Функция комплексной переменной

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частьюфункции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Пример 3

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные:

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

 

Конформное отображение

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - взаимно однозначное отображение областей n-мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При n=З любое (гладкое) К. о. является суперпозицией вращения, растяжения, сдвига и спец. К. о. "инверсии": х_i - (х_i-х_i)/

,

i = l,. . ., п, где, х°=(х⁰₁, . . ., х⁰_п) - нек-рая фиксированная точка n-мерного пространства. Совокупность этих преобразований образует (n+1) (n+2)/2-параметрич. конформную группу.

При n=2 множество К. о. разнообразнее. В этом случае двумерную плоскость R² удобно реализовать как пространство С комплексных чисел z=x+iy. Добавляя к С бесконечно удалённую точку, рассматривают также К. о. областей расширенной комплексной плоскости . Отображение области D на область D* расширенной комплексной плоскости конформно тогда и только тогда, когда оно либо задаётся нек-рой аналитической функцией f(z), определённой и однолистной в D, и такой, что , либо является суперпозицией описанного преобразования и комплексного сопряжения. В первом случае К. о. сохраняет не только величины углов, но и их знаки; во-втором - знаки углов меняются на противоположные. Любые две односвязные области D и D*в , границы к-рых состоят из более чем одной точки, конформно эквивалентны. При этом для произвольных точек z₀ из D и из и произвольного вещественного числа существует одна и только одна аналитич. и однолистная в D ф-цияf(z), такая, что f(D)=D*, f(z₀)=z*₀, arg = (теорема Римана).

К. о. двумерных областей переводит всякое решение Лапласа уравнения снова в решение ур-ния Лапласа. Другими словами, если - гармонич. ф-ция в области D*, а ф-цияf(z) = u(x, y)+i (x, у)конформно отображает область D на D*, то ф-ция , (х, у)] есть гармонич. ф-ция в области D. Этим обусловлено применение К. о. в задачах электростатики, гидро- и аэродинамики и др.

4 Определение преобразования Лапласа

Преобразова́ниеЛапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения .

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной ^[1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

• -преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

• -преобразование

Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

       5 Свойства преобразования Лапласа

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и —аналитическая функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
2. : преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
3. или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции ( производная от ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение — аналитическая функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
2. Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

• Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

где —функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, если все полюсы функции находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

       6 Решение дифференциальных уравнений операционным методом

Для этого необходимо:

1. Применить к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и, принимая во внимание свойства преобразования Лапласа (1, 5) и начальные условия составить операторное уравнение.

Замечание: для удобства операцию применения преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению (5) условимся символически обозначать через L, т.е. , что приведёт к соответствующему операторному уравнению.

2. Решить операторное уравнение и найти операторное решение .

3. По найденному решению найти соответствующий этому решению оригинал , который и будет решением уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

Пример: Решить уравнение

Решение: - искомое решение

Применяем преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, используя свойства 1, 5

Составляем операторное уравнение:

Находим искомое решение

Ответ:

       7 Постановка задачи условной и безусловной оптимизации. Разновидности задач оптимизации.

Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

       Классификация задач оптимизации.

Принято различать задачи статической оптимизации для процессов, протекающих в установившихся режимах, и задачи динамической оптимизации.

В первом случае решаются вопросы создания и реализации оптимальной модели процесса, во втором -задачи создания и реализации системы оптимального управления процессом при неустановившихся режимах эксплуатации.

Если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины, то такая оптимизация называется безусловной. Такие критерии обычно используются при решении частных задач оптимизации (например, определение максимальной концентрации целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и т.п.).

Если необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин (например, определение максимальной производительности при заданной себестоимости, определение оптимальной температуры при ограничениях по термостойкости катализатора и др.), то такая оптимизация называется условной.

Процедура решения задачи оптимизации обязательно включает, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры (термостойкость, взрывобезопасность, мощность перекачивающих устройств).

Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по экономическим соображениям.

В зависимости от управляющих параметров различают следующие задачи :

· оптимизация при одной управляющей переменной- одномерная оптимизация,

· оптимизация при нескольких управляющих переменных – многомерная оптимизация,

· оптимизация при неопределённости данных,

· оптимизация с непрерывными ,дискретными и смешанным типом значений управляющих воздействий.

В зависимости от критерия оптимизации различают:

· с одним критерием оптимизации- критерий оптимальности единственный.

· со многими критериями. Для решения задач со многими критериями используются специальные методы оптимизации.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: