Глава 8. Дифференциальные уравнения

Глава 8. Дифференциальные уравнения

Общие понятия

Определение 1. Уравнение, связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения .

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение искомой функции.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти все его решения. График решения называется интегральной кривой.

Определение 4.Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения .

Определение 5. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Для выделения из общего решения частного задают некоторые дополнительные условия, которые называются начальными условиями.

 

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют вид .

Если ни одна из функций  не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на  оно приводится к виду .

Почленное интегрирование приводит к соотношению , которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют общим интегралом этого уравнения.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на функции  и . Получим . Проинтегрируем это равенство: , получим .

Здесь в качестве произвольной постоянной взяли  (С = const).

Общее решение уравнения можно записать в виде .

    Выделим из полученного общего решения частное решение, исходя из начального условия . Подставляя эти значения в общее решение, получаем  или . Следовательно, частное решение задается уравнением  или .

    Последнее уравнение задает на плоскости  гиперболу. Нетрудно убедиться, что общее решение данного дифференциального уравнения задает семейство гипербол.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Полагаем , где , - неизвестные функции, . Подставляя  и  в исходное уравнение, имеем .

1) Подберем функцию  так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, т.е. , откуда . После интегрирования получаем  (постоянную интегрирования берем равной нулю).

2) Для определения функции  имеем  или , т.е. , откуда .

3) Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

4) Используя начальное условие, вычисляем значение постоянной :

, т.е. .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

.

 

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни ,  действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

2)  

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни  действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

3)  

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни  комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

 

    Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где .       (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид , где  – частное решение этого уравнения,  – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .

Вид частного решения  неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

 

Правая часть	Частное решение
– многочлен степени	, где  – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где  – число, показывающее, сколько раз =  является корнем характеристического уравнения.
	, где  – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	где  – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

 

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно искать в виде , где  – многочлен той же степени, что и , а  – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения  не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где  и  – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды  и подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

2. Пусть правая часть имеет вид , где  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно искать в виде , где  – многочлен той же степени, что и , а  – число, показывающее, сколько раз  является корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями  характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где  – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды  и подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть  или .

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

3. Пусть правая часть имеет вид , где  и  – данные числа. Тогда частное решение  можно искать в виде , где  и  – неизвестные коэффициенты, а  – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции  входит хотя бы одна из функций  или , то в  надо всегда вводить обе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями  характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде

, где  и  – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды , получим  и . Подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при  и  в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему . Решая ее, находим , .

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Глава 9. Ряды.

Определение. Пусть , , ...., , ... бесконечная числовая последовательность. Выражение называется числовым рядом, , , ...., , ... члены ряда, - общий член ряда.

Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда (А) и (В), причем каждый член ряда (А) не превосходит соответствующего члена ряда (В), т.е. . Тогда если сходится ряд (В), то сходится и ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится и ряд (В).                  

Интегральный признак Коши.

Если  при -непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Признак Даламбера.

Если для ряда  существует , то этот ряд сходится при  и расходится при .

Признак Лейбница.

    Знакочередующийся ряд сходится, если:

1)  члены ряда монотонно убывают, по абсолютной величине

2) , общий член стремится к нулю.

Пример

Написать первые три ряда  найти интервал сходимости ряда и исследовать его на сходимость на концах интервала.

Решение:

Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях , которые удовлетворяют неравенству , или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

При   данный ряд принимает вид  это знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница сходимости знакочередующихся рядов:

1)

2)

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Значит,  принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого числового ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, при  исходный ряд расходится.

Таким образом,   - область сходимости исходного ряда.

 

Принцип произведения

Пусть опыт состоит в одновременном бросании кубика и монеты. Необходимо подсчитать, каково число n различных исходов опыта возможно. На гранях кубика расположены очки от 1 до 6. У монеты 2 стороны (герб и цена). Составим таблицу, чтобы увидеть все возможные исходы.

Глава 8. Дифференциальные уравнения

Общие понятия

Определение 1. Уравнение, связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения .

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение искомой функции.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти все его решения. График решения называется интегральной кривой.

Определение 4.Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения .

Определение 5. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Для выделения из общего решения частного задают некоторые дополнительные условия, которые называются начальными условиями.

 

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют вид .

Если ни одна из функций  не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на  оно приводится к виду .

Почленное интегрирование приводит к соотношению , которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют общим интегралом этого уравнения.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на функции  и . Получим . Проинтегрируем это равенство: , получим .

Здесь в качестве произвольной постоянной взяли  (С = const).

Общее решение уравнения можно записать в виде .

    Выделим из полученного общего решения частное решение, исходя из начального условия . Подставляя эти значения в общее решение, получаем  или . Следовательно, частное решение задается уравнением  или .

    Последнее уравнение задает на плоскости  гиперболу. Нетрудно убедиться, что общее решение данного дифференциального уравнения задает семейство гипербол.

123Следующая ⇒

Поделиться: