Метод наименьших квадратов.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Практика показала, что найти идеальную кривую, которая приходила бы через все экспериментальные точки, практически невозможно. Задача заключается в том, чтобы найти теоретическую зависимость (кривую), отклонение которой от экспериментальных точек было бы минимальным.

Допустим, искомая теоретическая кривая есть полином третьей степени:

Y = A₀+ A₁X + A₂X²+ … + A_mX^m

Нужно найти значения A₀, A₁, A₂, …, A_m, при которых кривая как можно ближе проходила бы от всех n экспериментальных точек (X₁, Y₁); (X₂, Y₂); … ; (X_n, Y_n). При этом считается, что m + 1 значительно меньше n.

Каждая из экспериментальных точек i в общем случае будет отклоняться от теоретического значения на величину δ_i, т.е. :

A₀ + A₁X₁+ A₂X₁² + … + A_mX₁^m – Y₁= δ₁,

A₀ + A₁X₂+ A₂X₂² + … + A_mX₂^m – Y₂= δ₂,

A₀ + A₁X_n+ A₂X_n² + … + A_mX_n^m – Y_n= δ_n,

где δ₁, δ₂, δ_n, - расхождения между теоретическими и экспериментальными значения в точках (x₁,y₁); (x₂,y₂); …; (x_n,y_n) или, так называемые, невязки.

Согласно принципу наименьших квадратов лучшими значениями коэффициентов A₀, A₁, A₂,…, A_m будут те, для которых сумма квадратов невязок будет наименьшей:

Это условие с учетом можно записать в виде:

₀ + A₁x_k + A₂x_k² + … + A_mx_k^m – y_k)² = F (A₀, A₁, A₂, …, A_m)→ min

Т.е. эту зависимость можно рассматривать как функцию коэффициентов A₀, A₁, A₂, …, A_m, стремящуюся к минимуму при условии, что все ее частные производные равны нулю:

………………………………………………………………………………………………

Суммирование квадратов невязок производится потому, что δ_i бывают положительными и отрицательными. Суммирование невязок в первой степени может дать нуль (или значение близкое к нулю), что создаст впечатление полного совпадения теоретических и экспериментальных точек, хотя это может оказаться далеко от истины.

Чтобы облегчить решение системы уравнений введем обозначения, известные как обозначения Гаусса:

(7. 21)

C учетом этих обозначений, после перегруппировки членов, система уравнений примет вид:

…………………………………………………………………………

Решение системы уравнений относительно A₀, A₁, … A_m позволяет получить искомую теоретическую кривую. Однако при увеличении m объем вычислительной работы быстро растет, поэтому на практике обычно ограничиваются полиномами второй, третьей степени.

Расчеты существенно упрощаются, если применить методику вычислений, излагаемую ниже.

Для примера рассмотрим полином первой степени (m = 1) вида:

Y = A₀ + A₁x,

который наилучшим образом удовлетворял бы экспериментальным точкам, приведённым в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Экспериментальные данные

n	x_i	y_i_эксп.	y_{вычисл.}	σ	Сумма
1	0,5	1,532	1,558	+0,026	[x]=14,0 [x²]=35,0 [y]=7,251 [xy]=12,063 [δ²]=0,0044
2	1,0	1,428	1,384	-0,044
3	1,5	1,197	1,21	+0,013
4	2,0	1,016	1,036	+0,020
5	2,5	0,894	0,862	-0,032
6	3,0	0,675	0,688	+0,013
7	3,5	0,509	0,514	+0,005

При m = 1 система уравнений превращается в систему двух уравнений с двумя неизвестными A₀и A₁:

nA₀ + [x]A₁ = [y]

[x]A₀ + [x²]A₁ = [xy]

Эта система имеет только одно решение, следовательно, существует только одна прямая, которая ближе других пройдет между экспериментальными точками.

В рассматриваемом примере:

n=7; [x]=0,5 + 1,0 + … + 3,5=14;

[y]=1,532 + 1,428 + … + 0,509 = 7,251;

[x²]=0,5² + 1,0² + 1,5² + … + 3,5² = 35;

[xy]=0,5 ∙ 1,532 + 1,0 ∙ 4,428 + 1,5 ∙ 1,197 + … + 3,5 ∙ 0,509 = 12,063

Исходная система уравнений принимает вид:

7A₀ + 14A₁= 7,251

14A₀ + 35A₁ = 12,063

Решив систему, получим:

A_o=1,732; A₁=-0,348.

Искомая теоретическая линия имеет вид:

Y=1,732-0,348X

Построим график.

Рисунок 2.1 - Пример линейной аппроксимации экспериментальных данных.

На основе зависимости находим значение вычислительных теоретических значений функций у_выч. и невязки δ (графы 4, 5 таблицы 2.1).

Если аппроксимирующая кривая имеет уравнение второго порядка (m=2), ее уравнение примет вид:

y = A₀ + A₁x + A₂x²

Квадратичная интерполяция по методу наименьших квадратов приведет к системе уравнений с тремя неизвестными:

nA₀ + [x]A₁ + [x²]A₂ = [y],

[x]A₀ + [x²]A₁ + [x³]A₂ = [xy],

[x²]A₀ + [x³]A₁ + [x⁴]A₂ = [x₂y],

ПРИМЕР: Найти параболу y = A₀ + A₁x + A₁x², которая лучше всего удовлетворяет данным таблицы2.2.

Таблица 2.2 – Экспериментальные данные

n	x_i	y_i_эксп.	y_{вычисл.}	δ	Суммы
1	0,1	2,1299	2,1318	+0,0019	[x]=5,5 [x²]=3,85 [x³]=3,025 [x⁴]=2,5333 [y]=20,4389 [xy]=10,91187 [x²y]=7,46611
2	0,2	2,1532	2,1531	-0,0001
3	0,3	2,1611	2,1590	-0,0021
4	0,4	2,1516	2,1497	-0,0019
5	0,5	2,1282	2,1250	-0,0032
6	0,6	2,0807	2,0851	+0,0044
7	0,7	2,0266	2,0299	+0,0033
8	0,8	1,9594	1,9593	-0,0001
9	0,9	1,8759	1,8735	-0,0024
10	1,0	1,7723	1,7723	0,0000

Исходная система уравнений имеет вид:

10A₀ + 5,5A₁ + 3,85A₂ = 20,4389

5,5A₀ + 3,85A₁ + 3,025A₂ = 10,9119

3,85A₀ + 3,025A₁ + 2,5333A₂ = 7,4661

Решением системы будут коэффициенты:

A₀=2,095; A₁=0,442; A₂= - 0,765

Искомая парабола будет иметь следующее выражение:

y = 2,095 + 0,442x – 0,765x².

Построим график найденного уравнения.

Рисунок 2 – Аппроксимация экспериментальных данных параболой второго порядка (m=2)

Изложенная методика подбора линии аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов позволяет выбрать наиболее подходящую кривую для любых экспериментальных данных, если последние могут вообще иметь закономерность. В практике возникает проблема соотношения требуемой точности аппроксимации и объема вычислений. Как уже отмечалось, при m>3…4 объем вычислений порядка, чтобы достаточно точно и без излишних вычислительных трудностей описать в аналитическом виде и отобразить графически полученные экспериментальные данные.

Варианты заданий по теме: «Метод наименьших квадратов»

Аппроксимировать представленные в таблице экспериментальные данные методом наименьших квадратов. В качестве аппроксимирующей зависимости принять полином 2 степени (m=2).

Таблица 1 – Варианты заданий