Сведения к решению задачи 3

 

Деформация изгиба возникает в стержнях от действия нагрузки, направленной перпендикулярно оси стержня. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

При изгибе в поперечных сечениях балки возникают две составляющих – поперечная сила Q_y и изгибающий момент M_x.

При построении эпюр Q_y и M_x в балке, она разбивается на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты, начинается либо кончается распределённая нагрузка. На каждом таком участке – свои Q_y и M_x.

Последовательность построения эпюр Q_y и M_x:

1. Определение опорных реакций из уравнений статики, их проверка.

2. Разбивка балки на участки.

3. Получение уравнений Q_y на первом участке.

4. Построение эпюры Q_y по значениям, вычисленным из уравнения.

5. Получение уравнения M_x на первом участке.

6. Построение эпюры M_x по значениям, вычисленным из уравнения.

7. Повторение пунктов 3-6 для остальных участков.

8. Проверка эпюр по общим закономерностям.

Для определения реакций опор необходимо:

Освободить балку от связей (опор) и изобразить действующие на неё заданные нагрузки. В данную расчетную схему включить неизвестные опорные реакции, векторы которых должны быть направлены перпендикулярно оси балки. Для неподвижной опоры следует дополнительно ввести опорную реакцию, вектор которой направлен вдоль оси балки. Направления векторов всех неизвестных опорных реакций на данном этапе расчета можно назначать произвольным образом.

Распределенную нагрузку необходимо заменить эквивалентной ей сосредоточенной силой, действующей в том же направлении и приложенной в центре тяжести эпюры распределенной нагрузки

Выбрать систему координат и составить уравнения равновесия. Начало координат удобнее совмещать с левым концом балки, за ось X принять ось балки. Представляется целесообразным составлять уравнения равновесия моментов относительно тех точек балки, в которых приложены неизвестные опорные реакции. При наличии внешней нагрузки, вызывающей горизонтальную составляющую у реакции в неподвижной опоре, необходимо добавить уравнение равновесия проекций действующих нагрузок, включая неизвестные опорные реакции, на горизонтальную ось балки.

Решить составленные уравнения равновесия. В случае отрицательных значений у вычисленных опорных реакций следует изменить направления соответствующих векторов на противоположные.

Проверить правильность полученных результатов по уравнению, которое не было использовано в ходе решения, путем подстановки в него вычисленных опорных реакций с учетом их уточненных направлений.

При записи выражений для Q _y и M _x следует придерживаться определенных правил:

• поперечная сила численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Внешняя сила дает положительное слагаемое, если стремится повернуть оставшуюся часть балки относительно данного сечения по часовой стрелке. Следует мысленно установить шарнир в рассматриваемом сечении, относительно которого поворачивается отсеченная часть балки от действующих сил;

• изгибающий момент численно равен сумме моментов относительно рассматриваемого сечения от всех нагрузок, действующих по одну сторону от этого сечения. Момент от нагрузки считается положительным, если вызывает сжатие верхних волокон рассматриваемой части балки. Мысленно установить в этом сечении заделку и рассмотреть состояние верхних волокон отсеченной части балки в зависимости от данного вида нагрузки.

Графически правило знаков для поперечных сил Q _y и изгибающих моментов M _x в зависимости от движения к сечению показано на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – Правило знаков: а) для изгибающих моментов; б) – для поперечных сил.

По вычисленным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построить в масштабе соответствующие эпюры. Положительные значения откладывать от нулевой линии вверх, отрицательные – вниз. Полученные плоские фигуры заштриховать вертикальными линиями с указанием знаков.

Подбор сечения балки (проектный расчет) выполняется по методу допускаемых напряжений.

Особенностью расчета изгиба консольных балок является отсутствие необходимости определения опорных реакций. В этом случае определение поперечных сил Q _y и изгибающих моментов M _x целесообразно начинать от свободного торцевого сечения.

При поперечном изгибе в сечении бруса возникают и касательные напряжения. На основании закона парности касательных напряжений последние возникают также и в продольных сечениях, вызывая сдвиги отдельных волокон относительно друг друга.

Для определения напряжений  надо знать закон их распределения по ширине балки. Для большинства поперечных сечений делается допущение, что напряжения  распределены равномерно по ширине сечения, т.е. на любой прямой, параллельной оси x (гипотеза Журавского). Касательные напряжения при изгибе определяются по формуле

,                                    ( 3.14)

где Q_y – поперечная сила в сечении балки, Н.

    S` _x – статический момент части балки, находящейся  выше той точки, в которой определяются касательные напряжения, м³;

    I_x – осевой момент инерции фигуры, м⁴.

    b_y - ширина поперечного сечения балки в той точке, в которой определяются касательные напряжения, м.

Выражение (3.14) называют формулой Журавского, который впервые установил наличие касательных напряжений при изгибе.

 

 

Примеры решения задач

Пример решения задачи 1

 

Для заданного ступенчатого бруса:

1. Построить эпюру продольных сил.

2. Определить минимально допустимые размеры поперечного сечения, если 1 ступень имеет круглое сечение, и 2 ступень – прямоугольное сечение со сторонами b и h. Результаты принять в соответствии с сортаментом согласно ГОСТ.

3. Определить полную абсолютную деформацию бруса и построить эпюру перемещений.

4. Определить полную потенциальную энергию деформации всего бруса.

Исходные данные:

F1, кН	F2, кН	ℓ 1, м	ℓ 2, м
24	40	2	4

Указания:

Модуль упругости материала: Е=2·10⁵ МПа;

Предельно допускаемое напряжение растяжения [σ _p]=160 МПа;

Предельно допускаемое напряжение сжатия [σ _с]=120 МПа;  

Соотношение сторон прямоугольного сечения второго участка: h/b=3;

Рисунок 3.3 – Эпюры продольных сил и перемещений в стержне.

1. Расчет продольных сил начинаем со свободной стороны стержня:

Первый участок: N₁=-F₁=-24 кН;

Второй участок: N₂=-F₁+F₂=-24+40=16 кН.

Полученные значения наносим на график (эпюру) продольных сил в произвольном масштабе.

 

2. Определяем размеры поперечного сечения из условия прочности:

Условие прочности:

Первый участок сжат, так как продольная сила на этом участке эпюры имеет отрицательное значение. Поэтому для решения по условию прочности выбираем значение [σ _с].

Минимально допустимая площадь первого участка:

;

м²=200 мм².

Поскольку сечение участка l₁ круглое, то его площадь равна

, отсюда получаем минимально допустимый диаметр круглого изделия:

=15, 96 мм.

Согласно ГОСТ выбираем прокат круглого сечения с округлением в большую сторону: d=16 мм.

Тогда с учетом округления площадь первого участка

 мм².

Второй участок растянут, т.к. на этом участке продольная сила имеет положительное значение. Поэтому для решения по условию прочности выбираем значение [σ _р].

Минимально допускаемая площадь второго участка:

;

 м²=100 мм².

Поскольку сечение участка l₂  прямоугольное с соотношением сторон h/ b=3, его площадь равна , отсюда получаем минимально допустимую ширину прямоугольного изделия:

 мм.

Согласно ГОСТ выбираем полосу с округлением в большую сторону:  b=6 мм и отрезаем на величину h=3 b=18 мм.

Тогда с учетом округления площадь первого участка

 мм².

3. Построим эпюру перемещений. Перемещения определяются, начиная с зафиксированной стороны стержня.

За начало отсчета выбираем неподвижную точку А с закрепленной стороны стержня. Удлинение (укорочение) стержня определяется по формуле Гука (3.3).

Перемещение точки А:

Перемещение точки В:

Перемещение точки С:

Перемещение точки С соответствует полной абсолютной деформации всего бруса.

Полученные значения наносим на график (эпюру) перемещений в произвольном масштабе.

4. Определяем полную потенциальную энергию деформации всего бруса.

Для этого считаем потенциальную энергию деформации на каждом участке:

;

;

Полная потенциальная энергия:

 

Пример решения задачи 3

 

Произвести расчет на прочность при изгибе. Для этого:

1. Построить эпюры поперечных сил Q_y  и изгибающих моментов M_x.

2.Подобрать сечение двутавровой балки по нормальным напряжениям при [σ ]= 160 MПa.

3.Для сечения балки, в котором изгибающий момент M_x достигает наибольшего значения, построить эпюры нормальных и касательных напряжений.

 

              Данные к задаче:

 

m кНм	Р кН	g кН/м		м	м	м
30	20	20		1, 0	1, 5	1, 2

 

 

 

 РЕШЕНИЕ:

1. Построим эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М_х.

Для этого определяем силы реакции опор балки исходя из уравнений равновесия.

 

 

∑ М_А = 0:

Отсюда

∑ М_В = 0:

Отсюда

Проверка:

∑ F_ky = 0:

 - решение верное.

Разбиваем балку на участки.

Рассмотрим сечение 1 – 1, на расстоянии z₁, в котором:

Поперечная сила в сечении 1-1:

Q_y = R_A = -4, 2 кН.

Рассмотрим сечение 2 – 2:

0 ‹ z₂ ‹ 1, 5

Q_y = R_A =-4, 2 кН.

кН;

Рассмотрим сечение 3 – 3:

   

Полученные значения наносим на соответствующие эпюры в произвольно выбранном масштабе (Рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 – Эпюра поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_x.

 

Из построенной эпюры M_x видно, что максимальное значение изгибающего момента М_х ^max = 25, 8 кН ∙ м; при этом Q_y = -4, 2 кН.

2. Подбираем сечение двутавровой балки по нормальным напряжениям при [σ ] = 160 МПа.

,

где W_x – момент сопротивления двутавровой балки, см³. Его значение можно найти в соответствующей таблице сортамента.

;

Находим в таблице сортамента для двутавровых балок значение, ближайшее к получившемуся с округлением в бό льшую сторону.

Ему соответствует W_x = 184 см³ – что соответствует двутавровой балке №20.

Переписываем для удобства некоторые характеристики выбранного двутавра из таблицы:

h = 20 см = 0, 2 м.

b = 10 см = 0, 1 м.

s = 0, 52 см = 0, 52·10^-2 м.

t = 0, 84 см = 0, 84·10^-2 м.

S_x^max = 104 см² = 104·10^-6 м³.

I_x=1840 см⁴=1840·10^-8 м⁴.

 

Также в сечении двутавра можно выделить следующие величины:

S_x^ст – статический момент стенки половины двутавра, которую можно принять за прямоугольник;

S_xⁿ – статический момент полки, который равен:

.

3. Для сечения балки, в котором изгибающий момент M_x достигает наибольшего значения, построим эпюры нормальных и касательных напряжений.

 

‹ 160 МПа

.

Рисунок 3.2 – Эпюра нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении двутавровой балки.

 

 

Вопросы для самопроверки.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: