Основные теоретические положения. Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разная температура

Известны три способа передачи теплоты: теплопроводность, конвекция и лучеиспускание. Только при конвекции и теплопроводности в передаче теплоты участвует газ. Конвекция обусловлена разностью плотностей нагретых и холодных слоев газа: в поле тяготения более нагретые слои поднимаются вверх, а более холодные опускаются вниз.

Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разная температура, то между ними будет происходить обмен тепла. Средняя энергия молекул газа, пропорциональная абсолютной температуре , в обоих слоях будет различной. Благодаря хаотическому движению, молекулы в обоих слоях будут перемешиваться, и средние энергии, а, следовательно, и температуры слоев будут выравниваться. При этом будет наблюдаться перенос энергии от более нагретых к более холодным слоям. Этот процесс носит название теплопроводности.

Опыт показывает, что количество теплоты, переносимое в газе через некоторую площадку  при теплопроводности будет тем больше, чем больше площадка , чем больше промежуток времени , за который наблюдается перенос тепла, и чем быстрее происходит изменение температуры  в направлении оси , перпендикулярной к площадке , т.е. чем выше градиент температуры  (рис. 2.1):

.                               (2.1)

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом теплопроводности.

Отношение количества теплоты , проходящего через площадку за время , ко времени  называется тепловым потоком:

        .                               (2.2)

Отношение теплового потока , проходящего через площадку , к величине  называется удельным тепловым потоком :

   .                              (2.3)

Из уравнений (2.1) – (2.3) получаем:

 

  .                                 (2.4)

 

Знак минус означает, что тепло переносится в сторону убывания температуры.

Уравнение (2.4) называется законом Фурье для теплопроводности: удельный тепловой поток при теплопроводности прямо пропорционален градиенту температуры.

Из уравнения (2.4) следует физический смысл коэффициента теплопроводности: коэффициент теплопроводности численно равен удельному тепловому потоку при единичном градиенте температуры.

Уравнение (2.4) описывает стационарный процесс теплопроводности, при котором разность температур между горячим и холодным слоями со временем не изменяется и градиент температуры в каждой точке тоже не меняется со временем.

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности с точки зрения молекулярно-кинетической теории газов.

Согласно молекулярно – кинетической теории, перенос количества теплоты   через площадку  (рис. 2.1) означает перенос определенного количества кинетической энергии беспорядочно движущихся молекул.

 

 

 

Рис. 2.1. Перенос молекулами энергии

 

Примем, что температура  больше, чем . Введем в рассмотрение два кубика  и , расположенные слева и справа от площадки  на расстояниях, равных средней длине свободного пробега . Через площадку  проходят молекулы как слева направо, так и справа налево. Если давление газа во всех точках одно и тоже, то число молекул , пересекающих в единицу времени площадку  слева и справа, одинаково (см. лабораторную работу 1) и равно:

  .                              (2.5)

Все молекулы, подошедшие к  слева обладают средней кинетической энергией

 ,

где  - число степеней свободы молекулы.

Эти молекулы переносят через площадку  количество энергии равное

.                             (2.6)

Аналогично этому: количество энергии, переносимое молекулами, подходящими к площадке  справа

.                                (2.7)

В результате через  площадку  будет перенесено тепло:

 .                      (2.8)

Разность температур  между точками, находящимися по обе стороны от площадки  на расстоянии  от нее, можно представить так:

.

Отсюда:

.                            (2.9)

Сравнивая это значение  со значением (2.1), для коэффициента теплопроводности найдем:

                                    (2.10)

 

Величину  преобразуем следующим образом:

,                                (2.11)

где – универсальная газовая постоянная; – число Авогадро; а –молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Тогда

                                   (2.12)

или

,                                      (2.13)

где  ( – масса одной молекулы газа) – плотность газа;  – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Из входящих в соотношение (2.13) величин число молекул в единице объема  и средняя длина свободного пробега зависят от давления. Но первая из них пропорциональна, а вторая – обратно пропорциональна давлению газа. Следовательно, коэффициент теплопроводности  от давления не зависит. Этот вывод находится в полном согласии с опытными данными.

Из выражения (2.13) следует, что коэффициент теплопроводности, зависящий от средней скорости теплового движения молекул , должен меняться с изменением температуры как . В действительности, коэффициент теплопроводности растет несколько быстрее, чем . Этот экспериментальный факт можно объяснить тем, что коэффициент теплопроводности пропорционален , которая тоже растет с температурой.

Возрастание  с температурой связано с тем, что молекулы газа нельзя рассматривать как твердые шарики. В самом деле, из молекулярно-кинетической теории следует, что средняя длина свободного пробега , равна:

                                     (2.14)

и не зависит от температуры ( – эффективный радиус молекулы). Опыт показывает, что такая зависимость, хотя и слабая, существует: с повышением температуры длина свободного пробега растет. Это объясняется тем, что  обратно пропорциональна поперечному сечению молекулы . Поперечное сечение молекулы  определяется тем расстоянием, на которое сближаются молекулы при столкновениях, т.е. расстоянием, на котором сила взаимодействия между молекулами вызывает уже заметное изменение направления их движения.

Поперечное сечение молекул должно, таким образом, зависеть от их скорости (энергии), так как при одной и той же силе взаимодействия быстрые молекулы испытывают меньшее отклонения от своего пути, чем более медленные молекулы. Поэтому, чем больше скорость молекул, тем меньше должно быть расстояние между ними при столкновении. Следовательно, с увеличением скорости молекул, т.е. с повышением температуры газа, поперечное сечение молекул уменьшается, а длина свободного пробега  растет.

 

 

Методика эксперимента

Экспериментальное изучение теплопроводности газов затрудняется тем, что перенос тепла в газе может происходить не только при теплопроводности, но и при конвекции, легко возникающей в газе. Конвекция, так же как и теплопроводность, стремится выровнять температуры в газе, поэтому отличить на опыте эти два механизма теплопередачи затруднительно, и при измерении теплопроводности необходимо обеспечить такие условия, при которых конвекция не может возникнуть.

Один из наиболее распространенных методов измерения коэффициента теплопроводности газов состоит в следующем.

Исследуемым газом заполняют пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами  и  (рис. 2.2), один из которых (почти всегда – внутренний) нагревается электрической печью, потребляющей мощность , а другой охлаждается так, чтобы его температура  оставалась все время постоянной. Внутренним цилиндром, в частности, может быть тонкая металлическая нить, по которой пропускается электрический ток, так что она же служит и нагревателем.

 

Рис. 2.2. Принципиальная схема установки

для определения коэффициента теплопроводности в газах

 

Через некоторое время после включения нагревателя устанавливается стационарное состояние, при котором температура  нити тоже становится постоянной.

Тем самым между внешним цилиндром и нитью установится постоянная разность температур . Величина этой разности температур зависит от теплопроводности газа. Найдем эту зависимость.

Если высота цилиндра равна  (во избежание ошибки, связанной с конвекцией, прибор следует устанавливать вертикально), тепловой поток  через любое цилиндрическое сечение  радиуса  определяется уравнением:

,

где  – градиент температуры4 . Если высота цилиндра достаточно велика по сравнению с его радиусом, то температуру вдоль оси цилиндра можно считать всюду одинаковой.

В стационарном состоянии  равно мощности нагревателя . Следовательно,

,

откуда

                         или

     .

Интегрируя последнее уравнение, получаем:

,

где  – постоянная интегрирования, которую можно исключить, принимая во внимание, что температура  при  и  при , т.е.

                                       .                                (2.15)

Измерив температуры  и , зная геометрические размеры прибора и мощность нагревателя, можно вычислить коэффициент теплопроводности:

                          .                                (2.16)

Мощность нагревателя , где  и  – сила тока и падение напряжения на нити.

Температура трубки  во время эксперимента остается постоянной и равной комнатной, т.к. ее поверхность обдувается с помощью вентилятора потоком воздуха.

Для определения температуры нити  находят ее сопротивление в нагретом состоянии, используя известную зависимость сопротивления от температуры:

                              ;                                  (2.17)

                       ,                                   (2.18)

где ,  – сопротивления нити при температурах  и  соответственно;  – сопротивление нити при ;  – температурный коэффициент сопротивления нити.

Из соотношений (2.17) и (2.18) выразим температуру :

                         .                             (2.19)

Следовательно, разность температур нити и стенок трубки  равна:

                        .                               (2.20)

Для определения сопротивления нити при комнатной температуре и в нагретом состоянии, последовательно с ней включают эталонный резистор с сопротивлением . Тогда токи, текущие по нити и через эталонный резистор оказываются одинаковыми:

                         и  ,                          (2.21)

где ,  – падения напряжений на нити при температурах  и ; ,  – соответствующие падения напряжений на эталонном резисторе.

Используя соотношения (2.21) для разности температур, получаем

         .                      (2.22)

Мощность нагревателя  с учетом соотношения (2.21) можно представить в виде:

                                    .                                   (2.23)

 

Подставляя (2.22) и (2.23) в выражение (2.16) для коэффициента теплопроводности, получим:

       .                   (2.24)

Соотношение (2.24) представляет собой рабочую формулу для вычисления коэффициента теплопроводности .

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: