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Решение:

1) Для того чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

3) раскрываем импликацию по формуле :

4) поскольку это выражение должно быть равно 1, то должно быть истинным (и, следовательно, – ложным! ) везде, где ложно ;

5) таким образом, может быть истинным только там, где истинно

6) выражение  истинно на двух интервалах: [5; 14) и (23; 30], которые входят в и не входят в , на рисунке они обозначены жёлтым цветом:

7) значение может быть истинным только внутри этих полуинтервалов, выделенных желтым цветом; но поскольку – это отрезок, его наибольшая длина – это длина наибольшего из «жёлтых» полуинтервалов, то есть, 14 – 5 = 9 (длина второго полуинтервала равна 30 – 23 = 7).

8) Ответ: 9.

Ещё пример задания:

Р-14. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x Î {4, 8, 12, 116}) Ù (x Î A)) → (x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Решение:

1) Заметим, что в задаче, кроме множества A, используются еще два множества:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116}

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

3) перейдем к более простым обозначениям

4) раскрываем обе импликации по формуле :

5) теперь используем закон де Моргана :

6) поскольку это выражение должно быть равно 1, то A должно быть истинным везде, где ложно

7) тогда минимальное допустимое множество A – это  (по закону де Моргана)

8) переходим ко множествам

= {4, 8, 12, 116}

= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

9) тогда – это все натуральные числа, которые входят одновременно в  и ; они выделены жёлтым цветом: {4, 8, 12}

10) именно эти числа и должны быть «перекрыть» множеством А_min, поэтому минимальный состав множества A – это А_min = {4, 8, 12}, сумма этих чисел равна 24

11) Ответ: 24.

Решение (3 способ, А.В. Лаздин, НИУ ИТМО):

1) обозначим множества следующим образом:

L = {2, 4, 6, 8, 10, 12}     M = {4, 8, 12, 116}.
тогда исходное выражение можно записать в упрощенной форме:

(x Î L) → (((x Î M) Ù (x Î A)) → (x Î L))                  (1)

2) если х не принадлежит множеству L, то выражение принимает значение 1, независимо от множества А (импликация из 0 всегда равна 1); таким образом, необходимо рассмотреть ситуацию, когда x Î L.

3) Условие 1. x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}

В этом случае исходное выражение принимает следующий вид:

1 → (((x Î M) Ù (x Î A)) → 0)                                      (2)

это выражение примет значение 0 только в том случае, если

(((x Î M) Ù (x Î A)) → 0) будет ложным.
Для этого выражение ((x Î M) Ù (x Î A)) должно быть истинным (импликация из 1 в 0).

4) если х не принадлежит множеству М, то выражение 2 будет истинным не зависимо от множества А.

5) таким образом множество А влияет на решение задачи только при одновременном соблюдении двух условий:

1. x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}

2. x Î {4, 8, 12, 116}

В этом случае исходное выражение принимает следующий вид:

1 → ((1 Ù (x Î A)) → 0)                                                (3)

6) для того чтобы это выражение было истинным, выражение (x Î A) обязательно должно быть ложным; для этого выражение x Î A должно быть истинным.

7) значит, одновременно должны быть выполнены три условия:

1. x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}

2. x Î {4, 8, 12, 116}

3. x Î A

для этого множеству А обязательно должны принадлежать числа 4, 8, 12.

8) Ответ: 24.

Пример задания:

Р-13. На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

3) раскрываем обе импликации по формуле :

4) теперь используем закон де Моргана :

5) в таком виде выражение уже смотрится совсем не страшно; Сразу видно, что отрезок  должен перекрыть область на числовой оси, которая не входит в область :

6) по рисунку видно, что не перекрыт только отрезок [40; 60] (он выделен жёлтым цветом), его длина – 20, это и есть правильный ответ.

7) Ответ: 20.   

Ещё пример задания:

Р-12. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 39] и Q = [23, 58]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение

((x Î P) Ù (x Î A) ) → ((x Î Q) Ù (x Î A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [5, 20]            2) [15, 35]      3) [25, 45]      4) [5, 65]

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

P × A → Q × A

3) раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( ):

4) раскроем инверсию первого слагаемого по закону де Моргана ( ):

5) теперь применим закон поглощения

 

к последним двум слагаемым:

6) для того, чтобы выражение было истинно при всех x,  нужно, чтобы  было истинно там, где ложно , то есть там, где истинно  (жёлтая область на рисунке)

7) таким образом, A должно быть ложно на отрезке [10, 23], такое отрезок в предложенном наборе один – это отрезок [25, 45]

8) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-11. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 30] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

( x Î A) → ((x Î P) Ú (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) 10       2) 20 3) 30 4) 45

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

A → ( P + Q )

3) раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( ):

4) для того, чтобы выражение было истинно при всех x,  нужно, чтобы  было истинно там, где ложно  (жёлтая область на рисунке)

5) поэтому максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно,  ложно) – это отрезок [10, 55], имеющий длину 45

6) Ответ: 4.

Ещё пример задания:

Р-10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

( x Î A) → ((x Î P) Ú (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) 10       2) 20 3) 30 4) 45

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

A → ( P + Q )

3) раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( ):

4) для того, чтобы выражение было истинно при всех x,  нужно, чтобы  было истинно там, где ложно  (жёлтая область на рисунке)

5) поскольку области истинности  и  разделены, максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно,  ложно) – это наибольший из отрезков  и , то есть отрезок [25, 55], имеющий длину 30

6) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-09. На числовой прямой даны два отрезка: P = [14, 34] и Q = [24, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула

( x Î A) → ((x Î P) º (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [15, 29]            2) [25, 29]      3) [35, 39]       4) [49, 55]

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

A → ( P º Q )

3) выражение  R = (P º Q )  истинно для всех значений x, при которых P и Q равны (либо оба ложны, либо оба истинны)

4) нарисуем область истинности выражения  R = (P º Q ) на числовой оси (жёлтые области)

5) импликация A → R истинна за исключением случая, когда A=1 и R =0, поэтому на полуотрезках [14, 24[ и ]34, 44], где R =0, выражение A должно быть обязательно ложно; никаких других ограничений не накладывается

6) из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [25, 29] и [49, 55]; по условию из них нужно выбрать самый длинный

7) отрезок [25, 29] имеет длину 4, а отрезок [49, 55] – длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55]

8) Ответ: 4.

Ещё пример задания:

Р-08. На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [10, 60]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î А) ) /\ ( (x Î A) → (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [5, 40]               2) [15, 54]      3) [30, 58]       4) [5, 70]

Решение:

1) в этом выражении две импликации связаны с помощью операции И (конъюнкции), поэтому для истинности всего выражения обе импликации должны быть истинными

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

3) перейдем к более простым обозначениям в обоих условиях  

( P → A )  /\ ( A → Q )

и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ:

,

4) выражение  должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение  – это две полуоси

5) отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 4

6)  выражение  тоже должно быть истинно на всей числовой оси; выражение  должно перекрывать все, кроме отрезка, который перекрывает выражение :

7) поэтому начало отрезка должно быть внутри отрезка [10, 20], а его конец – внутри отрезка [50, 60]

8) этим условиям удовлетворяет только вариант 2.

9) Ответ: 2.

Ещё пример задания:

Р-07. На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:

(x Î P) → (x Î A)

 (Ø (x Î А)) → (Ø (x Î Q))

Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

1) [40, 50]          2) [30, 60]        3) [30, 70]       4) [40, 100]

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям в первом условии  P → A и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ:

3) выражение  должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение  - это две полуоси

4)

5) отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 3

6) аналогично разбираем и преобразуем второе выражение

7) и находим, что для того, чтобы обеспечить истинность второго выражения на всей оси отрезок A должен полностью перекрыть отрезок Q; этому условию удовлетворяют варианты ответов 3 и 4

8) объединяя результаты п. 5 и 7, получаем, что условию задачи соответствует только отрезок 3.

9) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-06. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 3]              2) [3, 11]         3) [11, 15]      4)[15, 17]

Решение:

1) два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

3) тогда получаем, переходя к более простым обозначениям:

Z = (A→ P) + Q

4) представим импликацию A → P через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

5) это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , P, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только

6) посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями P и Q:

7) видим, что отрезок [2, 14] перекрыт, поэтому выражение  должно перекрывать оставшуюся часть; таким образом, должно быть истинно на интервалах (– ¥, 2) и (14, ¥ ) и, соответственно, выражение  A (без инверсии) может быть истинно только внутри отрезка [2, 14]

8) из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3, 11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2, 14], это и есть правильный ответ

9) Ответ: 2.

Решение (вариант 2, А.Н. Евтеев):

1) пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения

2) полученное после преобразований выражение  должно быть истинно при любом x

3) логическая сумма истинна во всех случаях кроме одного: если все слагаемые ложны, следовательно выражение  ложно только когда A = 1, P = 0 и Q = 0

4) поэтому если область истинности A выйдет за пределы отрезка [2, 14], где одновременно ложны P и Q, то  будет ложно

5) это значит, что A может быть истинно только внутри отрезка [2, 14]

6) из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3, 11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2, 14], это и есть правильный ответ

7) Ответ: 2.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1) пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения

2) если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

3) эти точки (2, 6, 10 и 14) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x	P	Q
x < 2	0	0	0
2 < x < 6	1	0	1
6 < x < 10	1	1	1
10 < x < 14	0	1	1
x > 14	0	0	0

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4) по условию выражение  должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение  (и соответствующее значение ) для каждого интервала:

 

 

x	P	Q
x < 2	0	0	0	1	0	1
2 < x < 6	1	0	1	любое	любое	1
6 < x < 10	1	1	1	любое	любое	1
10 < x < 14	0	1	1	любое	любое	1
x > 14	0	0	0	1	0	1

5) таким образом, значение должно быть равно 0 вне отрезка [2, 14]; из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3, 11] (вариант 2)

6) Ответ: 2.

Ещё пример задания:

Р-05. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Ï А) → (x Ï P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 15]            2) [10, 25]       3) [2, 10]         4)[15, 20]

Решение (отрезки на оси):

1) два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q

3) учтем, что в формуле используется знак Ï («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:

4) представим импликацию  через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

5) это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , , Q; из всех этих выражений нам неизвестно только

6) посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями и Q;  область  состоит из двух участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2, 20], а область Q – это отрезок [15, 25]:

7) таким образом, область истинности выражения  должна перекрывать оставшуюся часть – отрезок [2, 15]

8) из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0, 15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2, 15], это и есть правильный ответ

9) Ответ: 1.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1) пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения

2) если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

3) эти точки (2, 15, 20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x	P		Q
x < 2	0	1	0	1
2 < x < 15	1	0	0	0
15 < x < 20	1	0	1	1
20 < x < 25	0	1	1	1
x > 25	0	1	0	1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4) по условию выражение  должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

x	P		Q
x < 2	0	1	0	1	любое	1
2 < x < 15	1	0	0	0	1	1
15 < x < 20	1	0	1	1	любое	1
20 < x < 25	0	1	1	1	любое	1
x > 25	0	1	0	1	любое	1

5) таким образом, область истинности выражения  должна перекрывать отрезок [2, 15]

6) из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0, 15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2, 15], это и есть правильный ответ

7) Ответ: 1.

Ещё пример задания:

Р-04. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25, 40]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î Q) → (x Ï R) ) /\ (x Î A) /\ (x Ï P)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 15]            2) [10, 40]       3) [25, 35]      4)[15, 25]

Решение (способ 1):

1) три условия связаны с помощью операции /\ (логическое «И»), поэтому для того, чтобы выражение было тождественно равно нулю, для каждого значения x по крайней мере одно из них должно был ложно

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q,   R: x Î R

3) учтем, что в формуле дважды используется знак Ï («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:

4) представим импликацию  через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

5) роль сомножителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где произведение  равно 1; поэтому для этих значений x выражение A должно быть равно нулю, а для остальных x его значение не играет роли

6) область истинности выражения  по закону де Моргана совпадает с областью истинности выражения , то есть это область вне общей части отрезков Q и R (она показана жёлтым цветом на рисунке):

7) теперь умножим это выражение на  (ему соответствует область вне отрезка [10, 25]), построив область ; эта область, где одновременно истинны  и , выделена фиолетовым цветом:

8) как следует из п. 4, в фиолетовой области на предыдущем рисунке выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10, 30] может быть истинно

9) таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10, 30]

10) этому условию удовлетворяет только отрезок [15, 25] (ответ 4)

11) Ответ: 4.

Решение (способ 2, инверсия и преобразование):

1) пп. 1-4 такие же, как и в первом способе

2) выражение  тождественно ложно тогда и только тогда, когда обратное ему, , тождественно истинно; таким образом, если выполнить инверсию для , мы сведём задачу к задаче из демо-варианта ЕГЭ-2013, разобранной выше

3) имеем, используя законы де Моргана:

4) выражение  истинно на общей части (пересечении) отрезков Q и R, то есть, на отрезке [25, 30]

5) добавляя к этому диапазону отрезок P, получим отрезок [10, 30], где истинно выражение  

6) остальную часть числовой оси (при x меньше 10 и x больше 30) должно перекрыть выражение , то есть  должно быть ложно вне отрезка [10, 30]

7) таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10, 30]

8) этому условию удовлетворяет только отрезок [15, 25] (ответ 4)

9) Ответ: 4.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1) пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения

2) если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

3) эти точки (10, 15, 25, 30 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x	P		Q		R
x < 10	0	1	0	1	0	1	1	1
10 < x < 15	1	0	0	1	0	1	1	0
15 < x < 25	1	0	1	0	0	1	1	0
25 < x < 30	0	1	1	0	1	0	0	0
30 < x < 40	0	1	0	1	1	0	1	1
x > 40	0	1	0	1	0	1	1	1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4) по условию выражение  должно быть равно 0 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

x
x < 10	1	0	0
10 < x < 15	0	любое	0
15 < x < 25	0	любое	0
25 < x < 30	0	любое	0
30 < x < 40	1	0	0
x > 40	1	0	0

1) таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10, 30]

2) этому условию удовлетворяет только отрезок [15, 25] (ответ 4)

3) Ответ: 4.

Ещё пример задания:

Р-03. На числовой прямой даны три интервала: P = (5, 10), Q = [10, 20] и R = [25, 40]. Выберите такой отрезок A, что выражения

(x Î A) → (x Î P)  и  (x Î Q) → (x Î R)

тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при любом значении переменной х.

1) [7, 20]            2) [2, 12]         3) [10, 25]       4)[20, 30]

Решение (способ 1, отрезки на числовой прямой):

1) обратите внимание, что интервал P – это открытый интервал; это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q,   R: x Î R

3) перейдём к более простым обозначениям:

,

4) выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»:

,

5) заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение

6) общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения , а затем дополнить отрезок P до этой области; это «дополнение» будет соответствовать области

7) построим область  – объединение отрезка R и области вне отрезка Q:

обратим внимание, что область  (выделена жёлтым цветом) в данном случае совпадает с

8) теперь рассмотрим область  (выделена голубым цветом)

9) чтобы область истинности выражения  совпала с жёлтой областью, выражение  должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область )

10) поэтому выражение обязательно должно быть истинно на отрезке [10, 20]; обязательно должно быть ложно на полуосях  и , а на отрезке [5, 10] его значение может быть любым (там выполнение требований обеспечивает область )

11) из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7, 20] (ответ 1)

12) Ответ: 1.

Решение (способ 2, таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1) пп. 1-6 такие же, как и в первом способе решения

2) если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

3) эти точки (5, 10, 20, 25 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x	P	Q		R
x < 5	0	0	1	0	1
5 < x < 10	1	0	1	0	1
10 < x < 20	0	1	0	0	0
20 < x < 25	0	0	1	0	1
25 < x < 40	0	0	1	1	1
x > 40	0	0	1	0	1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4) по условию выражение  должно быть равно выражению  при любых значениях x, отсюда можно найти, каким должно быть значение  (и соответствующее значение ) для каждого интервала:

 

x			P
x < 5	1	1	0	1	0
5 < x < 10	1	1	1	любое	любое
10 < x < 20	0	0	0	0	1
20 < x < 25	1	1	0	1	0
25 < x < 40	1	1	0	1	0
x > 40	1	1	0	1	0

4) таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [10, 20] и, возможно, заходит внутрь отрезка [5, 10]

5) из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7, 20] (ответ 1)

6) Ответ: 1.

Ещё пример задания:

Р-02. На числовой прямой даны три интервала: P = (10, 15), Q = [5, 20] и R = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что выражения

(x Ï A) → (x Î P)  и  (x Î Q) → (x Î R)

принимают различные значения при любых x.

1) [7, 20]            2) [2, 15]         3) [5, 12]          4)[20, 25]

Решение (способ 1, отрезки на числовой прямой):

1) обратите внимание, что интервал P – это открытый интервал; это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков

2) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P,    Q: x Î Q,   R: x Î R

3) перейдём к более простым обозначениям:

,

4) выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»:

,

5) заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение

6) общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения , а затем дополнить отрезок P до «обратной» области, в которой выражение  ложно; это «дополнение» будет соответствовать области

7) построим область  – объединение отрезка R и области вне отрезка Q:

8) теперь рассмотрим область  (выделена голубым цветом)

9) чтобы выполнить заданное условие (противоположность значений  и  при любых x), область истинности выражения  должна совпадать с областью, где выражение  ложно; для этого выражение  должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область ), но не должно заходить в «жёлтую» область:

10) из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5, 12] (ответ 3)

11) Ответ: 3.

Решение (способ 2, таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1) пп. 1-6 такие же, как и в первом способе решения

2) если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

3) эти точки (5, 10, 15, 20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x	P	Q		R
x < 5	0	0	1	0
5 < x < 10	0	1	0	0
10 < x < 15	1	1	0	0
15 < x < 20	0	1	0	1
20 < x < 25	0	0	1	1
x > 25	0	0	1	0

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4) по условию выражение  должно быть НЕ равно выражению  при любых значениях x, отсюда можно найти, каким должно быть значение  для каждого интервала:

x			P
x < 5	1	0	0	0
5 < x < 10	0	1	0	1
10 < x < 15	0	1	1	любое
15 < x < 20	1	0	0	0
20 < x < 25	1	0	0	0
x > 25	1	0	0	0

7) таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [5, 10] и, возможно, заходит внутрь отрезка [10, 15]

8) из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5, 12] (ответ 3)

9) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-01. Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?

 1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН     4) МАРИЯ

Решение:

1) два условия связаны с помощью операции /\ («И»), поэтому должны выполняться одновременно

2) импликация ложна, если ее первая часть («посылка») истинна, а вторая («следствие») – ложна

3) первое условие «первая буква согласная → вторая буква согласная» ложно тогда, когда первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов 2 и 4

4) второе условие «предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная» ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа 3

5) таким образом, для варианта 1 (КРИСТИНА) оба промежуточных условия и исходное условие в целом истинны

6) ответ: 1.

Ещё пример задания:

Р-00. Для какого из указанных значений X истинно высказывание    ((X > 2) → (X > 3))?

 1) 1                    2) 2                   3) 3                   4) 4

Решение (вариант 1, прямая подстановка):

1) определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках

2) выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:

X	X > 2	X > 3	(X > 2) → (X > 3)	((X > 2) → (X > 3))
1	0	0
2	0	0
3	1	0
4	1	1

3) по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):

X	X > 2	X > 3	(X > 2) → (X > 3)	((X > 2) → (X > 3))
1	0	0	1
2	0	0	1
3	1	0	0
4	1	1	1

4) значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):

X	X > 2	X > 3	(X > 2) → (X > 3)	((X > 2) → (X > 3))
1	0	0	1	0
2	0	0	1	0
3	1	0	0	1
4	1	1	1	0

5) таким образом, ответ – 3.

Возможные ловушки и проблемы: · можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один! ) · можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация») · нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов[3] · этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно

Решение (вариант 2, упрощение выражения):

1) обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

2) тогда можно записать все выражение в виде

( A → B )    или    

3) выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):

( A → B )= ( A Ú B ) или

4) раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем

( A Ú B )= A Ù B или

5) таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3

6) из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

7) таким образом, ответ – 3.

Возможные проблемы: · нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана) · при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот · нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X ≤ 3, а не X < 3

Решение (вариант 3, использование свойств импликации):

1) обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

2) тогда исходное выражение можно переписать в виде ( A → B )=1 или A → B =0

3) импликация A → B ложна в одном единственном случае, когда A = 1 и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X ≤ 3

4) из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

5) таким образом, ответ – 3.

Выводы: 1) в данном случае, наверное, проще третий вариант решения, однако он основан на том, что импликация ложна только для одной комбинации исходных данных; не всегда этот прием применим 2) второй и третий варианты позволяют не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.

Задачи для тренировки[4]:

1) Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

((X < 5) → (X < 3)) Ù ((X < 2) → (X < 1))

              1) 1                  2) 2                   3) 3                   4) 4

2) Для какого числа X истинно высказывание  ((X > 3) Ú (X < 3)) → (X < 1)

              1) 1                   2) 2                   3) 3                   4) 4

3) Для какого числа X истинно высказывание     X > 1 Ù ((X < 5) → (X < 3))

1) 1                   2) 2                   3) 3                   4) 4

4) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква имени гласная  → Четвертая буква имени согласная)?

1) ЕЛЕНА           2) ВАДИМ     3) АНТОН       4) ФЕДОР

5) Для какого символьного выражения неверно высказывание:

Первая буква гласная → (Третья буква согласная)?

1)abedc             2)becde          3) babas 4) abcab

6) Для какого числа X истинно высказывание     (X > 2) Ú (X > 5) → (X < 3)

1) 5                  2) 2                   3) 3                   4) 4

7) Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2) Ú (Z > 4)) → (Z > 3) будет ложным?

1) 1                      2) 2                   3) 3                   4) 4

8) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква имени согласная  → Третья буква имени гласная)?

1) ЮЛИЯ           2) ПЕТР           3) АЛЕКСЕЙ  4) КСЕНИЯ

 

9) Для какого из значений числа Y высказывание (Y < 5) Ù ((Y > 1) → (Y > 5)) будет истинным?

1) 1                      2) 2                   3) 3                   4) 4

10) Для какого символьного выражения верно высказывание:

  (Первая буква согласная)  Ù (Вторая буква гласная)?

1) abcde         2) bcade     3) babas         4) cabab

11) Для какого имени истинно высказывание:

(Вторая буква гласная  → Первая буква гласная) Ù   Последняя  буква согласная?

1) ИРИНА         2) МАКСИМ 3) МАРИЯ     4) СТЕПАН

12) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → Последняя буква гласная) Ù   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА         2) СТЕПАН         3) МАРИНА            4) ИВАН

13) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → Вторая буква согласная) Ù   Последняя  буква гласная?

1) КСЕНИЯ        2) МАКСИМ 3) МАРИЯ     4) СТЕПАН

14) Для какого имени истинно высказывание:

(Вторая буква гласная  → Первая буква гласная) Ù   Последняя  буква согласная?

1) ИРИНА         2) МАКСИМ 3) МАРИЯ     4) СТЕПАН

15) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → Последняя буква согласная) Ù   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА         2) СТЕПАН               3) МАРИЯ               4) КСЕНИЯ

16) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква гласная  → Вторая буква гласная) Ù   Последняя буква гласная?

1) ИРИНА         2) МАКСИМ           3) АРТЕМ                4) МАРИЯ

17) Для какого названия животного ложно высказывание:

Заканчивается на согласную  Ù В слове 7 букв  →    (Третья буква согласная)?

1) Верблюд     2) Страус                 3) Кенгуру              4) Леопард

18) Для какого названия животного ложно высказывание:

В слове 4 гласных буквы  Ù (Пятая буква гласная)  Ú   В слове 5 согласных букв?

1) Шиншилла 2) Кенгуру              3) Антилопа          4) Крокодил

19) Для какого названия животного ложно высказывание:

Четвертая буква гласная  → (Вторая буква согласная)?

1) Собака         2) Жираф                3) Верблюд           4) Страус

20) Для какого слова ложно высказывание:

Первая буква слова согласная  → (Вторая буква имени гласная Ù Последняя буква слова согласная)?

1) ЖАРА            2) ОРДА         3) ОГОРОД   4) ПАРАД

21) Для какого числа X истинно высказывание  (X × ( X -16) > -64) → (X > 8)

              1) 5                   2) 6                   3) 7                   4) 8

22) Для какого числа X истинно высказывание  (X × ( X -8) > -25 + 2 × X ) → (X > 7)

              1) 4                   2) 5                   3) 6                   4) 7

23) Для какого символьного набора истинно высказывание:

Вторая буква согласная Ù   (В слове 3 гласных буквы Ú Первая буква согласная)?

1) УББОШТ      2) ТУИОШШ           3) ШУБВОИ            4) ИТТРАО

24) Для какого имени ложно высказывание:

(Первая буква гласная  Ù Последняя буква согласная)  →    (Третья буква согласная)?

1) ДМИТРИЙ  2) АНТОН                3) ЕКАТЕРИНА      4) АНАТОЛИЙ

25) Для какого имени истинно высказывание:

Первая буква гласная  Ù Четвертая буква согласная Ú   В слове четыре буквы?

1) Сергей         2) Вадим                 3) Антон                  4) Илья

26) Для какого числа X истинно высказывание  
  ((X < 4) → ( X < 3)) Ù ((X < 3) → ( X < 1))

              1) 1                   2) 2                   3) 3                   4) 4

27) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → Вторая буква согласная) Ù   Последняя буква согласная?

1) ИРИНА         2) МАКСИМ           3) СТЕПАН               4) МАРИЯ

28) Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → Последняя буква согласная) Ù   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА         2) СТЕПАН               3) КСЕНИЯ              4) МАРИЯ

29) Для какого имени истинно высказывание:

 (Первая буква согласная  → Вторая буква согласная) Ù   Последняя буква гласная?

1) КСЕНИЯ        2) МАКСИМ           3) СТЕПАН               4) МАРИЯ

30) Для какого имени истинно высказывание:

(Последняя буква гласная  → Первая буква согласная) Ù   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА         2) АРТЁМ                3) СТЕПАН               4) МАРИЯ

31) Для какого слова истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → (Вторая буква согласная Ú   Последняя буква гласная))?

1) ГОРЕ              2) ПРИВЕТ               3) КРЕСЛО              4) ЗАКОН

32) Для какого имени истинно высказывание:

 (Первая буква согласная  → Вторая буква гласная) Ù   Последняя буква согласная?

1) АЛИСА         2) МАКСИМ           3) СТЕПАН               4) ЕЛЕНА

33) Для какого имени истинно высказывание:

 (Вторая буква гласная  → Первая буква гласная) Ù   Последняя буква согласная?

1) АЛИСА         2) МАКСИМ           3) СТЕПАН               4) ЕЛЕНА

34) Для какого названия реки ложно высказывание:

 (Вторая буква гласная  → Предпоследняя буква согласная) Ù   Первая буква стоит в
алфавите раньше третьей?

1) ДУНАЙ         2) МОСКВА            3) ДВИНА                4) ВОЛГА

35) Для каких значений X и Y истинно высказывание:

 (Y+1 > X) Ú (Y+X < 0) Ù (X > 1)?

1) X = 0, 5; Y = -1, 1              2) X = 1, 1; Y = -4                   
3) X = -1; Y = -4                  4) X = -1/10; Y = -1, 1

36) Для какого слова истинно высказывание:

 (Вторая буква согласная  Ú   Последняя буква гласная) → Первая буква гласная?

1) ГОРЕ              2) ПРИВЕТ               3) КРЕСЛО              4) ЗАКОН

37) Для какого имени истинно высказывание:

 Первая буква согласная Ù ( Вторая буква согласная →  Четвертая буква гласная)?

1) ИВАН            2) ПЕТР                     3) ПАВЕЛ                 4) ЕЛЕНА

38) Для какого названия станции метро истинно высказывание:

(Первая буква согласная → Вторая буква согласная) ~  Название содержит букву «л»)?

Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают).

1) Маяковская 2) Отрадное          3) Волжская           4) Комсомольская

39) Для какого названия города истинно высказывание:

(Первая буква гласная Ù Последняя буква гласная) ~  Название содержит букву «м»?

Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают).

1) Москва        2) Дюссельдорф 3) Амстердам       4) Атланта

40) Для какого имени истинно высказывание:

 (Первая буква согласная  Ú   Вторая буква гласная) → В слове 4 буквы?

1) МИХАИЛ     2) ГРИГОРИЙ        3) ЕВГЕНИЙ            4) ИОЛАНТА

41) Для какого числа X истинно высказывание  ((X < 5) → ( X < 3)) Ù ((X < 2) → ( X > 1))

              1) 1                   2) 2                   3) 3                   4) 4

42) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [3, 11]            2) [2, 21]         3) [10, 17]      4)[15, 20]

43) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [3, 11]            2) [6, 10]         3) [8, 16]         4)[17, 23]

44) На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]         2) [12, 30]       3) [20, 25]      4)[26, 28]

45) На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 30]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Ï А) → (x Ï P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 15]            2) [3, 20]         3) [10, 25]      4)[25, 40]

46) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Ï А) → (x Ï P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]         2) [20, 35]       3) [5, 20]         4)[12, 40]

47) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [12, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Ï А) → (x Ï P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]         2) [20, 35]       3) [5, 20]         4)[12, 40]

48) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ (x Î A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]         2) [20, 35]       3) [15, 22]      4)[12, 18]

49) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ (x Î A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [8, 17]            2) [10, 12]       3) [15, 22]      4)[12, 18]

50) На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R=[35, 50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ ( (x Î A) → (x Î R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 20]         2) [15, 25]       3) [20, 30]      4)[120, 130]

51) На числовой прямой даны три отрезка: P = [0, 20], Q = [5, 15] и R=[35, 50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ ( (x Î A) → (x Î R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [-15, -5]         2) [2, 7]           3) [10, 17]       4)[15, 20]

52) На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [0, 10] и R=[25, 35]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ ( (x Î A) → (x Î R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 17]          2) [15, 25]       3) [20, 30]       4)[35, 40]

53) На числовой прямой даны три отрезка: P = [20, 50], Q = [15, 20] и R=[40, 80]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ ( (x Î A) → (x Î R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 25]          2) [20, 30]       3) [40, 50]       4)[35, 45]

54) На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 50], Q = [15, 20] и R=[30, 80]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ ( (x Ï A) → (x Ï R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 25]          2) [25, 50]       3) [40, 60]       4)[50, 80]

55) На числовой прямой даны три отрезка: P = [0, 40], Q = [20, 45] и R=[10, 50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) \/ ( (x Ï A) → (x Ï R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5, 20]             2) [10, 15]       3) [15, 20]       4)[35, 50]

56) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î P) /\ (x Ï Q) /\ (x Î A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 7]              2) [8, 15]         3) [15, 20]      4)[7, 20]

57) На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 22] и Q = [7, 17]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Ï P) /\ (x Î Q) /\ (x Î A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 5]              2) [7, 12]         3) [10, 20]      4)[5, 22]

58) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î Q) → (x Î P) ) /\ (x Î A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 6]              2) [5, 8]           3) [7, 15]         4)[12, 20]

59) На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [5, 10] и R=[20, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) /\ ( (x Ï A) → (x Î R) )

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 20]            2) [0, 10]         3) [10, 15]      4)[25, 30]

60) На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [5, 10] и R=[10, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î Q) ) /\ (x Ï A) /\ (x Î R)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 12]            2) [10, 17]       3) [15, 20]      4)[15, 30]

61) На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 15], Q = [10, 20] и R=[5, 15]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x Î A) → (x Î P)    и  (x Î Q) → (x Î R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) [5, 12]            2) [10, 17]       3) [12, 20]      4)[15, 25]

62) На числовой прямой даны три отрезка: P = [5, 10], Q = [15, 20] и R=[25, 30]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x Î A) → (x Î P)    и  (x Î Q) → (x Ï R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) [5, 10]            2) [15, 20]       3) [10, 20]      4)[15, 25]

63) На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25, 35]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x Ï A) → (x Ï P)    и  (x Î Q) → (x Î R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) (10, 12)         2) (0, 10)         3) (5, 15)         4)(15, 25)

64) На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 30], Q = [15, 30] и R=[20, 35]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x Ï A) → (x Ï P)    и  (x Î Q) → (x Ï R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) (10, 25)         2) (15, 20)       3) (15, 30)      4)(5, 20)

65) На числовой прямой даны три отрезка: P = [5, 15], Q = [10, 20] и R=[15, 20]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x Î A) → (x Î P)    и  (x Ï Q) → (x Ï R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) [3, 10]            2) [7, 12]         3) [12, 17]      4)[22, 25]

66) На числовой прямой даны три отрезка: P = [5, 25], Q = [5, 15] и R=[10, 20]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x Ï A) → (x Ï P)    и  (x Ï Q) → (x Î R)

тождественно различны, то есть принимают разные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) (5, 12)            2) (10, 18)       3) (18, 25)      4)(20, 35)

67) На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 9] и Q = [4, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 5]              2) [5, 10]         3) [10, 15]      4)[15, 20]

68) На числовой прямой даны два отрезка: P = [4, 16] и Q = [9, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [1, 11]            2) [3, 10]         3) [5, 15]         4)[15, 25]

69) На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 13] и Q = [7, 17]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ Ø (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5, 20]            2) [10, 25]       3) [15, 30]      4)[20, 35]

70) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [11, 21]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î А) → (x Î P) ) \/ Ø (x Î Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [2, 22]            2) [3, 13]         3) [6, 16]         4) [17, 27]

71) На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 45] и Q = [40, 55]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:

(Ø (x Î А)) → Ø (x Î P)

 (x Î Q) → (x Î A) 

 

Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

1) [25, 50]          2) [25, 65]        3) [35, 50]       4) [35, 85]

72) На числовой прямой даны два отрезка: P = [41, 61] и Q = [11, 91]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î А) ) /\ ( (x Î A) → (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет

большую длину.

1) [7, 43]            2) [7, 73]         3) [37, 53]      4) [37, 63]

 

73) На числовой прямой даны два отрезка: P = [32, 52] и Q = [12, 72]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x Î P) → (x Î А) ) /\ ( (x Î A) → (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет

большую длину.

                    1) [7, 53]               2) [7, 33]         3) [27, 53]      4) [27, 33]

74) (http: //ege.yandex.ru) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 30] и Q = [20, 40]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î A) → ( (x Î P)  º (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

                    1) [10, 19]            2) [21, 29]      3) [31, 39]      4) [9, 41]

75) (http: //ege-go.ru) На числовой прямой даны два отрезка: P = [54, 84] и Q = [64, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î A) → ( (x Î P)  º (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

                    1) [25, 40]            2) [45, 61]      3) [65, 82]      4) [75, 83]

76) (http: //ege-go.ru ) На числовой прямой даны два отрезка: P = [34, 64] и Q = [74, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î A) → ( (x Î P)  º (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

                    1) [5, 33]               2) [25, 42]      3) [45, 71]      4) [65, 90]

77) (http: //ege-go.ru )  На числовой прямой даны два отрезка: P = [34, 84] и Q = [44, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î A) → ( (x Î P)  → (x Î Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

                    1) [45, 60]            2) [65, 81]      3) [85, 102]    4) [105, 123]

78)  (http: //ege-go.ru)  На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула

( (x Î А) → (x Î Q) ) \/ (x Î P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

1) 10                    2) 20                 3) 21                 4)30

79) (http: //ege-go.ru)  На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула

( (x Î А) → (x Î Q) ) \/ (x Î P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

1) 10                    2) 20                 3) 30                 4)40

80) На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Ï A) → ( (x Î P)  → (x Ï Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

                    1) [3, 14]               2) [23, 32]      3) [43, 54]      4) [15, 45]

81) На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула

((x Î P) →  (x Ï Q))  → (x Ï A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

                    1) [3, 14]               2) [23, 32]      3) [43, 54]      4) [15, 45]

82) На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 33] и Q = [22, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î Q) → ( (x Î P)  → (x Î A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

                    1) [2, 20]               2) [10, 25]      3) [20, 40]      4) [25, 30]

83) На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 33] и Q = [22, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x Î P) → ( (x Î Q)  → (x Î A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

                    1) [31, 45]            2) [21, 35]      3) [11, 25]      4) [1, 15]

84) На числовой прямой даны два отрезка: P = [23, 58] и Q = [10, 39]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение

((x Î P) Ù (x Î A) ) → ((x Î Q) Ù (x Î A) )

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [5, 20]               2) [20, 40]      3) [40, 55]      4) [5, 55]

85) На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 70] и Q = [5, 32]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение

((x Î P) Ù (x Î A) ) → ((x Î Q) Ù (x Î A) )

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [15, 35]            2) [20, 40]      3) [40, 65]      4) [75, 88]

86) На числовой прямой даны два отрезка: P = [23, 58] и Q = [1, 39]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение

((x Î P) Ù (x Î A) ) → ((x Î Q) Ù (x Î A) )

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [5, 30]               2) [15, 40]      3) [25, 50]      4) [35, 60]

87) На числовой прямой даны два отрезка: P = [8, 39] и Q = [23, 58]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение

((x Î P) Ù (x Î A) ) → ((x Î Q) Ù (x Î A) )

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [5, 30]               2) [15, 40]      3) [20, 50]      4) [35, 60]

88) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x Î {3, 6, 9, 12, 15}) Ù (x Î A)) → (x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

89) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}) Ú ((x Î {3, 6, 9, 12, 15}) → (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.

90) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}) Ú ((x Î {3, 6, 9, 12, 15}) → (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

91) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x Î {3, 5, 7, 11, 12, 15}) → (x Î {5, 6, 12, 15})) Ú (x Î A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.

92) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x Î {1, 3, 5, 7, 9, 12}) → (x Î {3, 6, 9, 12})) Ú (x Î A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

93) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 8, 12, 15}) → ((x Î {3, 6, 8, 15}) Ú (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.

94) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x Î {3, 5, 7, 11, 12}) → (x Î {5, 6, 12, 15})) Ú (x Î A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

95) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x Î {1, 3, 5, 7, 9, 11}) → (x Î {3, 6, 9, 12})) Ú (x Î A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

96) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 8, 12, 15}) → ((x Î {3, 6, 8, 15}) Ú (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.

97) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {1, 2, 4, 8, 16}) Ù (x Î {3, 4, 9, 16}) Ú (x Î A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

98) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 8, 12, 16}) Ù (x Î {3, 6, 7, 15}) Ú (x Î {3, 6, 7, 15}) Ú (x Î A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

99) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î A) → ((x Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}) Ù (x Î {3, 5, 15})) Ú (x Î {3, 5, 15})

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

100) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î A) → (x Î {1, 3, 7}) Ú ((x Î {1, 2, 4, 5, 6}) Ù (x Î {1, 3, 7}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

101) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î A) → ((x Î {1, 2, 3, 4}) Ú (x Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

102) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î A) → ((x Î {1, 12}) Ù (x Î {12, 13, 14, 15, 16}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

103) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î A) → ((x Î {1, 2, 4, 8}) Ú (x Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

104) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x Î A) Ù (x Î {3, 6, 9, 12})) Ú (x Î {1, 2, 3, 4, 5, 6})

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

105) На числовой прямой даны два отрезка: P = [44; 49] и Q = [28; 53]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

106) На числовой прямой даны два отрезка: P = [43; 49] и Q = [44; 53]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

107) На числовой прямой даны два отрезка: P = [12; 26] и Q = [30; 53]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

108) На числовой прямой даны два отрезка: P = [15; 39] и Q = [44; 57]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

109) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5; 30] и Q = [14; 23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

110) Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Известно, что выражение

((x Î A) → (x Î P)) Ù ((x Î Q) → (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

111) Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }. Известно, что выражение

((x Î A) → (x Î P)) Ù ((x Î Q) → (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

112) На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 50] и Q = [32, 47]. Отрезок A таков, что формула

 ( (x Î A) → (x Î P)) → ( (x Î A) → (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

113) На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 37] и Q = [32, 47]. Отрезок A таков, что формула

 ( (x Î A) Ù (x Î P)) → ((x Î P) Ù (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

114) На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 37] и Q = [32, 50]. Отрезок A таков, что формула

 ( (x Î A) Ù (x Î Q)) → ( (x Î P) Ú (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

115) На числовой прямой даны два отрезка: P = [15, 33] и Q = [35, 48]. Отрезок A таков, что формула

 ( (x Î A) Ù (x Î Q)) → ( (x Î P) Ú (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

116) На числовой прямой даны два отрезка: P = [15, 33] и Q = [45, 68]. Отрезок A таков, что формула

 ( (x Î A) Ù (x Î Q)) → ( (x Î P) Ú (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

117) На числовой прямой даны два отрезка: P = [8; 12] и Q = [4; 30]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

118) На числовой прямой даны два отрезка: P = [3; 15] и Q = [14; 25]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

119) На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 51] и Q = [12; 37]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

120) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 6)) ® ДЕЛ(x, 3)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

121) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 21)) ® ДЕЛ(x, 14)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

122) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 15)) ® (ДЕЛ(x, 18) Ú ДЕЛ(x, 15))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

123) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, 18) ® (ДЕЛ(x, A) ® ДЕЛ(x, 12))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

124) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, 18) ® (ДЕЛ(x, 54) ® ДЕЛ(x, A))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

125) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 6)) ® ДЕЛ(x, 3)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

126) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 21)) ® ДЕЛ(x, 14)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

127) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 15)) ® (ДЕЛ(x, 18) Ú ДЕЛ(x, 15))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

128) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, 18) ® (ДЕЛ(x, A) ® ДЕЛ(x, 12))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

129) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, 18) ® (ДЕЛ(x, 21) ® ДЕЛ(x, A))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

130) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наи меньшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 16)) ® ДЕЛ(x, 23)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

131) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наи меньшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 12)) ® (ДЕЛ(x, 42) Ú ДЕЛ(x, 12))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

132) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) ® (ДЕЛ(x, 24) Ù ДЕЛ(x, 36))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

133) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

 (ДЕЛ(x, 40) Ú ДЕЛ(x, 64)) ® ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

134) Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 }. Известно, что выражение

((x Î A) → (x Î P)) Ú ((x Î Q) → (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

135) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) ® (ДЕЛ(x, 14) Ù ДЕЛ(x, 21))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

136) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

 (ДЕЛ(x, 19) Ú ДЕЛ(x, 15)) ® ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

137) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) ® (ДЕЛ(x, A) ® ДЕЛ(x, 34) Ù ДЕЛ(x, 51))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

138) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) ® (ДЕЛ(x, 28) Ú ДЕЛ(x, 42))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

139) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, A) Ù ДЕЛ(x, 21)) ® ДЕЛ(x, 18)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

140) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, A) Ù ДЕЛ(x, 36)) ® ДЕЛ(x, 12)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

141) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 50)) ® (ДЕЛ(x, 18) Ú ДЕЛ(x, 50))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

142) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 16)) ® (ДЕЛ(x, 16) Ú ДЕЛ(x, 24))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

143) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 45) Ù ДЕЛ(x, 15)) ® ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

144) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, A) Ù ДЕЛ(x, 24) Ù ДЕЛ(x, 16)) ® ДЕЛ(x, A)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

145) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 34) Ù ДЕЛ(x, 51)) ® (ДЕЛ(x, A) Ú ДЕЛ(x, 51))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

146) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 15) Ù ДЕЛ(x, 21)) ® (ДЕЛ(x, A) Ú ДЕЛ(x, 15))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

147) (Е.В. Хламов) Пусть P – множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 11,  Q – множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а A – некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение

(x Î A) ® ((x Î P) Ú (x Î Q))

148) (Е.В. Хламов) Пусть P – множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 11,  Q – множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а A – некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение

(x Î A) ® ( (x Î P) Ú (x Î Q) )

149) (Е.В. Хламов) Пусть P – множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 11,  Q – множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а A – некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение

(x Î A) ® ((x Î P) Ù (x Î Q) )

150)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 56 ¹ 0) ® ((X & 48 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

151)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 35 ¹ 0) ® ((X & 31 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

152)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 76 ¹ 0) ® ((X & 10 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

153)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 102 ¹ 0) ® ((X & 36 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

154)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 94 ¹ 0) ® ((X & 21 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

155)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ¹ 0) ® ((X & 56 = 0) ® (X & 20 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

156)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ¹ 0) ® ((X & 30 = 0) ® (X & 20 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

157)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ¹ 0) ® ((X & 44 = 0) ® (X & 76 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

158)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ¹ 0) ® ((X & 29 = 0) ® (X & 86 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

159)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ¹ 0) ® ((X & 14 = 0) ® (X & 75 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

160)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 25 ¹ 0) ® ((X & 17 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

161)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 29 ¹ 0) ® ((X & 17 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

162)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 29 ¹ 0) ® ((X & 9 = 0) ® (X & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

163) (М.В. Кузнецова)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

 ( (X & 13 ¹ 0) Ù (X & 39 ¹ 0)) ® ((X & A ¹ 0) Ù (X & 13 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

164)  (М.В. Кузнецова)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(( (X & 13 ¹  0) Ú (X & 39 = 0)) ® (X & 13 ¹ 0)) Ú ((X & A = 0) Ù (X & 13 = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

165)  (М.В. Кузнецова)  Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(( (X & 13 ¹  0) Ú (X & A ¹ 0)) ® (X & 13 ¹ 0)) Ú ((X & A ¹ 0) Ù (X & 39 = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

166)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(( (X & 13 ¹  0) Ú (X & A = 0)) ® (X & 13 ¹ 0)) Ú (X & A ¹ 0) Ú (X & 39 = 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

167) Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение

( (x Î P) → (x Î A) ) Ú ((x Î A) → (x Î Q) )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве A.

168)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 28 ¹  0) Ú (x & 45 ¹ 0)) ® ((x & 17 = 0) ® (x & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

169)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 20 ¹  0) Ú (x & 55 ¹ 0)) ® ((x & 7 = 0) ® (x & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

170)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 26 ¹  0) Ú (x & 13 ¹ 0)) ® ((x & 24 = 0) ® (x & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

171)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 26 ¹  0) Ú (x & 13 ¹ 0)) ® ((x & 29 = 0) ® (x & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

172)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 26 ¹  0) Ú (x & 13 ¹ 0)) ® ((x & 5 = 0) ® (x & A ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

173)  Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 26 =  0) Ú (x & 13 = 0)) ® ((x & 78 ¹ 0) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

174)  Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 28 =  0) Ú (x & 22 = 0)) ® ((x & 56 ¹ 0) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

175)  Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 30 =  0) Ú (x & 43 = 0)) ® ((x & 19 ¹ 0) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

176)  Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 46 =  0) Ú (x & 18 = 0)) ® ((x & 115 ¹ 0) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

177)  Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

( (x & 38 =  0) Ú (x & 57 = 0)) ® ((x & 11 ¹ 0) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

178) (А.Г. Гильдин, Уфа) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

 (x & 19 =  0) Ù (x & 38 ¹ 0) Ú ((x & 43 = 0) ® ((x & A = 0)  Ù  (x & 43 = 0)))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

179) (А.Г. Гильдин, Уфа) Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

 (x & 19 =  0) Ù (x & 38 ¹ 0) Ú ((x & 43 = 0) ® ((x & A = 0)  Ù  (x & 43 = 0)))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

180)  Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

(x & A ¹ 0) ® (  ((x & 17 =  0) Ù (x & 5 = 0)) ®  (x & 3 ¹ 0) )

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

181)  Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 21 = 0) Ú ( (x & 11 =  0) ® (x & A ¹ 0) )

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

182) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 39 = 0) Ú ( (x & 42 =  0) ® (x & A ¹ 0) )

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

183) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 43 = 0) Ú ( (x & 49 =  0) ® (x & A ¹ 0) )

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

184) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 30 = 0) Ú ( (x & 57 =  0) ® (x & A ¹ 0) )

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

185) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 43 = 0) Ú ( (x & 50 =  0) ® (x & A ¹ 0) )

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

186) (А. Гильдин, Уфа) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 55 = 0)  Ú (x & 10 ¹  0)  Ú (x & A ¹ 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

187) (А. Гильдин, Уфа) Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 10 ≠ 0) Ú (x & 39 = 0) Ù (x & 149 = 0) Ú (x & А = 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

188)  (А. Гильдин, Уфа) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 10 ≠ 0) Ú (x & 39 = 0) Ù (x & 149 = 0) Ú (x & А = 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

189) (А. Гильдин, Уфа) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(x & 51 ≠ 0) → (x & А ≠ 0) Ú ((x & 11 ≠ 0) Ú (x & А ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

190) На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 24] и Q = [18, 30]. Отрезок A таков, что формула

(x Ï A) → ((x Î P) → (x Ï Q))

истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок A?

191) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 18] и Q = [8, 30]. Отрезок A таков, что формула

(x Ï A) → ((x Î P) → (x Ï Q))

истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок A?

192) На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 23] и Q = [8, 30]. Отрезок A таков, что формула

((x Î P) Ù (x Î Q)) → (x Î A)

истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих чётным целым числам, может содержать отрезок A?

193) На числовой прямой даны два отрезка: P = [15, 30] и Q = [8, 25]. Отрезок A таков, что формула

((x Î P) Ù (x Î Q)) → (x Î A)

истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих чётным целым числам, может содержать отрезок A?

194) На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 28] и Q = [8, 16]. Отрезок A таков, что формула

(x Î A) → ((x Î P) Ù (x Ï Q))

истинна при любом значении переменной x. Какое наибольшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок A?

195) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [8, 18]. Отрезок A таков, что формула

(x Î A) → ((x Î P) Ù (x Ï Q))

истинна при любом значении переменной x. Какое наибольшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок A?

196) На числовой прямой даны два отрезка: P = [21, 25] и Q = [8, 35]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Î P) Ú (x Ï Q)) → (x Ï A)

истинна при любом значении переменной x. Какое наибольшее количество точек, соответствующих чётным целым числам, может содержать отрезок A?

197) На числовой прямой даны два отрезка: P = [21, 35] и Q = [8, 25]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Ï P) Ú (x Î Q)) → (x Ï A)

истинна при любом значении переменной x. Какое наибольшее количество точек, соответствующих чётным целым числам, может содержать отрезок A?

198) На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 28] и Q = [15, 30]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Î P) → (x Î A)) Ù ((x Ï Q) Ú (x Î A))

истинна при любом значении переменной x. Определите наименьшую возможную длину отрезка A.

199) На числовой прямой даны два отрезка: P = [22, 35] и Q = [15, 30]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Î P) → (x Î A)) Ù ((x Ï Q) Ú (x Î A))

истинна при любом значении переменной x. Определите наименьшую возможную длину отрезка A.

200) На числовой прямой даны два отрезка: P = [8, 16] и Q = [25, 40]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Î P) Ú (x Î Q)) → (x Î A)

истинна при любом значении переменной x. Определите наименьшую возможную длину отрезка A.

201) На числовой прямой даны два отрезка: P = [0, 10] и Q = [25, 50]. Отрезок A таков, что формула

(x Ï A) → ((x Ï P) Ù (x Ï Q))

истинна при любом значении переменной x. Определите наименьшую возможную длину отрезка A.

202) На числовой прямой даны два отрезка: P = [7, 15] и Q = [12, 25]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Ï P) Ú (x Î A)) Ù ((x Ï Q) Ú (x Î A))

истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих чётным целым числам, может содержать отрезок A?

203) На числовой прямой даны два отрезка: P = [8, 11] и Q = [15, 22]. Отрезок A таков, что формула

 ((x Ï P) Ú (x Î A)) Ù ((x Ï A) → (x Ï Q))

истинна при любом значении переменной x. Какое наименьшее количество точек, соответствующих нечётным целым числам, может содержать отрезок A?

204) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число A из интервала [50, 120] такое, что выражение

(x & A  = 0) ® ((x & 31 ¹ 0) ® (x & 35 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

205) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наибольшее натуральное число A из интервала [50, 120] такое, что выражение

(x & A  = 0) ® ((x & 31 ¹ 0) ® (x & 35 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

206) (С.С. Поляков, Саратов) Определите количество натуральных чисел A таких, что выражение

((x & 7  ¹ 0) ® ((x & A ¹ 0) ® (x & 54 ¹ 0))) ® ((x & 27  = 0) Ù (x & A ¹ 0) Ù (x & 7 ¹ 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

207) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число A такое, что выражение

((x & 7  ¹ 0) ® ((x & A ¹ 0) ® (x & 54 ¹ 0))) ® ((x & 27  = 0) Ù (x & A ¹ 0) Ù (x & 7 ¹ 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

208) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число A такое, что выражение

((x & A ¹ 0) ® (x & 62 ¹ 0)) ® ((x & 24  = 0) Ù (x & A ¹ 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

209) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число A из интервала [43, 55] такое, что выражение

((x & 17  ¹ 0) ® ((x & A ¹ 0) ® (x & 58 ¹ 0))) ® ((x & 8  = 0) Ù (x & A ¹ 0) Ù (x & 58  =  0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

210)  (С.С. Поляков, Саратов) Определите наибольшее натуральное число A из интервала [43, 55] такое, что выражение

((x & 17  ¹ 0) ® ((x & A ¹ 0) ® (x & 58 ¹ 0))) ® ((x & 8  = 0) Ù (x & A ¹ 0) Ù (x & 58  =  0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

211)  (С.С. Поляков, Саратов) Определите количество натуральных чисел A таких, что выражение

((x & 17  ¹ 0) ® ((x & A ¹ 0) ® (x & 58 ¹ 0))) ® ((x & 8  = 0) Ù (x & A ¹ 0) Ù (x & 58  =  0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

212) (С.С. Поляков, Саратов) Определите количество натуральных чисел A из интервала [44, 62] таких, что выражение

(((x & 56 ¹ 0) ® (x & 18 ¹ 0)) Ú (x & A ¹ 0)) ® ((x & 18 = 0) Ù (x & A = 0) Ù (x & 43 ¹ 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

213) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число A из интервала [50, 100] такое, что выражение

(((x & 56 ¹ 0) ® (x & 18 ¹ 0)) Ú (x & A ¹ 0)) ® ((x & 18 = 0) Ù (x & A = 0) Ù (x & 43 ¹ 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

214) (С.С. Поляков, Саратов)

Определите наибольшее натуральное число A из интервала [10, 50] такое, что выражение

(((x & 56 ¹ 0) ® (x & 18 ¹ 0)) Ú (x & A ¹ 0)) ® ((x & 18 = 0) Ù (x & A = 0) Ù (x & 43 ¹ 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

215) (С.С. Поляков, Саратов) Определите количество натуральных чисел A из интервала [80, 200] таких, что выражение

((x & 56 ¹ 0) Ú (x & 43 ¹ 0)) ® (x & A ¹ 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

216) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число A, большее 200, такое, что выражение

((x & 56 ¹ 0) Ú (x & 43 ¹ 0)) ® (x & A ¹ 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

217) (С.С. Поляков, Саратов) Определите натуральное число A из интервала [75, 125] такое, что выражение

((x & 56 ¹ 0) Ú (x & 43 ¹ 0)) ® (x & A ¹ 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

218) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число R такое, что выражение

(((x & 54  = 0) Ú (x & 45  = 0)) ® (x & A  = 0)) Ú (x & R  = 0)

тождественно истинно при любом натуральном A (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x и любом натуральном значении A)?

219) (С.С. Поляков, Саратов) Определите наименьшее натуральное число R из интервала [10, 50] такое, что выражение

(((x & 54  = 0) Ú (x & 45  = 0)) ® (x & A  = 0)) Ú (x & R  = 0)

тождественно истинно при любом натуральном A (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x и любом натуральном значении A)?

220)  (С.С. Поляков, Саратов) Определите сколько всего существует натуральных чисел R таких, что выражение

(((x & 54  = 0) Ú (x & 45  = 0)) ® (x & A  = 0)) Ú (x & R  = 0)

тождественно истинно при любом натуральном A (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x и любом натуральном значении A)?

221) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

( x & 25 ¹  1) Ú ((x & 34 = 2) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

222) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

( x & 25 ¹  1) Ú ((x & 34 = 2) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

223) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

( x & 30 ¹  4) Ú ((x & 35 = 1) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

224) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

( x & 30 ¹  4) Ú ((x & 35 = 1) ® (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

225) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

((x & A ¹ 0) ® (x & 39 = 7)) Ú (x & 30 ¹  6)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

226) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

((x & A ¹ 0) ® (x & 39 = 7)) Ú (x & 30 ¹  6)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

227) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

((x & A ¹ 0) ® (x & 55 = 33)) Ú (x & 112 ¹  16)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

228) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

((x & A ¹ 0) ® (x & 55 = 33)) Ú (x & 112 ¹  16)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

229) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

(x & A = 0) Ú ((x & 69 = 4) ® (x & 118 =  6))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

230) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

(x & A = 0) Ú ((x & 69 = 4) ® (x & 118 =  6))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

231) На числовой прямой даны два отрезка: P = [130, 171] и Q = [150, 185]. Укажите наименьшую возможную длину отрезка A такого, что формула

 (x Î P) ® (((x Î Q) Ù (x Ï A)) ® (x Ï P))

истинна при любом значении переменной x.

232) (Д.В. Богданов) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 5940) Ù ДЕЛ(x, А) Ù ДЕЛ(x, 6300)) ® (ДЕЛ(x, 5940) Ú ДЕЛ(x, A))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

233) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

(x & A = 0) Ù (x & 41 ¹ 0) Ù (x & 33 =  0)

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

234) Определите наименьшее натуральное число A, при котором выражение

(x & A = 0) Ù (x & 58 ¹ 0) Ù (x & 22 =  0)

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

235) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

(x & A ¹ 0) Ù (x & 41 = 0) Ù (x & 37 =  0)

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

236) Определите наибольшее натуральное число A, при котором выражение

(x & A ¹ 0) Ù (x & 58 = 0) Ù (x & 22 =  0)

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

237) На числовой прямой даны два отрезка: D = [133; 177] и B = [144; 190]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

 тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

238) На числовой прямой даны два отрезка: D = [155; 177] и B = [111; 160]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

 тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

239) На числовой прямой даны два отрезка: D = [155; 177] и B = [111; 130]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

 тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

240) Для какого наибольшего целого числа А формула

( (x £ 9) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y £ A) ® (y £ 10) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

241) Для какого наибольшего целого числа А формула

( (x £ 5) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y £ A) ® (y < 7) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

242) Для какого наибольшего целого числа А формула

( (x £ 11) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y < A) ® (y £ 12) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

243) Для какого наибольшего целого числа А формула

( (y × y £ A) ® (y £ 15) ) Ù ( (x £ 3) ® (x × x < A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

244) Для какого наибольшего целого числа А формула

( (y × y < A) ® (y < 16) ) Ù ( (x £ 13) ® (x × x < A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

245) Для какого наименьшего целого числа А формула

( (y × y £ A) ® (y £ 10) ) Ù ( (x £ 9) ® (x × x < A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

246) Для какого наименьшего целого числа А формула

( (x < 5) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y £ A) ® (y £ 7) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

247) Для какого наименьшего целого числа А формула

 ( (y × y £ A) ® (y < 12) ) Ù ( (x < 11) ® (x × x < A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

248) Для какого наименьшего целого числа А формула

( (x < 3) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y < A) ® (y < 15) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

249) Для какого наименьшего целого числа А формула

 ( (y × y < A) ® (y £ 14) ) Ù ( (x £ 13) ® (x × x < A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

250) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x £ 9) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y £ A) ® (y < 10) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

251) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (y × y < A) ® (y £ 8) ) Ù ( (x £ 5) ® (x × x £ A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

252) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x < 10) ® (x × x < A) ) Ù ( (y × y £ A) ® (y < 12) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

253) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x < 3) ® (x × x £ A) ) Ù ( (y × y < A) ® (y < 6) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

254) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x £ 10) ® (x × x < A) ) Ù ( (y × y £ A) ® (y < 15) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

255) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x ³ 15) ® (x × x > A) ) Ù ( (y × y ³ A) ® (y > 11) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

256) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x > 14) ® (x × x > A) ) Ù ( (y × y > A) ® (y ³ 11) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

257) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x > 8) ® (x × x+3× x ³ A) ) Ù ( (y × y + 5× y > A) ® (y ³ 4) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

258) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x ³ 11) ® (x × x+2× x > A) ) Ù ( (y × y + 3× y ³ A) ® (y > 8) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

259) Сколько существует целых значений А, при которых формула

 (x ³ 12) Ù (x × x+6× x < A) Ú (y × y + 4× y ³ A) Ù (y £ 4)

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

260) Сколько существует целых значений А, при которых формула

 (x > 11) Ù (x × x+3× x £ A) Ú (y × y + 5× y > A) Ù (y < 6)

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

261) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x £ A) ® (x × x < 81) ) Ù ( (y × y £ 49) ® (y £ A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

262) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (y × y < 16) ® (y £ A) ) Ù ( (x £ A) ® (x × x £ 100) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

263) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (y × y < 30) ® (y < A) ) Ù ( (x £ A) ® (x × x < 150) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

264) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x < A) ® (x × x £ 169) ) Ù ( (y × y < 16) ® (y £ A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

265) (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

((x < 8) ∧ (x⋅ x ≥ A)) ∨ ((y⋅ y ≤ A) ∧ (y > 8))

тождественно ложна(то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

266)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x > 6) ∧ (x⋅ x ≤ A)) ∨ ((y⋅ y ≥ A) ∧ (y < 5))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

267)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x < A) ∧ (x⋅ x > 10)) ∨ ((y⋅ y < 10) ∧ (y > A))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

268)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

((x > A) ∧ (x⋅ x < 19)) ∨ ((y⋅ y > 91) ∧ (y < A))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

269)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

( (x < А) ∧ (x⋅ x ≥ 120)) ∨ ((y⋅ y ≤ 20) ∧ (y > A))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

270)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

((x > 10) ∨ (x⋅ x < A)) ∨ ((y⋅ y ≥ A) ∨ (y ≤ 10))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

271)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

(((x ≥ 7) ∨ (x⋅ x < A)) ∧ ((y⋅ y > A) ∨ (y ≤ 7)))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

272)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

((x  ≥ А) ∨ (x⋅ x < 100)) ∨ ((y⋅ y ≤ 10) ∧ (y > A))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

273)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

(((x+5)× (x–6) < 0) ∧ (x⋅ x ≥ A)) ∨ ((y⋅ y ≤ A) ∧ ((y+5)× (y–6) > 0))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

274)  (М.В. Кузнецова) Сколько существует целых значений А, при которых формула

(((x–10)× (x+1) ≤ 0) ∧ (x⋅ x > A)) ∨ ((y⋅ y ≤ A) ∧ ((y–10)× (y+1) > 0))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

 

[1] Огастес (Август) де Морган – шотландский математик и логик.

[2] http: //kpolyakov.spb.ru/download/bitwise2.pdf

[3] … но которая, к сожалению, почти не нужна на практике. J

[4] Источники заданий:

1. Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004-2016 гг.

2. Тренировочные и диагностические работы МИОО и Статград.

3. Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. — СПб: Тригон, 2009.

4. Якушкин П.А., Лещинер В.Р., Кириенко Д.П. ЕГЭ 2010. Информатика. Типовые тестовые задания. — М: Экзамен, 2010.

5. Крылов С.С., Ушаков Д.М. ЕГЭ 2010. Информатика. Тематическая рабочая тетрадь. — М.: Экзамен, 2010.

6. Якушкин П.А., Ушаков Д.М. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010. Информатика. — М.: Астрель, 2009.

7. М.Э. Абрамян, С.С. Михалкович, Я.М. Русанова, М.И. Чердынцева. Информатика. ЕГЭ шаг за шагом. – М.: НИИ школьных технологий, 2010.

8. Самылкина Н.Н., Островская Е.М. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.

9. Крылов С.С., Лещинер В.Р., Якушкин П.А. ЕГЭ 2011. Информатика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. — М.: Интеллект-центр, 2011.

10. Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.

11. Крылов С.С., Ушаков Д.М. ЕГЭ 2015. Информатика. Тематические тестовые задания. — М.: Экзамен, 2015.

12. Ушаков Д.М. ЕГЭ-2015. Информатика. 20 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. — М.: Астрель, 2014.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: