Сведения к решению задачи 2

 

Статическими моментами относительно осей x и y плоской фигуры (рисунок 3.1) называются характеристики:

, ,                        (3.4)

где А – площадь фигуры,

х, у – координаты элементарной площадки dA.

Рисунок 3.1 – К определению геометрических характеристик плоских фигур.

Единицей измерения статического момента являются единица длины в третьей степени, обычно [см³].

Осевыми моментами инерции плоской фигуры относительно осей х и у называются характеристики

, .                        (3.5)

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называется характеристика

.                                           (3.6)

Полярным моментом инерции плоской фигуры называется характеристика

.                                           (3.7)

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени, обычно в [см⁴].

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны.

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равен нулю.

Если хотя бы одна из осей х или у является осью симметрии фигуры, то центробежный момент инерции .

При параллельном переносе осей (рисунок 3.1) моменты инерции преобразуются:

,

,                      (3.8)

.

Если точка 0₁- центр тяжести фигуры, то статические моменты S_х1 и S_у1 в (3.8) превращаются в нуль.

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Существует значение угла  наклона осей координат, при котором I_х1 и I_y1 принимают экстремальные значения. Он определяется общей формулой:

.                                  (3.10)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой - минимален.

Такие оси называются главными осями инерции фигуры. Моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции фигуры.

При этом центробежный момент инерции I_xy относительно главных осей инерции равен нулю.

Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями инерции. Ось симметрии – одна из главных центральных осей инерции.

После преобразований получим формулу для определения главных моментов инерции:

.    (3.11)

Радиусы инерции.

Характеристики    

,                        (3.12)

называются радиусами инерции плоского сечения.

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции:

, .                         (3.13)

При этом, какова бы ни была форма и величина плоского сечения и расположение ее масс, величины моментов инерции ее относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры и проходящих через заданную точку О, характеризуются некоторым эллипсом. Этот эллипс называется эллипсом инерции пластинки по отношению к точке О. Если точка О — центр тяжести пластинки, то этот эллипс называется ее центральным эллипсом инерции.

Эллипс инерции играет большую роль в механике, и особенно важное применение его имеет место в сопротивлении материалов. В сопротивлении материалов доказывается, что если мы имеем балку с каким-нибудь заданным сечением, то сопротивление ее изгибу будет пропорционально моменту инерции ее сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и перпендикулярной к направлению изгибающей силы. Поясним это примером. Предположим, что мостик через ручей сделан из доски и доска прогибается под действием веса проходящего по ней пешехода. Если ту же доску (а не более толстую) положить «на ребро», она почти вовсе не прогнется, т. е. в положении «на ребро» доска прочнее. Это происходит от того, что у поперечного сечения доски, которое имеет форму довольно вытянутого прямоугольника, момент инерции I_x этого сечения относительно оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его центр и перпендикулярной к его длинной стороне, больше, чем момент I_y относительно оси, проходящей параллельно его длинной стороне.

Если бы класть доску не в точности плашмя или на ребро, а косо, и даже если брать не доску, а брусок с любым сечением, то все же сопротивление изгибу будет пропорционально моменту инерции этого сечения относительно соответственной оси, лежащей в его плоскости и проходящей через его центр тяжести. Жесткость при изгибе балки, таким образом, характеризуется эллипсом инерции ее сечения.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: